Popov超穩(wěn)定性在模型參考自適應(yīng)（MRAS）中的應(yīng)用

符號說明

與參考文獻²中一致

Popov超穩(wěn)定性概述¹

對于連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)，超穩(wěn)定性成立的條件有兩個：

輸入輸出積分滿足Popov積分不等式：
$\int_{0}^{T}u^T(t)y(t)dt\leq\delta(||x(0)||)sup_{0\leq t \leq T}||x(t)||$
傳遞函數(shù)矩陣滿足正實性奏属。

在MRAS中的應(yīng)用跨跨，以PMSM參數(shù)辨識為例

在參考文獻²中，可以看到本身模型參考自適應(yīng)原理比較簡單囱皿，只是對于控制器設(shè)計和穩(wěn)定性證明比較麻煩勇婴，用到了Popov超穩(wěn)定性理論來設(shè)計控制器忱嘹。
首先，參考模型選擇與源模型相同耕渴，構(gòu)造了一誤差系統(tǒng)拘悦，只要保證該誤差系統(tǒng)的狀態(tài)變量收斂到0，則電機參數(shù)即可估計出來萨螺。
$\dot{e}=(A+G)e+\Delta A\hat{i}+\Delta Bu+\Delta C$
其中 $e$ 為誤差矢量窄做， $e = i - \hat{i}, i = \left[ \begin{matrix} i_d & i_q \end{matrix} \right]^T, \Delta A = A - \hat{A}, \Delta B = B - \hat{B}, \Delta C = C - \hat{C}$ 。取 $w = -(\Delta A\hat{i}+\Delta Bu+\Delta C)$ 慰技，則有：
$\dot{e}=(A+G)e-w$
通過設(shè)計 $G$ 來保證系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣嚴格正實³椭盏，設(shè)計 $-w$ 來保證滿足輸入輸出Popov積分不等式。在該系統(tǒng)中吻商，有 $A = \left[ \begin{matrix} -a & w_e\\ -w_e & -a \end{matrix} \right], \hat{A} = \left[ \begin{matrix} -\hat{a} & w_e\\ -w_e & -\hat{a} \end{matrix} \right], B = \left[ \begin{matrix} b & 0\\ 0 & b \end{matrix} \right], \hat{B} = \left[ \begin{matrix} \hat掏颊 & 0\\ 0 & \hat \end{matrix} \right], C = \left[ \begin{matrix} 0 & -w_ec \end{matrix} \right]^T, \hat{C} = \left[ \begin{matrix} 0 & -w_e\hat{c} \end{matrix} \right]^T$ 艾帐，取 $\hat{a}, \hat乌叶, \hat{c}$ 均為PI類型的控制器，有：
$\hat{a}=\int_{0}^{t}f_1(\tau)d\tau + f_2(t) + \hat{a}(0) \\ \hat柒爸=\int_{0}^{t}g_1(\tau)d\tau + g_2(t) + \hat准浴(0) \\ \hat{c}=\int_{0}^{t}h_1(\tau)d\tau + h_2(t) + \hat{c}(0)$
將上 $\hat{a},\hat,\hat{c}$ 計算式帶入到Popov積分不等式中捎稚，其中 $u(t)$ 即為誤差系統(tǒng)中的 $-w$ 乐横， $y(t)$ 則為誤差系統(tǒng)中的 $e$ ，借助matlab符號運算今野，即可得到化簡后的Popov積分不等式如下：
$\int_{0}^{T}e_qw_e(c-\hat{c}) + (e_q\hat{i_q}+e_d\hat{i_d})(a-\hat{a}) - (e_qu_q + e_du_d)(b-\hat葡公)dt \geq -\gamma_0^2 \\ \Rightarrow \\ \int_{0}^{T}e_qw_e(c-(\int_{0}^{t}h_1(\tau)d\tau + h_2(t) + \hat{c}(0)))dt \\ + \int_{0}^{T}(e_q\hat{i_q}+e_d\hat{i_d})(a-(\int_{0}^{t}f_1(\tau)d\tau + f_2(t) + \hat{a}(0)))dt \\ - \int_{0}^{T}(e_qu_q + e_du_d)(b-(\int_{0}^{t}g_1(\tau)d\tau + g_2(t) + \hat(0)))dt \\ \geq -\gamma_0^2$
其中条霜， $\gamma_0$ 為一誤差系統(tǒng)中與系統(tǒng)變量（即誤差 $e$ ）初值相關(guān)的量催什。 $e_d=i_d-\hat{i_d},e_q=i_q-\hat{i_q}$ 可以看到，要滿足上式宰睡，即使：
$\int_{0}^{T}e_qw_e(c-(\int_{0}^{t}h_1(\tau)d\tau + h_2(t) + \hat{c}(0)))dt \geq -\gamma_1^2 \\ \int_{0}^{T}(e_q\hat{i_q}+e_d\hat{i_d})(a-(\int_{0}^{t}f_1(\tau)d\tau + f_2(t) + \hat{a}(0)))dt \geq -\gamma_2^2 \\ \int_{0}^{T}(e_qu_q + e_du_d)(b-(\int_{0}^{t}g_1(\tau)d\tau + g_2(t) + \hat蒲凶(0)))dt \geq -\gamma_3^2$
均滿足即可。以上三式中第一個不等式為例夹厌，將其拆開豹爹，可以得到：
$\int_{0}^{T}e_qw_e(c-\int_{0}^{t}h_1(\tau)d\tau - \hat{c}(0))dt \geq -\gamma_{11}^2 \\ \int_{0}^{T}-e_qw_eh_2(t)dt \geq -\gamma_{12}^2$
均滿足即可。對于上兩式中的第一式矛纹，可以利用如下不等式：
$\int_{0}^{T}\frac{df(t)}{dt}kf(t)dt=\frac{k}{2}[f^2(T)-f^2(0)] \geq \frac{k}{2}f^2(0)$
取 $\frac{df(t)}{dt} =e_qw_e, kf(t)=c-\int_{0}^{t}h_1(\tau)d\tau - \hat{c}(0)$ 臂聋，則可以得到：
$h_1(t)=-e_qw_eK_{hi},K_{hi} \geq 0$
而對于上兩式中的第二式，可以直接取 $h_2(t)=-K_{hp}e_qw_e$ 即可保證不等式成立：
$h_2(t)=-K_{hp}e_qw_e,K_{hp} \geq 0$
因此，對于 $\hat{c}$ 的控制率可以選擇：
$\hat{c}=-K_{hi}\int_{0}^{t}e_q(\tau)w_ed\tau - K_{hp}e_q(t)w_e + \hat{c}(0)$
即可保證誤差系統(tǒng)滿足Popov超穩(wěn)定性條件孩等。使用同樣的方法艾君，即可得到 $\hat{a}與\hat$ 的控制率如下：
$\hat{a}=-K_{fi}\int_{0}^{t}(\hat{i_d}(\tau)e_d(\tau)+\hat{i_q}(\tau)e_q(\tau))d\tau - K_{fp}(\hat{i_d}(\tau)e_d(\tau)+\hat{i_q}(\tau)e_q(\tau)) + \hat{a}(0) \\ \hat肄方=K_{gi}\int_{0}^{t}(u_d(\tau)e_d(\tau)+u_q(\tau)e_q(\tau))d\tau + K_{gp}(u_d(t)e_d(t)+u_q(t)e_q(t)) + \hat冰垄(0)$

