第十章：股票期權(quán)的性質(zhì)

10.1 期權(quán)價(jià)格的影響因素

有六個(gè)因素會(huì)影響股票期權(quán)的價(jià)格包晰，他們對(duì)期權(quán)的影響可以總結(jié)為下表（+表示正相關(guān)噪奄，-表示負(fù)相關(guān)）：

變量	歐式看漲	歐式看跌	美式看漲	美式看跌	理由
當(dāng)前股票價(jià)格 $S$	+	-	+	-	標(biāo)的物漲價(jià)對(duì)看漲期權(quán)有利
執(zhí)行價(jià)格 $K$	-	+	-	+	看漲期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格是買入價(jià)，看跌期權(quán)的是賣出價(jià)
到期時(shí)間 $T$	?	?	+	+	到期日長說明美式期權(quán)有更多機(jī)會(huì)選擇行權(quán)
股票價(jià)格的波動(dòng)率 $\sigma$	+	+	+	+	由于可以選擇行權(quán)與否，波動(dòng)率大對(duì)看漲看跌期權(quán)均有利
無風(fēng)險(xiǎn)利率 $r$	+	-	+	-	由于利率升高，未來現(xiàn)金流折現(xiàn)變低，因此對(duì)于賣出資產(chǎn)換取未來現(xiàn)金流的看跌期權(quán)是不利的酝锅。注意我們在這里假設(shè)利率變化不影響股票價(jià)值。實(shí)際上奢方，加息傾向于導(dǎo)致股票下跌搔扁，因此綜合作用下結(jié)果并不確定
股息	-	+	-	+	股息將使股票在除息日價(jià)格降低，對(duì)看跌期權(quán)有利

例 1

假設(shè) $c_1$ , $c_2$ , $c_3$ 分別代表執(zhí)行價(jià)格為 $K_1$ , $K_2$ , $K_3$ 的歐式看漲期權(quán)價(jià)格蟋字，其中 $K3 > K2 > K1$ 且 $2K_2 = K_1+K_3$ 稿蹲。所有期權(quán)具有同樣的到期日。證明： $c_2 <= 0.5(c_1+c_3)$

構(gòu)造如下 portfolio：

買入執(zhí)行價(jià)格為 $K_1$ 和 $K_3$ 的歐式看漲期權(quán)各 1 個(gè)愉老，賣出執(zhí)行價(jià)格為 $K_2$ 的歐式看漲期權(quán) 2 個(gè)

該 portfolio 的收益可以通過這 4 個(gè)期權(quán)收益求和得到场绿。根據(jù)到期日股票價(jià)格 $S$ 分以下情況討論：

$S \leq K_1$ 時(shí)，對(duì)于擁有執(zhí)行價(jià)格為 $K_1$ 和 $K_3$ 的 call嫉入，我們不會(huì)行權(quán)焰盗。同時(shí)，對(duì)于賣出的執(zhí)行價(jià)格為 $K_2$ 的 call咒林，交易對(duì)手也不會(huì)行權(quán)熬拒。因此此時(shí)收益是 0。
$K_1 < S \leq K_2$ 時(shí)垫竞，我們可以對(duì)執(zhí)行價(jià)格為 $K_1$ 的 call 行權(quán)澎粟，收益為 $S-K_1$ 蛀序。
$K_2 < S \leq K_3$ 時(shí)，我們可以對(duì)執(zhí)行價(jià)格為 $K_1$ 的 call 行權(quán)活烙，同時(shí)執(zhí)行價(jià)格為 $K_2$ 的 call 會(huì)被交易對(duì)手行權(quán)徐裸。因此總收益為 $(S-K_1) - 2(S-K_2)$ ，由于 $2K_2 = K_1 + K_3$ 啸盏，總收益等價(jià)于 $K_3-S$ 重贺。
$K_3 \leq S$ 時(shí)，對(duì)手和我們都會(huì)行權(quán)回懦。收益為 0气笙。

