離散傅里葉變換（DFT）

定義

離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform麦锯，縮寫為DFT）骡技，是傅里葉變換在時域和頻域上都呈離散的形式柑土，將信號的時域采樣變換為其DFT的頻域采樣榛斯。

傅里葉變換

對于N點序列{X[n]}(0 <= n <= N),它的離散傅里葉變換為:

離散傅里葉變換

dft() 函數(shù)

dft()函數(shù)的作用是對一維或二維的浮點數(shù)數(shù)組進(jìn)行正向或反向的離散傅里葉變換。

函數(shù)原型

void dft(
    InoutArray src,  //輸入矩陣
    OutputArray dst, ///輸出矩陣
    int flags = 0,  //轉(zhuǎn)換的標(biāo)識符
    int onozeroRows,  
)

第三個參數(shù)永票，轉(zhuǎn)換的標(biāo)識符分為:

• DFT_INVERSE 用一維或二維逆變換代替默認(rèn)的正向變換卵贱。
• DFT_SCALE 縮放比例標(biāo)識符，輸出的結(jié)果都會以1 / N進(jìn)行縮放侣集。
• DFT_CMPLEX_OUTPUT键俱、DFT_REAL_OUTPUT 進(jìn)行一維或二維的數(shù)組反變換。

返回DFT最優(yōu)尺寸大惺婪帧：getOptimalDFTSize()函數(shù)

void int getOptimalDFTSize(int vecsize);

擴(kuò)充圖像邊界：copyMakeBorder()函數(shù)

void copyMakeBorder(
    InputArray src,  //輸入圖像
    OutputArray dst,  //輸出圖像
    int top,  //在圖像上方擴(kuò)充的像素值
    int bottom,  //在圖像下方擴(kuò)充的像素值
    int left,  //在圖像左方擴(kuò)充的像素值
    int right,  //在圖像右方擴(kuò)充的像素值
    int borderType, //邊界類型·
    const Scalars,
)

計算二維矢量的幅值：magnitude()函數(shù)

用于計算二維矢量的幅值

void magnitude(
    InputArray x,  //表示矢量的浮點型X坐標(biāo)值,即實部
    InputArray y,  //表示矢量的浮點型Y坐標(biāo)值编振，即虛部
    OutputArray magnitude,  //輸出的幅值
)

計算自然對數(shù)：log() 函數(shù)

log()函數(shù)的功能是計算每個數(shù)組元素絕對值的自然對數(shù)

void log(
    InputArray src,
    OutputArray dst,
);

原理即為：

if(src(I) != 0)
    log|src(I)|
else
    C

矩陣歸一化：normalize()函數(shù)

void normalize(
    InputArray src,
    OutputArray dst,
    double alpha = 1,  //歸一化之后的最大值，有默認(rèn)值1
    double beta = 0,  //歸一化之后的最大值臭埋，有默認(rèn)值0
    int norm_type = NORM_L2,  //歸一化類型
    int dtype = -1,   //為負(fù)數(shù)時輸出矩陣和src有同樣的類型踪央，否則臀玄，它和src有同樣的通道數(shù)，深度為CV_MAT_DEPTH
    InputArray mask=noArray(),  //可選的操作掩模
)

getOptimalDFTSize函數(shù)

該函數(shù)返回給定向量尺寸的傅里葉最優(yōu)尺寸大小畅蹂。為了提高離散傅里葉變換的運行速度镐牺，需要擴(kuò)充圖像。

使用dft函數(shù)計算兩個二維實矩陣卷積的示例核心片段

• 其中MulSpectrums的作用是計算兩個傅里葉頻譜的每個元素的乘法

void convolveDft(InputArray A, InputArray B, OutputArray C)
{
    //初始化輸出矩陣
    C.create(abs(A.rows - B.rows) + 1, abs(A.cols - B.cols) + 1, A.type);

    //計算DFT變換的尺寸
    dftSize.width = getOptimalDFTSize(A.cols + B.cols - 1);
    dftSize.height = getOptimalDFTSize(A.rows + B.rows - 1);

    //分配臨時緩沖區(qū)并初始化置0
    Mat tempA(dftSize,A.type(),Scalar::all(0));
    Mat tempB(dftSize,B.type(),Scalar::all(0));

    //分別復(fù)制A和B到tempA和tempB的左上角
    Mat roiA(tempA,Rect(0,0,A.cols,A.rows));
    A.copyTo(roiA);
    Mat roiB(tempB,Rect(0,0,B.cols,B.rows));
    B.copyTO(roiB);

    //就地操作魁莉，進(jìn)行快速傅里葉變換睬涧，并將nonzeroRows 參數(shù)置為零，以進(jìn)行更加快速的處理旗唁。
    dft(tempA,tempA,0,A.rows);
    dft(tempB,tempB,0,B.rows);

    //將得到的頻譜相乘畦浓，結(jié)果存放于tempA當(dāng)中
    mulSpectrums(tempA,tempB,tempA);  

