張靜瑤(浙江海洋大學)，1132358871@qq.com

加入控制變量后我的變量符號變了

1 背景

1.1 問題的引入

兩小兒辯車

王小兒：我發(fā)現(xiàn)車越長越貴淆衷，比如验残，奧迪 A6L 就比 A4L 貴多捂贿；

李小兒：那也未必纠修，奧迪 R8 只有 4 米 4，但可以買兩輛 A6L了厂僧。還有扣草，我二爸開的那個公交車，12 米颜屠，才 30 萬辰妙！

在大家做實證分析的最初階段，經(jīng)常會有一個困擾：原本主效應很符合預期目標甫窟，但加入了一個或幾個控制變量后上岗，主效應要么符號變了，要么不顯著了蕴坪。可是敬锐，關鍵控制變量不加入的話背传，審稿人必然會提出質疑。這是怎么回事了台夺？
要回答這個問題径玖，讓我們先從條件期望說起。

1.2 什么是條件期望

1.2.1 舉例說明

春節(jié)臨近颤介，如何應對親戚的“問候殺”梳星，是一個亟待解決的現(xiàn)實問題。試想滚朵，舉國歡慶的日子冤灾，大家齊坐一堂，面對讀碩讀博歸家的你辕近，七大姑問到：“大閨女韵吨，老大不小了，該干點正事談個對象什么的呢移宅，讀那么多書干嘛呀”归粉，你咽了咽口水“讀書好啊椿疗，以后可以多掙錢孝敬您老人家”，話音未落糠悼，八大姑道：“哎呀瞎說届榄，你看隔壁二狗子，高中沒讀完去做生意倔喂，現(xiàn)在賺老多錢了”….氣氛頓時尷尬了铝条，除了咽口水外，該怎么“杠”回去…

那就要了解條件期望的概念了：條件期望函數(shù)記為 $E(Y_i|X_i)$ 滴劲，是關于 $X_i$ 的函數(shù)攻晒，考慮到 $X_i$ 是隨機的，所以條件期望函數(shù)也是隨機的班挖。比如給定 $X$ 為受教育水平的一個定值鲁捏，如 $X=12$ ，那么 $E(Y_i|X_i=12)$ 就是表示所有讀 12 年書的個體萧芙，其收入水平的期望值给梅。

1.2.1 用圖說明

圖片1.png

圖中，橫軸表示受教育水平双揪，縱軸則為收入动羽，在每一個給定的受教育水平下（如：受教育年限 12 年），收入服從一個近似正態(tài)的隨機分布渔期≡讼牛可以看到，由于存在著無法忽視的個體差異疯趟，使得某些低教育者的收入要高于某些高教育者的收入拘哨，但通常而言，教育水平高的人賺的更多信峻。

看到這里倦青，學習過初級計量經(jīng)濟學的同學肯定會想到，對盹舞，是“個人能力”的影響产镐，是“個人能力”讓二狗子和大閨女產(chǎn)生了收入的差異。確實如此踢步，那么“個人能力”便是一個需要控制的重要變量癣亚。

2 Stata 實操

2.1 回到原例

2.1.1 加入控制變量和不加控制變量的回歸分析結果做對比

讓我們回到“小兒辯車”的引子。調入官方自帶的汽車數(shù)據(jù)获印，研究汽車長度 length 對汽車價格 price 的影響逃糟。在多元回歸中，加入的控制變量分別為里程數(shù) mpg 和汽車重量 weight

. sysuse "auto.dta", clear
. cap eststo clear
. eststo: reg price length
. eststo: reg price length mpg weight
. esttab, nogap 
. reganat price length mpg weight, dis(length) ///
.              biscat biline scheme(s2color)

2.1.2 回歸結果

--------------------------------------------
                      (1)             (2)   
                    price           price   
--------------------------------------------
length              57.20***       -104.9** 
                   (4.06)         (-2.64)   
mpg                                -86.79   
                                  (-1.03)   
weight                              4.365***
                                   (3.74)   
_cons             -4584.9*        14542.4** 
                  (-1.72)          (2.47)   
--------------------------------------------
N                      74              74   
--------------------------------------------
t statistics in parentheses
* p<0.1, ** p<0.05, *** p<0.01

對比 length 的系數(shù)可見，在一元回歸時該系數(shù)顯著為正（57.2）绰咽，而加入控制變量后菇肃，系數(shù)為負（-104.9）并在 10% 的水平下顯著。

