解決33問題──將33寫成3個整數(shù)的立方和

這篇文章內容翻譯自論文 Cracking the problem with 33，論文研究了方程 $x^3+y^3+z^3=k$ 在一些小的 $k$ 值的解掌呜，并首次將33寫成了3個整數(shù)的立方和。完成中文可以查看項目 qiwihui/cracking-the-problem-with-33翩肌。截止到目前念祭，100以內的自然數(shù)就剩下42還沒有找到關于立方和的整數(shù)解了粱坤！

Answer to the Ultimate Question of Life, the Universe, and Everything. -- 42

以下是論文正文翻譯：

解決33問題

作者：ANDREW R. BOOKER

摘要受到Tim Browning和Brady Haran的 Numberphile 視頻"未解決的33問題"的啟發(fā)，我們研究了方程 $x^3+y^3+z^3=k$ 在一些小的 $k$ 值的解株旷。我們找到了 $k=33$ 的第一個已知解晾剖。

1. 簡介

令 $k$ 為正整數(shù)，其中 $k \equiv ±4(\mod 9)$ 循头。然后Heath-Brown [HB92] 推測有無限多的三元組 $(x贷岸，y偿警，z) \in \mathbb{Z}^3$ 滿足

$k = x^3 + y^3 + z^3. \quad \text{(1)}$

早在1954年就開始對（1）進行各種數(shù)值研究 [MW55]盒使；請參閱 [BPTYJ07]少办，了解截至2000年的這些研究的歷史英妓。自那時起進行的計算由于Elkies [Elk00] 而被算法所主導。我們所知道的最新內容是Huisman [Hui16] 的論文腿倚，該論文確定了（1）的所有解敷燎，其中 $k \le 1000$ 且 $\max\{|x|,|y|,|z|\}\le 10^15$ 硬贯。特別是，Huisman報告說除了13個 $k \le 1000$ 的值以外的所有解決方案都是已知的：

$33, 42, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921, 975. \quad \text{(2)}$

Elkies的算法通過使用格基減少（lattice basis reduction）在Fermat曲線 $X^3+Y^3=1$ 附近尋找有理點來工作墨状；它非常適合同時找到許多 $k$ 值的解肾砂。在本文中，我們描述了一種在k值確定時更有效的不同方法源葫。它的優(yōu)點是可以找到所有具有最小坐標界限的解息堂，而不是Elkies算法中的最大坐標床未。這總是產生搜索范圍的非平凡的擴張（nontrivial expansion）薇搁，因為除了可以單獨考慮的有限多個例外之外啃洋，還有

$\max \{|x|,|y|,|z|\} > \sqrt[3]{2} \min \{|x|,|y|,|z|\}$

此外，根據經驗，通常情況是其中一個變量比其他變量小得多貌踏，因此我們希望實際上增益更大祖乳。

我們的策略類似于一些早期的方法（特別參見 [HBLtR93]眷昆，[Bre95]，[KTS97] 和 [BPTYJ07]）帅刊，并且基于觀察： $k-z^3=x^3+y^3$ 的任何解都具有 $x+y$ 作為一個因子赖瞒。相對于早期研究栏饮，我們的主要貢獻是注意到，通過一些時間空間權衡芒划，運行時間在高度邊界內非常接近線性，并且在現(xiàn)代64位計算機上實現(xiàn)時非常實用涮帘。

更詳細地說，假設 $(x弦叶，y伤哺，z)$ 是（1）的解立莉，并且不失一般性，假設 $|x| \ge |y| \ge |z|$ 刹淌。然后我們有

$k-z^{3}=x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-x y+y^{2})$

如果 $k-z^3=0$ 則 $y=-x$ 有勾，并且 $x$ 的每個值都產生一個解。否則籍琳，設 $d=|x+y|=|x|+y \operatorname{sgn} x$ 喝峦，我們看到 $d$ 可以除 $|k-z^3|$ 并且

$\begin{aligned} \begin{aligned} \frac{\left|k-z^{3}\right|}37ozvi2 &=x^{2}-x y+y^{2}=x(2 x-(x+y))+y^{2} \\ &=|x|(2|x|-d)+(d-|x|)^{2}=3 x^{2}-3 d|x|+d^{2} \end{aligned} \end{aligned}$

得到

$\{x, y\}=\left\{\frac{1}{2} \operatorname{sgn}\left(k-z^{3}\right)\left(d \pm \sqrt{\frac{4|k-z^{3}|-d^{3}}{3 d}}\right)\right\}$

