昨天的隨機(jī)過(guò)程課程有一道有趣的習(xí)題：
問(wèn)題：一個(gè)粒子在正立方體的頂點(diǎn)上做隨機(jī)游動(dòng)钝尸，每次有
的概率停留不動(dòng)，有的概率移動(dòng)至相鄰的頂點(diǎn). 試求從某頂點(diǎn)
出發(fā)首次回到的平均時(shí)間.
假設(shè)這立方體的8個(gè)頂點(diǎn)分別標(biāo)記為
. 為方便起見搂根，我們來(lái)討論從
出發(fā)的粒子首次回到的平均時(shí)間. 設(shè)隨機(jī)變量
代表
步游動(dòng)后粒子的位置珍促，則將取值于. 按照標(biāo)準(zhǔn)的記號(hào)，定義
是粒子首次回到的時(shí)刻.
線性方程組法
解決這類平均時(shí)間的問(wèn)題的一般方法是為返回時(shí)間建立合適的線性方程組. 定義
則
就是粒子從
出發(fā)時(shí)首次返回的平均時(shí)間. 由于立方體的對(duì)稱性剩愧，從
出發(fā)返回的平均時(shí)間應(yīng)該相等猪叙，從出發(fā)返回的平均時(shí)間應(yīng)該相等，即
因此我們只需為
建立線性方程組.
顯然
(從出發(fā)的粒子已經(jīng)位于). 關(guān)于
我們進(jìn)行如下的推導(dǎo): 從1出發(fā)的粒子仁卷，有的概率仍位于
, 所需時(shí)間仍為
; 有的概率返回, 所需時(shí)間為; 有
的概率抵達(dá)
, 所需時(shí)間為, 因而
關(guān)于
可建立類似的方程穴翩，并得到
求解這個(gè)方程組我們得到
. 下面我們就可以來(lái)計(jì)算從出發(fā)的粒子回到的平均時(shí)間
了. 從出發(fā)的粒子有的概率停留不動(dòng), 剩余所需時(shí)間為0; 有
的概率抵達(dá)相鄰的頂點(diǎn), 剩余所需時(shí)間為, 故
即返回的平均時(shí)間為
.
不變分布法
現(xiàn)在我們采取下面的證明思路: 當(dāng)粒子在立方體上運(yùn)動(dòng)
次后，取到的次數(shù)約為
锦积，因?yàn)槿〉?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=0" alt="0" mathimg="1">的頻率為
芒帕；取到的次數(shù)也約為
，因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=T" alt="T" mathimg="1">是返回的平均時(shí)間. 兩者相等意味著
因此
, 從而得到了與第一種方法相同的結(jié)果.
顯然上面的表述是非常不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)? 嚴(yán)格描述這種方法需要用到馬氏鏈的不變分布和遍歷定理. 由于狀態(tài)空間
是有限且不可約丰介，因此存在唯一的不變分布
, 并且
. 這意味著, 當(dāng)粒子在立方體的頂點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)充分長(zhǎng)的時(shí)間后背蟆，取到各個(gè)頂點(diǎn)的頻率都近似為. 如果記
則所求平均返回時(shí)間即為
. 遍歷定理告訴我們,
即粒子在運(yùn)動(dòng)中取到的頻率趨向于平均返回時(shí)間的倒數(shù). 因此
.
參考資料
[1] 錢敏平,龔光魯,陳大岳,章復(fù)熹《應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程》高等教育出版社.
