我們先來(lái)觀察一組勾股數(shù)：
a蔬崩、b恶座、c
3搀暑、4、5
5跨琳、12险掀、13
7、24湾宙、25
9樟氢、40、41
11侠鳄、60埠啃、61
13、84伟恶、85
15碴开、110、111
可以找到什么樣的規(guī)律呢博秫？
先看第一列數(shù)a潦牛，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，全部都是奇數(shù)（3挡育、5巴碗、7、9即寒、11橡淆、13、15）母赵，而且還全是連續(xù)的奇數(shù)逸爵，全是以+2、+2凹嘲、+2的方式往下推進(jìn)师倔，那么我們假設(shè)n為自然數(shù)（n≠0），那么第一列數(shù)a就可以表示為2n+1（任意偶數(shù)+1都為奇數(shù)）周蹭。再來(lái)看第二列數(shù)b和第三列數(shù)c趋艘，發(fā)現(xiàn)b全為偶數(shù)，c全為奇數(shù)谷醉，并且c=b+1致稀。之后我們?cè)僖唤M一組地觀察，勾股定理就不用再次重申了俱尼，但是我們會(huì)發(fā)現(xiàn)a2=b+c抖单。依靠以上我們整理出的幾點(diǎn)，我們可以推算出一個(gè)公式，利用這個(gè)公式我們可以快速找出與a相匹配的勾股數(shù)矛绘。
∵a2=b+c耍休，c=b+1
∴a2=b+b+1，即a2=2b+1
那我們?nèi)绾斡眠@個(gè)公式快速找到與之匹配的勾股數(shù)呢货矮？
我們以17為例羊精，當(dāng)a=17時(shí)，等式加載為172=2b+1
172=2b+1
289=2b+1
288=2b
b =144
∴c=144+1=145
最后驗(yàn)證一下
172=289
1442=20736
1452=21025
21025-20736=289
∴驗(yàn)證成功囚玫！
于是這個(gè)公式似乎成為了一個(gè)尋找勾股數(shù)組的快捷方式喧锦，可以說(shuō)是一個(gè)勾股數(shù)軟件中的快捷鍵。
可是抓督，為什么會(huì)有這樣的規(guī)律呢燃少？這個(gè)規(guī)律可靠嗎？我們還要繼續(xù)探索铃在。再觀察這些勾股數(shù)阵具，我又發(fā)現(xiàn)了一個(gè)規(guī)律：
勾股數(shù)3、4定铜、5有32=9=4+5阳液，而4=2*1*（1+1）
勾股數(shù)5、12揣炕、13有52=25=12+13帘皿，而12=2*2*（2+1）
勾股數(shù)7、24祝沸、25有72=49=24+25矮烹，而24=2*3*（3+1）
勾股數(shù)9越庇、40罩锐、41有92=81=40+41，而40=2*4*（4+1）
……
接下來(lái)我們?cè)儆^察一組勾股數(shù)：
6卤唉、8涩惑、10
8、15桑驱、17
10竭恬、24、26
12熬的、35痊硕、37
14、48押框、50
16岔绸、63、65
18、80盒揉、82
第一列數(shù)a全是偶數(shù)晋被，且還全是連續(xù)的偶數(shù)，全是以+2刚盈、+2羡洛、+2的方式往下推進(jìn)，用n來(lái)表示藕漱，即為2n（n≥3）欲侮。再看后面兩列，發(fā)現(xiàn)相同一行后兩數(shù)都只相差2肋联，所以可以推導(dǎo)出c=b+2锈麸，并且通過(guò)一組一組地觀察，我們發(fā)現(xiàn)a2=2(b+c)牺蹄，那么接下來(lái)我們開(kāi)始去往結(jié)果星球的航道上：
∵a2=2（b+c）忘伞，c=b+2
∴a2=2（b+b+2），即a2=2（2b+2）
再∴a2=4b+4
那么我們?cè)俅蝸?lái)驗(yàn)證一下推導(dǎo)出的快捷公式：
∵a2=4b+4
∴當(dāng)a=32時(shí)沙兰，等式為322=4b+4
322=4b+4
1024=4b+4
1020=4b
b=255
∴c=255+2=257
驗(yàn)證一下：
322=1024
2552=65025
2572=66049
66049-65025=1024
我們似乎又找到了一個(gè)a為大于等于6的偶數(shù)時(shí)氓奈，找到其匹配勾股數(shù)的快捷方式：當(dāng)a=2n（n≥3），a2=4b+4鼎天，c=b+2時(shí)舀奶，a、b斋射、c是一組一組勾股數(shù)育勺。可是罗岖，為什么會(huì)有這樣的規(guī)律呢涧至？
讓我們繼續(xù)觀察數(shù)字：
勾股數(shù)6、8桑包、10有62=36=2*（8+10）南蓬，而8=32-1，10=32+1
勾股數(shù)8哑了、15赘方、17有82=64=2*（15+17），而15=42-1弱左，17=42+1
勾股數(shù)10窄陡、24、26有102=100=2*（24+26）拆火，而24=52-1跳夭，26=52+1
……
當(dāng)然鳖悠，也并不是所有的勾股數(shù)都包含其中，也有一些特例优妙，如下：
12乘综、16、20
15套硼、20卡辰、25
18、24邪意、30
21九妈、28、35
……
這一些的規(guī)律和之前的不同雾鬼，這一些的規(guī)律是a=3n萌朱、b=4n、c=5n為一組勾股數(shù)（n≥1）策菜。
還有一些晶疼，如下：
20、21又憨、29
20翠霍、99、101
48蠢莺、55寒匙、73
60、91躏将、109
雖然大部分勾股數(shù)我們都可以用以上的3種規(guī)律尋找到锄弱，但有一些特例我們依然只能用a2+b2=c2來(lái)驗(yàn)證是不是勾股數(shù)組。