現(xiàn)貨價(jià)格	1 long call profit (strike price K1)	1 long call profit (strike price K3)	2 short call profit (strike price K2)	Total Value
$S \leq K_1$	0	0	0	0
$K1< S \leq K2$	$S - K_1$	0	0	$S - K_1$
$K2 < S \leq K3$	$S - K_1$	0	$-2(S-K_2)$	$K_3 - S$
$K_3 \leq S$	$S - K_1$	$S - K_3$	$-2(S-K_2)$	0

因此該組合的收益在 0 到 $K_2-K_1$ 之間，一定非負(fù)怯晕。因此必然有 $c_1 + c_3 - 2c_2 >= 0$ 潜圃。

又或者，構(gòu)造兩個(gè) portfolio：

portfolio A：一個(gè)執(zhí)行價(jià)格為 $K_1$ 的 call 和一個(gè)執(zhí)行價(jià)格為 $K_3$ 的call
portfolio B：兩個(gè)執(zhí)行價(jià)格為 $K_2$ 的 call

同樣根據(jù)以上的分析可以得出舟茶，A 的收益始終是大于或者等于 B 的收益谭期。因此 A 的價(jià)格必須也大于 B 的價(jià)格，否則會(huì)出現(xiàn)套利機(jī)會(huì)稚晚。

10.3 期權(quán)價(jià)格的上下限

如果一個(gè)期權(quán)的價(jià)格出超出了上下限崇堵，那么就會(huì)產(chǎn)生套利機(jī)會(huì)型诚。

美式和歐式看漲期權(quán)具有相同的上下限客燕。

10.3.1 上限

看漲

美式和歐式看漲期權(quán)給予持有者以一定價(jià)格買入股票的權(quán)利。顯然狰贯，期權(quán)價(jià)格不能比股票價(jià)格還高也搓。否則可以通過賣出看漲期權(quán)并買入股票套利。假設(shè)看漲期權(quán)價(jià)格為 $c$ , 當(dāng)前股票價(jià)格為 $S_0$ 涵紊，則有：

$c \leq S_0$

看跌

美式和歐式看跌期權(quán)給予持有者以一定價(jià)格賣出股票的權(quán)利傍妒。期權(quán)的價(jià)格顯然不能比執(zhí)行價(jià)格折現(xiàn)后價(jià)格還高。否則可以賣空期權(quán)摸柄，并用收益做無風(fēng)險(xiǎn)投資套利颤练。假設(shè)看跌期權(quán)價(jià)格為 $p$ ，執(zhí)行價(jià)格為 $K$ 驱负，無風(fēng)險(xiǎn)利率為 $r$ 嗦玖，到期時(shí)間為 $T$ ，則有：

$p \leq Ke^{-rT}$

對(duì)于美式的看跌期權(quán)跃脊，有

$p <= K$

10.3.2 下限

總結(jié)來講宇挫，期權(quán)價(jià)格下限是執(zhí)行價(jià)格折現(xiàn)后( $K e^{-rT}$ )與現(xiàn)貨價(jià)格 ( $S_0$ ) 的差價(jià)。

看漲

我們想象一個(gè)交易者(A) 以價(jià)格 $S_0$ 買入了某股票酪术。

另一個(gè)交易者(B)以價(jià)格 $C$ 購買該股票的歐式看漲期權(quán)器瘪，同時(shí)還持有 $T$ 時(shí)刻后行權(quán)必備的現(xiàn)金 $Ke^{-rT}$ 。

可以證明，交易者 B 在經(jīng)過 $T$ 到到期日時(shí)橡疼，他持有資產(chǎn)為 $\max(K, S)$ 援所。即不低于 A 屆時(shí)的資產(chǎn) $S$ 。這是期權(quán)給 B 帶來的權(quán)益欣除。

因此在 0 時(shí)刻任斋，根據(jù)無套利假設(shè)，A 的資產(chǎn)價(jià)格必然小于 B耻涛。即存在 $S_0 \leq C + Ke^{-rT}$ 废酷，即 $C \geq S_0 - Ke^{-rT}$ ，同時(shí) $C \geq 0$ 抹缕。