    //將結(jié)果變換為頻域，盡管結(jié)果行（result.rows）都為非零检疫，我們只需其中的C.rows的第一行讶请，所以采用nonzeroRows == C.rows
    dft(tempA,tempA,EFT_INVERSE + EFT_SCALE,C.rows);

    //將結(jié)果復(fù)制到C當(dāng)中
    tempA(Rect(0,0,C.cols,C.rows)).copyTo(C);

    //所有的臨時緩存區(qū)將被自動釋放，所以無需收尾操作
}

例示程序：離散傅里葉變換

【1】載入原始圖像

//【1】ui灰度模式讀取原始圖像并顯示
Mat srcImage = imread("D:\\Desktop\\lena.jpg",0);
if (!srcImage.data)
{
    cout << "lena圖片讀取錯誤" << endl;
    return false;
}
imshow("原始圖像", srcImage);

【2】將圖像擴(kuò)大到合適的尺寸

//【2】將輸入的圖像延擴(kuò)到最佳的尺寸屎媳，邊界用0補充
int m = getOptimalDFTSize(I.rows);
int n = getOptimalDFTSize(I.cols);
//將添加的像素初始化為0
Mat padded;
copyMakeBorder(I,padded,0,m - I,rows,0,n - I.cols,BORDER_CONSTANT,Scalar::all(0));

【3】為傅里葉變換的結(jié)果分配儲存空間

傅里葉變換的結(jié)果是復(fù)數(shù)夺溢，每個原圖像值，結(jié)果會有兩個圖像值烛谊。

為傅里葉變換的結(jié)果（實部和虛部）分配儲存空間
//將planes數(shù)組組合合并成一個多通道的數(shù)組complexI
Mat planes[] = (Mat_<float>(padded),Mat::zeros(padded.size(),CV_32F));
Mat complexI;
merge(planes,2,complexI);

【4】進(jìn)行離散傅里葉變換

def(complexI,complexI);

【5】將復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)換為幅值

離散傅里葉變換的結(jié)果是復(fù)數(shù)风响，對應(yīng)的幅值可表示為：

復(fù)數(shù)變幅值

//將復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)換為幅值，即=> log(1 + sqrt(Re(DFT(I)) ^ 2 + Im(DFT(I)) ^ 2))
split(complexI,planes);  //將多通道complexI分離成幾個單通道數(shù)組
planes[0] = Re(DFT(I),planes[1] = Im(DFT(I))
magnitude(planes[0],planes[1],planes[0]);
Mat magnitudeImage = planes[0];

【6】進(jìn)行對數(shù)尺度縮放

傅里葉變換的幅度之范圍大到不合適在屏幕上顯示丹禀。高值在屏幕上顯示為白點状勤，而低值為黑點，高低值的變化無法有效判斷双泪。為了在屏幕上凸顯出高低變化的連續(xù)性持搜，可以用對數(shù)尺度來代替線性尺度，公式如下：

尺度縮放

//進(jìn)行對數(shù)尺度縮放
magnitudeImage += Scalar::all(1);
log(magnitudeImage,magnitudeImage);  //求自然對數(shù)

【7】剪切和重分布幅度圖像象限

因為在第二步中延擴(kuò)了圖像焙矛，那現(xiàn)在是時候?qū)⑿绿砑拥南袼靥蕹撕巍榱朔奖泔@示，可以重新分布圖像象限位置村斟。

//若有奇數(shù)行或技術(shù)列贫导，進(jìn)行譜寫裁剪
magnitudeImage = magnitudeImage(Rect(0,0,magnitudeImage.cols & -2,magnitudeImage.rows & -2));
//重新排列傅里葉圖像中的象限，使得原點位于圖像中心
int cx = magnitudeImage.cols / 2;
int cy = magnitudeImage.rows / 2;
Mat q0(magnitudeImage,Rect(0,0,cx,cy)); //ROI區(qū)域的左上
Mat q1(magnitudeImage,Rect(cx,0,cx,cy));  //ROI區(qū)域的右上
Mat q2(magnitudeImage,Rect(0,cy,cx,cy));  //ROI區(qū)域的左下
Mat q3(magnitudeImage,Rect(cx,cy,cx,cy));  //ROI區(qū)域的右下

//交換象限(左上與右下)
Mat tmp;
q0.copyTo(tmp);
q3.copyTo(q0);
tmp.copyTo(q3);

//交換象限(右上與左下)
q1.copyTo(tmp);
q4.copyTo(q1);
tmp.copyTo(q4);

【8】歸一化

現(xiàn)在有了重分布后的幅度圖邓梅，但是幅度值仍然超過可顯示范圍[0,1],我們可以使用 normalize()函數(shù)歸一化到可顯示范圍脱盲。

normalize(magnitudeImage,magnitudeImage,0,1,NORM_MINMAX);

【9】顯示效果

imshow("頻譜幅值"，magnitudeImage);

效果

效果