如圖痛黎,正方體ABCD-的棱長為2、E忧设、F分別是棱AB,BC上的點刁标,且AE=BF=Х.
﹙1﹚當(dāng)X為何值時,三棱錐BEF的體積最大址晕?
﹙2﹚當(dāng)三棱錐BEF的體積最大時膀懈,求二面角
EF
B的正確值;
﹙3﹚求異面直線與
所成角的取值范圍.
解析
﹙1﹚在正方體ABCD→中
⊥平面ABCD,
故
將三棱錐
-BEF的體積表示成關(guān)于
的二次函數(shù)谨垃,體現(xiàn)了函數(shù)思想启搂。
故當(dāng)=1時,三棱錐
-BEF的體積取得最大值刘陶,為
.
﹙2﹚由﹙1﹚知胳赌,當(dāng)E、F分別為AB,BC的中點時匙隔,三棱錐-BEF的體積最大疑苫,取EF的中點0,連接0B,
,如圖纷责,
則BOEF,易得
E=
F捍掺,所以
O⊥EF,
則 ∠0B是兩面角
-EF-B的平面角。
在RtBEF中碰逸,BO=EF=
乡小,
在RtO中,
∠
OB=
=
,
即三棱錐-BEF的體積最大時饵史,二面角
-EF -B的正切值為
.
﹙3﹚在AD上取點H满钟,使AH=BF=AE,連接H、EH胳喷、FH湃番,如圖,
易知HF=AB=,HF//AB//
,故四邊形
FH是平行四邊形吭露,
則H//
F,故∠HA吠撮,E(或其補角)及為異面直線
E與
F所成的角。
在RtAH中讲竿,
H=
泥兰,
在RtAE中,
E=
题禀,
在RtHAE中鞋诗,EH=
,
在E中迈嘹,由余弦定理的推論得cos∠HA削彬,E=
全庸,
將異面直線所成角的余弦值表示成關(guān)于
的函數(shù),通過變量
的范圍求異面直線所成角的取值范圍融痛,體現(xiàn)了函數(shù)思想壶笼。
易知O<X ≤ 2,則4<+4 ≤ 8雁刷,即
<
<1覆劈,即
≤cos∠
E<1,則0<∠
E=,所以異面直線
E與
F所成角的取值范圍為(0安券,
〕.
思想方法:
函數(shù)思想在立體幾何中的應(yīng)用常體現(xiàn)在求線段的長度范圍墩崩,體積、角度侯勉、面積的最值等鹦筹,通過引入合適的變量把所有研究的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,通過函數(shù)性質(zhì)解決址貌,達(dá)到化難為易铐拐,化繁為簡的目的,做題時應(yīng)注意所引入的變量的取值范圍练对。