否則有如下套利機(jī)會(huì)：

0 時(shí)刻澈蟆，賣空股票獲得收益 $S_0$ ，并以 $C$ 價(jià)格買入看漲期權(quán)卓研，剩余錢用作利率為 $r$ 的無風(fēng)險(xiǎn)投資
T 時(shí)刻分兩種情況：
- 當(dāng) $S > K$ 趴俘，以執(zhí)行價(jià)格 $K$ 買入股票，獲利 $(S_0 - C)e^{rT} - K$
- 當(dāng) $S \leq K$ 奏赘，以 $S$ 買入股票寥闪，獲利 $(S_0 - C)e^{rT} - S$

因此，我們得出結(jié)論磨淌，對(duì)于歐式看漲期權(quán)疲憋，有如下關(guān)系：

$C >= S_0 - Ke^{-rT}$

即期權(quán)價(jià)格不低于執(zhí)行價(jià)格折現(xiàn)后與現(xiàn)貨價(jià)格的差價(jià)。

看跌

對(duì)于歐式看跌期權(quán)梁只，我們假設(shè)進(jìn)行如下操作：

在 0 時(shí)刻缚柳，以 $r$ 利率貸款，并分別以 $S_0$ 和 $p$ 價(jià)格買入股票和看跌期權(quán)搪锣，看跌期權(quán)到期日為 $T$ 秋忙，執(zhí)行價(jià)格為 $K$ 。

在 T 時(shí)刻构舟，通過賣出股票收益為 $\max(K, S) \geq K$ 灰追，需還款 $(S_0 + p)e^{rT}$ 。
顯然我們必須保證收益不能永遠(yuǎn)為正狗超，否則存在套利機(jī)會(huì)弹澎。即 $K - (S_0 + p)e^{rT} \leq 0$ 。

可以得出：

$p \geq Ke^{-rT} - S_0$

對(duì)于美式的看跌期權(quán)抡谐，由于它可以提前行權(quán)裁奇，因此 $K$ 并不需要折現(xiàn)，其下限為

$p \geq K - S_0$

10.3.3 美式期權(quán)的提前行權(quán)

看漲

對(duì)于 in the money 的看漲期權(quán)麦撵，提前行權(quán)獲取的收益是 $S-K$ 刽肠，而期權(quán)價(jià)值的下限是 $S-Ke^{-rT}$ 溃肪，提前行權(quán)會(huì)帶來以下?lián)p失：

在到期日前，期權(quán)價(jià)值是大于 $S-K$ 的
支付了執(zhí)行價(jià)格 K音五，無法再獲取無風(fēng)險(xiǎn)利息收入
失去期權(quán)的保護(hù)作用

但是有一個(gè)情況除外惫撰，假設(shè)已經(jīng)知道某股票會(huì)派發(fā)大額股息，大于提前行權(quán)帶來的損失躺涝，那我們就會(huì)選擇提前行權(quán)厨钻，買入股票來獲得股息收益。

綜合其上下限坚嗜，以及在無股息情況下夯膀，美式看漲期權(quán)不會(huì)提前行權(quán)的特點(diǎn)，可以繪制以下期權(quán)價(jià)格隨股票價(jià)格變化的趨勢圖：

Euro/American Call

該圖需要注意的地方有：

無股息情況下苍蔬，美式和歐式看漲期權(quán)具有相同的價(jià)格
價(jià)格下限為 $\max(S_0 - Ke^{-rT}, 0)$
價(jià)格上限為 $S_0$

看跌

對(duì)于 in the money 的看跌期權(quán)诱建，提前行權(quán)獲取的收益是 $K-S$ ，而期權(quán)價(jià)值的下限是 $Ke^{-rT} - S$ 碟绑，因此提前行權(quán)不一定會(huì)帶來損失俺猿。