因此，給定 $z$ 的候選值眉踱，通過遍歷 $|k-z^3|$ 的所有除數(shù)册烈，有一個有效的程序來查找 $x$ 和 $y$ 的所有相應值匿情。這個基本算法在假設整數(shù)分解的時間復雜度的標準啟發(fā)式（standard heuristics）下，已經能在時間 $O(B^{1+\varepsilon})$ 內找到滿足 $\min\{|x|,|y|,|z|\}\ge B$ 的所有解驾中。在下一節(jié)中，我們將解釋如何避免因子分解并更有效地實現(xiàn)相同目的。

感謝感謝Roger Heath-Brown提供了有用的意見和建議侄柔。

2. 方法

為了便于表示暂题，我們假設 $k \equiv ±3(\mod 9)$ 薪者；請注意，這適用于（2）中的所有 $k$ 悬槽。由于上述基本算法對于尋找小解是合理的初婆，因此我們將假設 $|z|>\sqrt{k}$ 屑咳。此外兆龙，如果我們將（1）專門用于 $y=z$ 的解详瑞，那么我們得到Thue方程 $x^3+2y^3=k$ ，這是有效可解的计寇。使用 PARI/GP [The18] 中的Thue求解器番宁，我們驗證了（2）中的 $k$ 不存在這樣的解蝶押。因此棋电，我們可以進一步假設 $y \ne z$ 。

由于 $|z|>\sqrt{k} \ge \sqrt[3]{k}$ 于未，我們有

$\operatorname{sgn} z=-\operatorname{sgn}(k-z^{3})=-\operatorname{sgn}(x^{3}+y^{3})=-\operatorname{sgn} x.$

同樣烘浦，因為 $x^3 + z^3 = k-y^3$ 和 $|y|\ge |z|$ ，我們有 $\operatorname{sgn} y=-\operatorname{sgn} x=\operatorname{sgn} z$ 片习。將（1）的兩邊乘以 $-\operatorname{sgn} z$ 藕咏，我們得到

$|x|^{3}-|y|^{3}-|z|^{3}=-k \operatorname{sgn} z \quad \text{(4)}$

令 $\alpha=\sqrt[3]{2}-1$ 饥悴，并且 $d=|x+y|=|x|-|y|$ 西设。如果 $d \ge \alpha |z|$ 則

$\begin{aligned} \begin{aligned} -k \operatorname{sgn} z &=|x|^{3}-|y|^{3}-|z|^{3} \geq(|y|+\alpha|z|)^{3}-|y|^{3}-|z|^{3} \\ &=3 \alpha(\alpha+2)(|y|-|z|) z^{2}+3 \alpha(|y|-|z|)^{2}|z| \\ & \geq 3 \alpha(\alpha+2)|y-z| z^{2} \end{aligned} \end{aligned}$

由于 $3 \alpha(\alpha+2)>1$ ，這與我們的假設不相容禽绪，即 $y \ne z$ 和 $|z|>\sqrt{k}$ 印屁。因此我們必然有 $0<d<\alpha|z|$ 雄人。

接下來，減少（4）模3并回想我們的假設 $k \equiv ±3(\mod 9)$ ，我們有

$d=|x|-|y| \equiv|z| \quad(\mod 3).$

設 $\epsilon\in\{±1\}$ 使得 $k \equiv 3 \epsilon(\mod 9)$ 正罢。然后翻具，由于每個立方數(shù)都與 $0$ 或 $±1(mod 9)$ 相等裆泳，我們必然有 $x \equiv y \equiv z \equiv \epsilon(\mod 3)$ ，因此 $\operatorname{sgn} z=\epsilon(\frac{|z|}{3})=\epsilon(\frac2b7wo2b{3})$ 民泵。基于（3），當且僅當 $d | z^{3}-k$ 以及 $3d(4|z^{3}-k|-d^3) = 3d(4\epsilon(\fraci7llhu2{3})(z^{3}-k)-d^{3})$ 是平方數(shù)時鳞尔，我們得到（1）的解莽鸿。

總之，找到（1）的所有解并且滿足 $|x| \ge |y| \ge |z|>\sqrt{k}$ 乒疏， $y \ne z$ 和 $|z|\le B$ 怕吴，對于每個與3互質的 $d\in\mathbb{Z}\cap(0,\alpha B)$ 转绷，解決以下系統(tǒng)就足夠了：

