Power Analysis 是躲不掉的，但是網(wǎng)上的數(shù)據(jù)林林總總，有好有壞炮障，甚至還有不少錯(cuò)誤，因此自己總結(jié)一下然低，用于備忘。
對(duì)于假設(shè)檢驗(yàn)宏粤，是通過(guò)樣本觀察總體脚翘，并以此來(lái)支撐或否定我們對(duì)總體某一特征的假設(shè)。我們的樣本數(shù)據(jù)可能是不完善的绍哎，因此依據(jù)數(shù)據(jù)推斷總體可能會(huì)面臨兩種風(fēng)險(xiǎn)来农。
1. 兩種風(fēng)險(xiǎn)
如果我們的是我們的陽(yáng)性結(jié)果（一般來(lái)說(shuō)，我們都希望拒絕
得到所謂的顯著性差異）崇堰，假設(shè)的結(jié)果和事實(shí)之間沃于，可能是如下這種關(guān)系：
| 判斷\事實(shí) |
|
|
|---|---|---|
| 接受 |
TN（真陰性） | FN（假陰性） |
| 拒絕 |
FP（假陽(yáng)性） | TP（真陽(yáng)性） |
其中假陽(yáng)性就是所謂的第一類(lèi)錯(cuò)誤涩咖，假陰性就是第二類(lèi)錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)。在數(shù)學(xué)的概念中繁莹，分別叫做 “棄真”檩互、“取偽”。
此外咨演，還有一些定義需要知道：
- 假陽(yáng)性率
即在所有陰性的事實(shí)中闸昨，判斷成陽(yáng)性的比率是多少。
- 假陰性率
在所有陽(yáng)性的事實(shí)中薄风，判斷為陰性的比率饵较。
- 真陽(yáng)性率
在所有陽(yáng)性的事實(shí)中，判斷為陽(yáng)性的比率遭赂。
- 真陰性率
在所有陰性的事實(shí)中循诉，判斷為陰性的比率。
- 顯著性水平
即犯第一類(lèi)錯(cuò)誤（假陽(yáng)性）的概率撇他，即假陽(yáng)性率（FPR）茄猫，通常用表示，
2. 功效函數(shù)
對(duì)于我們的假設(shè)困肩，可能并不是合適的划纽。比如，僻弹，這個(gè)
可能只是我們自己拍腦袋決定的阿浓。因此對(duì)于這個(gè)
他嚷，不同的取值之間蹋绽，我們的樣本落在拒絕域的概率是不一樣的。
這時(shí)候就需要一個(gè)關(guān)于函數(shù)筋蓖，對(duì)于其不同的取值卸耘，計(jì)算這個(gè)概率，以評(píng)價(jià)在當(dāng)前樣本下粘咖，我們的最優(yōu)的假設(shè)應(yīng)該是什么取值蚣抗。這個(gè)函數(shù)就是功效函數(shù)。為：
是在顯著性水平
下的拒絕域瓮下。
3. 功效
功效的定義與功效函數(shù)有點(diǎn)區(qū)別翰铡，更接近拒絕域原來(lái)的意義。是指在為假的情況下讽坏，樣本落在拒絕域的概率锭魔，也就是備擇假設(shè)的功效。
事實(shí)上
為真
此時(shí)可能犯第一類(lèi)錯(cuò)誤路呜，棄真而出現(xiàn)假陽(yáng)性迷捧。第一類(lèi)風(fēng)險(xiǎn)的概率(FPR)為织咧。
事實(shí)上
此時(shí)可能犯第二類(lèi)錯(cuò)誤，取偽而出現(xiàn)假陰性漠秋。第二類(lèi)風(fēng)險(xiǎn)的概率(FNR)為笙蒙。
功效的定義是
在備擇假設(shè)成立時(shí)，樣本落在拒絕域的概率庆锦。也有的定義是1-第二類(lèi)風(fēng)險(xiǎn)（假陰性）捅位，即，也即
其他的定義
也有的教科書(shū)，為了簡(jiǎn)化定義燕耿，就直接定義第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率為，功效為
誉帅。如果不是從功效函數(shù)那里繼承下來(lái)這種符號(hào)標(biāo)記淀散，我也傾向于這種更簡(jiǎn)潔的記法。
4. 兩類(lèi)錯(cuò)誤不能同時(shí)變小
這兩類(lèi)錯(cuò)誤都是我們不希望見(jiàn)到的蚜锨。乍一看档插，這句話很對(duì)啊，畢竟二者發(fā)生的概率相加得1亚再。
（這個(gè)圖來(lái)源于百度百科_功效函數(shù)）
但是細(xì)一想郭膛，這兩種錯(cuò)誤是來(lái)源于不同情況下的條件概率，應(yīng)該是關(guān)系不大的氛悬。為啥二者扯上關(guān)系啦则剃？
我的理解是，我們最難的就是知道總體的絕對(duì)真實(shí)情況如捅，我們有的只有有限的樣本棍现。我們只能根據(jù)這些有限的樣本、顯著性水平和我們假設(shè)的
計(jì)算功效函數(shù)镜遣，但是并不知道總體的真實(shí)情況己肮。因此，站在不精確世界的角度上悲关，我們有的只是這兩個(gè)條件概率谎僻，這兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)，這兩個(gè)犯錯(cuò)誤的概率寓辱。我們擴(kuò)大樣本艘绍、改變顯著性水平等，對(duì)他們是同時(shí)改變的讶舰，因此是不能一起降低的鞍盗。
5. 功效分析
功效分析(Power Analysis)可以幫助我們?cè)O(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)需了。該分析涉及到以下四個(gè)量，知道三個(gè)就可以推算第四個(gè)般甲。
- 功效：TPR肋乍，即正確發(fā)現(xiàn)陽(yáng)性的概率
- 顯著性水平
- 樣本大小：即樣本的數(shù)目n
- 效應(yīng)值(effect size, ES)：樣本間差異或相關(guān)程度的量化指標(biāo)敷存，即標(biāo)準(zhǔn)化了的真假（或者差異）的閾值墓造。
具體的功效分析，可以用于比例檢驗(yàn)锚烦、t檢驗(yàn)觅闽、卡方檢驗(yàn)、ANOVA涮俄、相關(guān)性分析蛉拙、線性模型分析等。
6. 效應(yīng)值ES的計(jì)算
待續(xù)彻亲。孕锄。。
參考書(shū)目:
1.高等工程數(shù)學(xué)苞尝，吳孟達(dá)畸肆，李兵等編著，科學(xué)出版社宙址，P150
2.R語(yǔ)言實(shí)戰(zhàn)（第二版）轴脐，Robert I. Kabacoff，中國(guó)工信出版集團(tuán)&人民郵電出版社抡砂，第10章 功效分析
3.百度百科_功效函數(shù)