對(duì)于深度實(shí)值的看跌期權(quán)（時(shí)間價(jià)值很小甚至為負(fù)），如果不考慮股息格仲，我們盡早行權(quán)可以提前獲得 $K$ 并用于賺取無風(fēng)險(xiǎn)利息收入押袍。

由于美式看跌期權(quán)提前行權(quán)可能是最優(yōu)策略，因此歐式和美式價(jià)格并不相同凯肋。

American Put

該圖需要注意的是：

價(jià)格上限是 $K$
價(jià)格下限是 $\max(K - S_0, 0)$
對(duì)于 deep in the money 的歐式看跌期權(quán)（當(dāng) $S<A$ ）谊惭，其價(jià)格等于 $K-S$ 。
美式看跌期權(quán)價(jià)格總是不小于對(duì)應(yīng)的歐式看跌期權(quán)價(jià)格
在 $A$ 點(diǎn)之前否过，美式看跌期權(quán)價(jià)格總是等于其內(nèi)在價(jià)值 $K-S$ 午笛。因此時(shí)間價(jià)值為0惭蟋。
由 4 和 5苗桂，可知在 $A$ 點(diǎn)之前，歐式看跌期權(quán)的時(shí)間價(jià)值為負(fù)數(shù)

Euro Put

該圖需要注意的是：

價(jià)格上限是 $Ke^{-rT}$
價(jià)格下限是 $\max(Ke^{-rT} - S_0, 0)$
虛線 $\max(K-S_0, 0)$ 是為了和美式看跌期權(quán)做比較繪制的告组，交點(diǎn)是 $B$
對(duì)于 deep in the money 的歐式看跌期權(quán)（當(dāng) $S<B$ ）煤伟，其價(jià)格約等于 $K-S$ 。
在 $B$ 點(diǎn)之前木缝，歐式看跌期權(quán)價(jià)格小于其內(nèi)在價(jià)值 $K-S$ 便锨，因此它的時(shí)間價(jià)值為負(fù)。
在 $B$ 點(diǎn)我碟，歐式看跌期權(quán)價(jià)格等于其內(nèi)在價(jià)值 $K-S$ 放案，由于美式看跌期權(quán)價(jià)格在歐式的上方，因此在股票價(jià)格等于 $B$ 時(shí)矫俺，美式期權(quán)價(jià)格是大于 $K-S$ 的吱殉，即在 $A$ 點(diǎn)之后掸冤，因此必然有 $B>A$ 。
在 $B$ 點(diǎn)之后友雳，歐式看跌期權(quán)時(shí)間價(jià)值為正稿湿。

10.4 Put-Call 平價(jià)關(guān)系

10.4.1 歐式期權(quán)

我們現(xiàn)在推導(dǎo) 歐式看漲和看跌期權(quán)在相同執(zhí)行價(jià)格和到期日的情況下的價(jià)值關(guān)系。

考慮以下兩種投資組合：

Portfolio A: 歐式看漲期權(quán)押赊，以及在 $T$ 時(shí)刻提供 $K$ 現(xiàn)金流的零息債券
Portfolio C: 歐式看跌期權(quán)饺藤，以及對(duì)應(yīng)的股票

這兩種投資組合在 $T$ 時(shí)刻的價(jià)值如下表：

投資組合	S > K	S <= K
A	看漲期權(quán): $S-K$ ，債券： $K$ 流礁，共 $S$	看漲期權(quán)：0涕俗，債券： $K$ ，共 $K$
C	看跌期權(quán): 0神帅，股票： $S$ 咽袜，共 $S$	看跌期權(quán)： $K-S$ ，股票： $S$ 枕稀，共 $K$

因此在 $T$ 時(shí)刻總有兩種組合價(jià)值相等询刹。這說明，在 0 時(shí)刻萎坷，這兩個(gè) portfolio 也必須相等凹联，否則我們可以通過買入便宜的那個(gè)并出售貴的那個(gè)進(jìn)行套利（這兩種投資組合總能相互抵消）。