$\begin{aligned} \begin{aligned} &{\fracmakodj6{\sqrt[3]{2}-1}<|z| \le B, \quad \operatorname{sgn} z=\epsilon\left(\frac87shhu6{3}\right), \quad z^{3} \equiv k \quad(\mod d)} \\ &{3 d\left(4 \epsilon\left(\fracwnrzcp6{3}\right)(z^{3}-k)-d^{3}\right)=\square} & \text{(5)} \end{aligned} \end{aligned}$

我們解決這個問題的方法很簡單：我們通過它們的主要因子分解遞歸地計算 $d$ 的值，并應用中國剩余定理來將 $z^{3} \equiv k(\mod d)$ 的解減少到素數(shù)模冪的情況下煞肾，其中標準算法可以適用籍救。設 $r_y7mxinz(k)=\# \left\{z(\mod d):z^{3} \equiv k(\mod d)\right\}$ 表示 $k$ 模 $d$ 的立方根數(shù)闪萄。通過標準分析估計桃煎，由于 $k$ 不是立方數(shù)为迈，我們有

$\sum_{d \le \alpha B} r_o2mbbo7(k) \ll_{k} B$

啟發(fā)式地葫辐，計算對所有素數(shù) $p\le \alpha B$ 的 $z^{3} \equiv k(\mod p)$ 的解可以用 $[0, \alpha B]$ 上的整數(shù)在 $O(B)$ 算術運算來完成；見例如 [[NZM91]剂陡，§2.9鸭栖，練習8]中描述的算法晕鹊。假設這一點溅话，可以看出，使用Montgomery的批量反轉技巧[[Mon87]循狰，§10.3.1]，計算對所有正整數(shù) $p\le \alpha B$ 的 $z^{3} \equiv k(\mod p)$ 的根的剩余工作可以再次用 $O(B)$ 算術運算完成关炼。

因此儒拂，我們可以在線性時間內計算滿足（5）的第一行的所有 $z$ 社痛，作為算術進展（arithmetic progressions）的并集斩箫。為了檢測最后一行的解乘客，有一個快速的方法來確定 $\Delta :=3d\left(4\epsilon(\frac71gqqht{3})(z^{3}-k)-d^{3}\right)$ 是一個平方數(shù) 至關重要浪默。我們首先注意到對于固定 $d$ ，這種情況減少到在橢圓曲線上找到積分點花竞；特別是厌蔽，令 $X=12d|z|$ 和 $Y=(6d^2|x-y|$ ，從（3）中我們看到（X，Y）位于Mordell曲線上

$Y^{2}=X^{3}-2(6 d)^{3}\left(d^{3}+4 \epsilon\left(\fracwdyuy22{3}\right) k\right). \quad \text{(6)}$

因此，對于固定 $d$ 吃警，存在至多有限多個解安券，并且它們可以被有效地約束。對于 $d$ 的一些小值，找到（6）上的所有積分點并檢查是否產生任何滿足（1）的解是切實可行的。例如锹淌，使用Magma[[BCFS18]烟号，§128.2.8]中的積分點函數(shù)（functionality），我們驗證了如（2）中的 $k$ 和 $d \le 40$ 情況下沒有解，除了 $(k, d)\in\{(579,29),(579,34),(975,22)\}$ 。

接下來我們自然注意到一些同余和可分性約束：

引理設 $z$ 為（5）的解，設 $p$ 為素數(shù)邑狸，設 $s=ord_p d$ 硅堆， $t=ord_p(z^3-k)$ 。則

(i) $z \equiv \frac{4}{3} k\left(2-d^{2}\right)+9(k+d)(\mod 18)$ ；
(ii) 如果 $p \equiv 2 (\mod 3)$ 則 $t \le 3s$ ；
(iii) 如果 $t \le 3s$ 則 $s \equiv t (\mod 2)$ ；
(iv) 如果 $ord_p k \in \{1,2\}$ 則 $s \in \{0,ord_p k\}$ 。

證明令 $\Delta=3d\left(4\epsilon(\fracyx8wajd{3})(z^3-k)-d^3\right)$ ，令 $\delta=(\fractd2fqy6{3})$ ，我們有 $|z| \equiv d \equiv \delta(\mod 3)$ ，觀察到 $(\delta+3 n)^{3} \equiv \delta+9 n(\mod 27)$ ，模27，我們有

