如圖痛黎，正方體ABCD-的棱長為2、E忧设、F分別是棱AB,BC上的點刁标，且AE=BF=Х.
﹙1﹚當(dāng)X為何值時，三棱錐BEF的體積最大址晕？
﹙2﹚當(dāng)三棱錐BEF的體積最大時膀懈，求二面角
EF
B的正確值；
﹙3﹚求異面直線與
所成角的取值范圍.
解析
﹙1﹚在正方體ABCD→中
⊥平面ABCD,
故
將三棱錐
-BEF的體積表示成關(guān)于
的二次函數(shù)谨垃，體現(xiàn)了函數(shù)思想启搂。
故當(dāng)=1時，三棱錐
-BEF的體積取得最大值刘陶，為
.
﹙2﹚由﹙1﹚知胳赌，當(dāng)E、F分別為AB,BC的中點時匙隔，三棱錐-BEF的體積最大疑苫，取EF的中點0，連接0B,
,如圖纷责，
則BOEF,易得
E=
F捍掺，所以
O⊥EF,
則 ∠0B是兩面角
－EF－B的平面角。
在RtBEF中碰逸，BO=EF=
乡小，
在RtO中，
∠
OB=
=
,
即三棱錐-BEF的體積最大時饵史，二面角
－EF －B的正切值為
.
﹙3﹚在AD上取點H满钟，使AH=BF=AE,連接H、EH胳喷、FH湃番，如圖，
易知HF=AB=,HF//AB//
,故四邊形
FH是平行四邊形吭露，
則H//
F,故∠HA吠撮，E（或其補角）及為異面直線
E與
F所成的角。
在RtAH中讲竿，
H=
泥兰，
在RtAE中，
E=
题禀，
在RtHAE中鞋诗，EH=
，
在E中迈嘹，由余弦定理的推論得cos∠HA削彬，E=
全庸，
將異面直線所成角的余弦值表示成關(guān)于的函數(shù)，通過變量的范圍求異面直線所成角的取值范圍融痛，體現(xiàn)了函數(shù)思想壶笼。
易知O＜X ≤ 2，則4＜+4 ≤ 8雁刷，即
＜
＜1覆劈，即
≤cos∠
E＜1，則0＜∠
E=,所以異面直線
E與
F所成角的取值范圍為（0安券，
〕.
思想方法：
函數(shù)思想在立體幾何中的應(yīng)用常體現(xiàn)在求線段的長度范圍墩崩，體積、角度侯勉、面積的最值等鹦筹，通過引入合適的變量把所有研究的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，通過函數(shù)性質(zhì)解決址貌，達(dá)到化難為易铐拐，化繁為簡的目的，做題時應(yīng)注意所引入的變量的取值范圍练对。