因此我們得出傳說中的 put-call parity：

$c + Ke^{-rT} = p + S_0$

這個(gè)式子表明了具有相同執(zhí)行價(jià)格和到期日的 call 和 put 的價(jià)格只要確定了其中一個(gè)哆档，另一個(gè)也隨之確定蔽挠。

在股息發(fā)放時(shí)候（假設(shè)為 $D$ ），上式變?yōu)?/p>

$c + D + Ke^{-rT} = p + S_0$

例 1

對(duì)于一支支付股息的股票瓜浸，為什么說它的美式看漲期權(quán)價(jià)格至少是它的內(nèi)涵價(jià)值澳淑？這個(gè)結(jié)論對(duì)歐式看漲期權(quán)成立嗎？

美式期權(quán)可以在到期日前任何時(shí)候執(zhí)行插佛，若執(zhí)行則立即獲得其內(nèi)涵價(jià)值 $S-K$
美式期權(quán)賦予了持有者選擇何時(shí)執(zhí)行的權(quán)利杠巡，而這個(gè)權(quán)利本身也具有價(jià)值。

對(duì)于歐式看漲期權(quán)雇寇，這個(gè)結(jié)論并不一定成立氢拥。

假設(shè)這個(gè)股票會(huì)在期權(quán)到期日前發(fā)放高額的股息，因此股票價(jià)格會(huì)下跌锨侯，而歐式期權(quán)只能等到發(fā)送股息結(jié)束后才能行權(quán)嫩海，因此其價(jià)值可能會(huì)低于 $S-K$ 。

將我們的 pull-call-parity 公式（不適用于美式期權(quán)）變?yōu)橐韵滦问剑?/p>

$c = p + S - Ke^{-rT} - D$

假設(shè)我們這一對(duì) call 和 put 的執(zhí)行價(jià)格非常低囚痴，以至于 put 價(jià)格約等于 0叁怪，則有 $c = S - Ke^{-rT} - D$ ，當(dāng) $D$ 足夠大時(shí)可能小于 $S - K$ 深滚。

例 2

在交易所奕谭，看漲期權(quán)比看跌期前更早被引入耳璧，在僅有看漲期權(quán)時(shí)，對(duì)于一個(gè)無股息的股票展箱，如何構(gòu)造一個(gè)歐式看跌期權(quán)旨枯？

利用 call-put-parity，可得：

$p = c + Ke^{-rT} - S$

這是看跌期權(quán)的價(jià)格混驰，那么我們買入看跌期權(quán)攀隔，相當(dāng)于是 $-p$ ，

我們已經(jīng)證明了以下兩個(gè)投資組合具有同樣的收益：

Portfolio A: 歐式看漲期權(quán)栖榨，在 $T$ 時(shí)刻提供 $K$ 現(xiàn)金流的零息債券
Portfolio C: 歐式看跌期權(quán)昆汹，以及對(duì)應(yīng)的股票

以上兩個(gè) portfolio 同時(shí)出售一個(gè)股票后仍然等效，因此歐式看跌期權(quán)等價(jià)于：

賣空股票婴栽，并持有股票的看漲期權(quán)及在到期日足夠行權(quán)的現(xiàn)金 $Ke^{-rT}$

10.4.2 美式期權(quán)

歐式的 put-call-parity 關(guān)系對(duì)于美式期權(quán)并不成立满粗，但是我們可以獲得一個(gè)不等式。

$S - K \leq C - P \leq S - Ke^{-rT}$

首先愚争，在無股息的前提下映皆，假設(shè)美式看漲和看跌期權(quán)價(jià)格分別為 $C$ , $P$ ，歐式為 $c$ , $p$ 轰枝。我們總有 $C = c$ 和 $P \geq p$ 成立捅彻。

我們根據(jù)