$\begin{aligned} \begin{aligned} \frac{\Delta}{3 d} &=4 \epsilon \delta\left(z^{3}-k\right)-d^{3}=4|z|^{3}-d^{3}-4 \epsilon \delta k \\ & \equiv 4[\delta+3(|z|-\delta)]-[\delta+3(d-\delta)]-4 \epsilon \delta k=3(4|z|-d)-\delta[18+4(\epsilon k-3)] \\ & \equiv 3(4|z|-d)-d[18+4(\epsilon k-3)]=12|z|-9 d-4 \epsilon d k \\ & \equiv 3|z|-4 \epsilon d k \end{aligned} \end{aligned}$

這消失了模9，所以為了使 $\Delta$ 成為平方數(shù)，它也必須消除mod 27。于是

$z=\epsilon \delta|z| \equiv \frac{4 \delta d k}{3} \equiv \frac{4(2-d^{2}) k}{3} \quad(\mod 9)$

減少（1）模2我們得到 $z \equiv k+d(\mod 2)$ ，這得到（i）。

接下來設 $u=p^{-s} d$ 和 $v=p^{-t} \epsilon \delta(z^{3}-k)$ ，這樣就有

$\Delta=3\left(4 p^{s+t} u v-p^{4 s} u^{4}\right)$

如果 $3s<t$ 則 $p^{-4 s} \Delta \equiv-3 u^{4}(\mod 4 p)$ ，但是當 $p \equiv 2(\mod 3)$ 時這是不可能的，因為 $-3$ 不是 $4p$ 的平方模。因此，在這種情況下我們必須 $t<3s$ 。

接下來假設 $t<3s$ 。我們考慮以下情況丹墨，涵蓋所有可能性：

若 $p = 3$ 則 $s = t = 0$ 英染，那么 $s \equiv t(\bmod 2)$ 闪金。
若 $p \ne 3$ 且 $3s > t+2 \operatorname{ord}_{p} 2$ 恃疯，則 $\operatorname{ord}_{p} \Delta=s+t+2 \operatorname{ord}_{p} 2$ ，那么 $s \equiv t(\mod 2)$ 。
若 $3s\in\{t, t+2\}$ 則 $s \equiv t(\bmod 2)$ 。
如果 $p=2$ 且 $3s = t + 1$ 則 $2^{-4 s} \Delta=3(2 u v-u^{4}) \equiv 3(\bmod 4)$ ，這是不可能的。

因此，在任何情況我們得出結論 $s \equiv t(\mod 2)$ 联四。

最后伟姐，假設 $p|k$ 和 $p \not | 3k$ 。如果 $s=0$ 則無需證明的，所以假設不然。由于 $d | z^{3}-k$ ，我們必須有 $d | k$ ，因為

$0 < s \le t=\operatorname{ord}_{p}(z^{3}-k)=\operatorname{ord}_{p} k<3 s$

通過部分（iii）得出 $s \equiv \operatorname{ord}_{p} k(\mod 2)$ ，因此 $s=\operatorname{ord}_{p} k$ 。

因此，一旦 $z(\mod d)$ 的殘差類（residue class）固定，則其殘差模 $lcm(d,18)$ 是確定的散址。還要注意，條件（ii）和（iii）對于測試 $p=2$ 是有效的。

然而，即使有這些優(yōu)化含滴，也有 $\ll B\log B$ 對 $d, z$ 滿足（5）的第一行和引理的結論（i）和（iv）。因此，為了實現(xiàn)比 $O(B\log B)$ 更好的運行時間遗菠，需要從一開始就消除一些 $z$ 值叭喜。我們通過標準的時間空間交換來實現(xiàn)這一目標。確切地說，設置 $P=3(\log \log B)(\log \log \log B)$ 腕够，并且讓 $M=\prod_{5 \le p \le P} p$ 是區(qū)間 $[5, P]$ 之間的素數(shù)的乘積蒿囤。根據素數(shù)定理，我們得到 $\log M=(1+o(1)) P$ 。如果 $\Delta$ 是平方數(shù)，那么對于任意素數(shù) $p|M$ 我們有

$\left(\frac{\Delta}{p}\right)=\left(\frac{3 d}{p}\right)\left(\frac{|z|^{3}-c}{p}\right) \in\{0,1\} \quad \text{(7)}$

其中 $c \equiv \epsilon\left(\frac32whvbk{3}\right) k+\frac{d^{3}}{4}$ 。當 $\operatorname{lcm}(d, 18) \le \alpha B / M$ 時，我們首先為每個殘差類 $|z|(\bmod M)$ 計算該函數(shù)，并且僅選擇對于每個 $p|M$ 滿足（7）的那些殘基。由Hasse約束，允許的殘差的數(shù)量最多為