Note

值得注意的是，文獻²中利用MRAS同時辨識出三個電機參數(shù)权她，但實際上系統(tǒng)模型的階數(shù)僅為兩階虹茶，因此個人覺得應(yīng)該是有些許錯誤，在實際仿真時也印證了這一點：只有兩個參數(shù)時辨識才準確隅要，若三個參數(shù)同時辨識蝴罪，結(jié)果將不準確。

參考文獻

[1] 波波夫(POPOV)超穩(wěn)定性理論該怎么理解步清？@X HE

[2] Quntao An and Li Sun, "On-line parameter identification for vector controlled PMSM drives using adaptive algorithm," 2008 IEEE Vehicle Power and Propulsion Conference, Harbin, 2008, pp. 1-6, doi: 10.1109/VPPC.2008.4677634.

[3] Xu Junfeng, Xu Yinglei, Xu jiangping, et al. “A new control method for permanent magnet synchronous machines with observer”, Aachen Germany: 35th IEEE Power Electronics Specialists Conference, 2004.

附錄

matlab公式化簡源碼

clc;
clear all;
syms a b c A B C Ag Bg Cg e dltA dltB dltC i ig we id iq idg iqg ag bg cg e ud uq u real
A = [-a we;-we -a]
Ag = [-ag we;-we -ag]
B = [b 0;0 b]
Bg = [bg 0;0 bg]
C = [0;-we*c]
Cg = [0;-we*cg]
dltA = A - Ag
dltB = B - Bg
dltC = C - Cg
i = [id;iq]
ig = [idg;iqg]
e = i - ig
u = [ud;uq]
clc
-(dltA*ig + dltB*u + dltC)' * e