$c + Ke^{-rT} = p + S$

可以得到

$C - P \leq S - Ke^{-rT}$

前半個(gè)不等式

$S - K \leq C - P$
等價(jià)于

$S + P \leq C + K$

我們考慮以下兩個(gè) portfolio：

portfolio A: 持有股票（價(jià)格為 $S$ ）以及美式看跌期權(quán)（價(jià)格為 $P$ ，執(zhí)行價(jià)格為 $K$ 鞍陨，還有 $T$ 到期）
portfolio B: 持有現(xiàn)金（價(jià)格為 $K$ ）以及歐式看漲期權(quán)（價(jià)格為 $C$ 步淹，執(zhí)行價(jià)格為 $K$ ，還有 $T$ 到期）

則在 $T$ 之后：

$S \geq K$ ：portfolio A 價(jià)值為 $S$ 诚撵，portfolio B 價(jià)值為 $S - K + Ke^{rT}$
$S < K$ : portfolio A 價(jià)值為 $K$ 缭裆，portfolio B 價(jià)值為 $Ke^{rT}$

因此，只要利率 $r>0$ 寿烟，必然有 portfolio B 價(jià)值大于 portfolio A澈驼。因此在 0 時(shí)刻也必然有 $S + P \leq C + K$ 。

綜上所述韧衣，美式call/put的關(guān)系為：

$S - K \leq C - P \leq S - Ke^{-rT}$

例 1

無股息股票的美式看漲期權(quán)價(jià)格為 $4盅藻，股票價(jià)格為 $31，執(zhí)行價(jià)格為 $30畅铭，期限為 3 個(gè)月，無風(fēng)險(xiǎn)利率 8%勃蜘。推導(dǎo)具有相同執(zhí)行價(jià)格和期限的美式看跌期權(quán)價(jià)格上下限硕噩。

帶入有

$31 - 30 <= 4 - P <= 31 - 30e^{-0.02}$

因此有 2.406 <= P <= 3.000。

最后編輯于：2021.10.20 17:11:11

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茶點(diǎn)故事閱讀 39,739評(píng)論 1贊 348
活死人
序言：一個(gè)原本活蹦亂跳的男人離奇死亡熬尺，死狀恐怖摸屠，靈堂內(nèi)的尸體忽然破棺而出，到底是詐尸還是另有隱情粱哼，我是刑警寧澤季二，帶...
沈念sama閱讀 35,437評(píng)論 5贊 344
?日本核電站爆炸內(nèi)幕
正文年R本政府宣布，位于F島的核電站揭措，受9級(jí)特大地震影響胯舷，放射性物質(zhì)發(fā)生泄漏。R本人自食惡果不足惜绊含，卻給世界環(huán)境...
茶點(diǎn)故事閱讀 41,037評(píng)論 3贊 326
男人毒藥：我在死后第九天來索命
文/蒙蒙一桑嘶、第九天我趴在偏房一處隱蔽的房頂上張望。院中可真熱鬧躬充，春花似錦逃顶、人聲如沸。這莊子的主人今日做“春日...
開封第一講書人閱讀 31,677評(píng)論 0贊 22
一樁弒父案以政，背后竟有這般陰謀
文/蒼蘭香墨我抬頭看了看天上的太陽。三九已至伴找，卻和暖如春盈蛮，著一層夾襖步出監(jiān)牢的瞬間，已是汗流浹背技矮。一陣腳步聲響...
開封第一講書人閱讀 32,833評(píng)論 1贊 269
情欲美人皮
我被黑心中介騙來泰國打工抖誉，沒想到剛下飛機(jī)就差點(diǎn)兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道東北人衰倦。一個(gè)月前我還...
沈念sama閱讀 47,760評(píng)論 2贊 369
代替公主和親
正文我出身青樓袒炉，卻偏偏與公主長得像，于是被迫代替她去往敵國和親耿币。傳聞我的和親對(duì)象是個(gè)殘疾皇子梳杏，可洞房花燭夜當(dāng)晚...
茶點(diǎn)故事閱讀 44,647評(píng)論 2贊 354