$\frac{M}{2^{\omega(M /(M, d))}} \prod_{p | \frac{M}{(M, d)}}\left(1+O\left(\frac{1}{\sqrt{p}}\right)\right)=\frac{M}{2^{\omega(M /(M, d))}} e^{O(\sqrt{P} / \log P)}$

因此，要考慮的 $z$ 值的總數(shù)最多為

$\begin{aligned} \begin{array}{l}{ \sum_{\operatorname{lcm}(d, 18) \le \frac{\alpha B}{M}} r_g3alwr2(k)\left[M+\frac{e^{O(\sqrt{P} / \log P)}}{2^{\omega(M /(M, d))}} \frac{\alpha B}ybqq882\right] +\sum_{d \le \alpha B, {lcm}(d, 18) \le \frac{\alpha B}{M}} \frac{r_o7vfqp7(k) \alpha B}tbfjtdt} \\ {\ll_{k} B \log M+\frac{e^{O(\sqrt{P} / \log P)}}{2^{\omega(M)}} \sum_{g | M} \frac{2^{\omega(g)} r_{g}(k)}{g} \sum_{d^{\prime} \le \frac{\alpha B}{9 g M}} \frac{r_{d^{\prime}}(k) \alpha B}{d^{\prime}}} \\ {\ll_{k} B \log M+B \log B \frac{e^{O(\sqrt{P} / \log P)}}{2^{\omega(M)}} \prod_{p | M}\left(1+\frac{2 r_{p}(k)}{p}\right)} \\ {\ll B P+\frac{B \log B}{2^{(1+o(1)) P / \log P}} \ll B(\log \log B)(\log \log \log B) }\end{array} \end{aligned}$

對于沒有以這種方式消除的 $z$ 柏副，我們遵循類似的策略，其中一些其他輔助模 $M^{\prime}$ 由較大的素數(shù)組成，以加速平方測試玛歌。我們預先計算模為 $M^{\prime}$ 的立方數(shù)表和Legendre符號模 $p|M^{\prime}$ ，因此將測試（7）簡化為了表查找。只有當所有這些測試都通過時吞歼，我們才能在多精度算術中計算 $\Delta$ 并應用一般的平方檢驗，這種情況對于一小部分候選值來說都是如此睦擂。事實上摆马，我們期望Legendre測試的數(shù)量平均有限，所以總的來說乓搬，找到所有解決方案的 $|z| \le B$ 應該要求不超過 $O_k(B(\log \log B)(\log \log \log B))$ 次表查找和對 $[0, B]$ 中整數(shù)的算術運算。

因此，當 $B$ 符合機器字大小時，我們預計運行時間幾乎是線性的着降，這就是我們在實踐中觀察到的 $B<2^{64}$ 发侵。

3. 實現(xiàn)

我們在C中實現(xiàn)了上述算法，其中有一些內聯(lián)匯編程序來源于由Ben Buhrow [Buh19] 編寫的Montgomery算法 [Mon85]，以及Kim Walisch的用于枚舉素數(shù)的 primesieve 庫 [Wal19]。

該算法自然地在具有超過 $\sqrt{\alpha B}$ 的素因子和具有 $\sqrt{\alpha B}$ -平滑的素數(shù)的 $d$ 的值之間分配。前一組 $d$ 消耗超過運行時間的三分之二遂鹊，但更容易并行化。我們在布里斯托大學高級計算研究中心的大規(guī)模并行集群Bluecrystal Phase 3上運行了這一部分赋咽。對于平滑的 $d$ 宦赠，我們使用了一個單獨的32核和64核節(jié)點的小集群毡琉。

我們搜索了滿足 $k \in \{33,42\}$ 和 $\min\{|x|, |y|, |z|\} \le 10^16$ 的（1）的解丐谋，找到了以下結果：

$33 = 8 866 128 975 287 528^3 +（-8 778 405 442 862 239)^3 +（-2 736 111 468 807 040)^3$

總計算在三個星期的實際時間中大約使用了15個核年吏饿。

參考文獻

（略）

School of Mathematics, University of Bristol, University Walk, Bristol, BS8 1TW, United Kingdom

E-mail address: andrew.booker@bristol.ac.uk

博客參考：

人類第一次將33寫成了3個整數(shù)的立方和

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