2.1.3 利用 `reganat` 命令對多元回歸模型進行圖解檢驗取募。

圖片2.png

虛線擬合線表示了不加入控制變量時 length 的影響琐谤，而實線是加入控制變量之后的。由之初的右上傾斜變?yōu)橛蚁聝A斜玩敏，這是一個本質性地改變斗忌。

2.2.1 原因分析

事實上，在多元回歸 $Y_i=α+β_1x_i+β_2x_2+e_i$ 中旺聚，系數(shù) $β_1$ 更準確的應該被稱為偏回歸系數(shù)织阳，表示在剔除掉 $x_2$ 的“貢獻”后， $x_1$ 對 $y$ 的影響砰粹。若 $x_1$ 與 $x_2$ 并不獨立唧躲，那么錯誤的使用一元回歸 $Y_i=α+β_1x_i+e_i$ ，系數(shù) $β_1$ 中就包含了 $x_2$ 的一部分“貢獻”碱璃。

2.2.1 通過實例演示

先進行正常的多元回歸弄痹，加入主效應變量 length 和控制變量 mpg weight

sysuse auto.dta, clear

reg price length mpg weight

est store m1

接著，我們利用解構回歸（regression anatomy）來“解讀”正常的多元回歸：1.先用 length 對控制變量 mpg weight 進行回歸嵌器，然后可以得到一個殘差項肛真。2. 再用被解釋變量對上一步的殘差項進行回歸。

. reg length mpg weight
. predict e, res
. reg price e
. est store m2
. esttab m1 m2 , nogap.

2.2.3 估計結果

--------------------------------------------
                      (1)             (2)   
                    price           price   
--------------------------------------------
length         -104.9***       
                 (-2.64)        
mpg             -86.79                 
                  (-1.03)   
weight           4.365***
                  (3.74)   
e                                        -104.9*
                                        (-2.22)  
_cons           14542.4*          6165.3***
                    (2.47)            (18.46)   
--------------------------------------------
N                      74              74   
--------------------------------------------
t statistics in parentheses
* p<0.1, ** p<0.05, *** p<0.01

可以看到爽航，最后得到的主效應估計結果一致蚓让，均為 -104.9 。在用 length 對控制變量 mpg weight 回歸后得到的殘差項讥珍，表示 length 剔除了其他解釋變量對自己的影響的“結果”历极，將其再與被解釋變量的回歸就是一個“凈”的效應。

3 結語

可見串述，加入控制變量后，我們關心的估計系數(shù)是否會產(chǎn)生變化寞肖，取決于與控制變量之間的獨立性纲酗。

我們列出將會出現(xiàn)的四種情形

與控制變量之間完全獨立，則加入控制變量對估計系數(shù)無影響（情形 1）

情形1.png

與控制變量之間高度相關新蟆，則加入控制變量與的估計系數(shù)都不顯著（情形 2）

情形2.png

與控制變量之間相關觅赊，且完全通過控制變量的“途徑”來影響被解釋變量，則估計系數(shù)不顯著（情形 3）

情形3.png

與控制變量之間相關琼稻，則加入控制變量后吮螺，主要解釋變量的估計系數(shù)會出現(xiàn)大小和符號變化。具體變化取決于與控制變量間的正負相關性。（情形4）

情形4.png

2019-12-06

2019-12-06

加入控制變量后我的變量符號變了

1 背景

1.1 問題的引入

1.2 什么是條件期望

1.2.1 舉例說明

1.2.1 用圖說明

2 Stata 實操

2.1 回到原例

2.1.1 加入控制變量和不加控制變量的回歸分析結果做對比

2.1.2 回歸結果

2.1.3 利用 `reganat` 命令對多元回歸模型進行圖解檢驗取募。

2.2.1 原因分析

2.2.1 通過實例演示

2.2.3 估計結果

3 結語

2019-12-06

加入控制變量后我的變量符號變了

1 背景

1.1 問題的引入

1.2 什么是條件期望

1.2.1 舉例說明

1.2.1 用圖說明

2 Stata 實操

2.1 回到原例

2.1.1 加入控制變量和不加控制變量的回歸分析結果做對比

2.1.2 回歸結果

2.1.3 利用 reganat 命令對多元回歸模型進行圖解檢驗取募。

2.2.1 原因分析

2.2.1 通過實例演示

2.2.3 估計結果

3 結語

2.1.3 利用 `reganat` 命令對多元回歸模型進行圖解檢驗取募。