數(shù)學(xué)建模筆記——插值擬合模型（一）

啊好像距離上次寫作又過了七天，啊好像我之前計劃的一周兩三篇善炫，啊辣雞小說毀我青春撩幽，啊我是一只可憐的鴿子库继。

不管怎樣箩艺，我又回來了，并堅定地更新著hhh宪萄。再過兩三天就是我們學(xué)校數(shù)學(xué)建模選拔艺谆，再過八九天就是期末考試。所以這兩天還是一樣拜英，寫勤快一點兒静汤，之后可能時不時就要斷更一周了，八月十九最后一門考完后才能繼續(xù)安安穩(wěn)穩(wěn)地寫文章了居凶。沒辦法虫给，這個暑假實在是不夠舒心。

好的侠碧，今天我來談一談插值和擬合抹估。插值和擬合是兩種不同的數(shù)值計算方法，分別又有著許多不同的插值算法和擬合算法弄兜。在我學(xué)習(xí)的《數(shù)值計算》課中药蜻，這兩部分好像是講了三四節(jié)課。因為課堂教學(xué)的時候替饿，需要對各種算法進行嚴(yán)格的證明和數(shù)學(xué)推導(dǎo)语泽。

限于篇幅以及個人能力的原因，本文不涉及太多的數(shù)學(xué)證明與推導(dǎo)（好吧视卢，基本上不推導(dǎo)）踱卵。事實上許多經(jīng)典的建模教材，也不怎么進行推導(dǎo)据过，主要還是著重于介紹與應(yīng)用惋砂。因此想要對插值和擬合進行深入了解的同學(xué)，歡迎自學(xué)《數(shù)值計算》類課程蝶俱。

插值

首先談一談插值班利。為什么需要插值呢？因為在許多的實際問題中榨呆，我們想要研究一個變量相對于另一個變量的關(guān)系罗标，往往只能通過觀測得出一組一組的值庸队。而兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，我們往往是難以通過某種解析式或者某種圖像來表達的闯割。也就是說彻消，我們只有一組一組的數(shù)據(jù)，壓根不曉得變量之間具體的函數(shù)關(guān)系宙拉。

這就帶來了一個難題宾尚。舉個例子，假設(shè)我們觀測的是“離海岸距離”與“海水深度”的關(guān)系⌒怀海現(xiàn)在我們將海岸線的位置作為0煌贴，每隔50米或者100米測量一次海水的深度，便得到了許多組數(shù)據(jù)锥忿。那現(xiàn)在的問題就是牛郑，如果我們想知道距離海岸線326米處的海水深度，怎么求呢敬鬓？

嗯淹朋，最簡單的方法就是跑到326米的位置測量一下啦。這確實是最為準(zhǔn)確的方法钉答。但是如果有許許多多的點都有待測量础芍，考慮到時間以及其他成本，一個一個測量可能不太現(xiàn)實数尿。因此仑性，我們需要不同的方法來解決這類問題。即已知 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 之間一些點所對應(yīng)的值： $y_i=f(x_i),i=0,1,2,...,n$ 砌创，我們想要求出節(jié)點 $x_0,x_1,x_2,...x_n$ 之間某個位置 $x$ 的函數(shù)值虏缸。插值就是解決這類問題的一個合適的方法。

插值是什么呢嫩实？很簡單刽辙，插值就是找到一個比較簡單的函數(shù) $\psi(x)$ ，滿足 $\psi(x_i)=y_i,i=0,1,2,...,n$ 甲献，之后使用 $\psi(x)$ 這個函數(shù)來求得 $x_0,x_1,x_2,...x_n$ 之間某個位置 $x$ 的函數(shù)值宰缤。也就是找一個函數(shù)來代替 $f(x)$ ，作為 $f(x)$ 的一個合理近似晃洒。

首先舉個例子慨灭。

上圖是我取出了函數(shù) $y=sin(x)$ 中的7個點。現(xiàn)在假裝我們不知道這是個正弦函數(shù)球及，我們只知道這7個點的坐標(biāo)氧骤，那如何求得 $x=4.25$ 的函數(shù)值呢？求是求不出來的吃引，不知道函數(shù)怎么可能求得出來筹陵，但我們可以使用插值求一個近似的解刽锤。

一種很簡單的想法就是分段線性插值，即將相鄰的兩個點之間用直線進行連接朦佩。這種方法應(yīng)該很容易理解并思。我們期望用簡單的函數(shù)來代替 $f(x)$ ，最簡單的一種函數(shù)應(yīng)該就是線性函數(shù)了吧语稠。嗯宋彼，進行一下插值。

諾仙畦，這就是分段線性插值的結(jié)果输涕。假如我們現(xiàn)在想要求出 $x=4.25$ 時的值，就比較簡單议泵。將 $(4,sin(4))$ 和 $(5,sin(5))$ 這兩點之間的直線方程解出來占贫，再把 $x=4.25$ 代入，就ok了先口。

可以看到，上述的插值方法太過簡單了瞳收，很可能與實際曲線不太相符碉京。在實際問題中，也很少有這種純線性的的函數(shù)關(guān)系螟深。因此我們可以使用一些較高階的多項式進行插值谐宙，例如分段三次Hermite插值。直接看看結(jié)果界弧。

是不是感覺光滑了很多凡蜻？其實還可以更加光滑一點，我們使用三次樣條插值試一試垢箕。也是直接放結(jié)果划栓。

最后我們把上面提到的三種插值以及原函數(shù)放在一起看看結(jié)果。

可以看到条获，三次樣條插值最接近原曲線忠荞，分段線性插值與原曲線相差最遠。這是不是說明三次樣條插值一定優(yōu)于三次Hermite插值與線性插值呢帅掘？當(dāng)然不是委煤，具體的問題還是要具體分析。如果兩個變量之間的線性相關(guān)性高達99%了修档，那何必還要進行三次插值呢碧绞？不過自然界以及工業(yè)界的多種曲線，往往都是較為光滑的吱窝，因此我們使用三次樣條插值函數(shù)較多讥邻。

上面只是一個簡單的例子寓免，讓大家對于插值有一個較為直觀的印象。其實很簡單计维，就是找到一個函數(shù)袜香，要求該函數(shù)曲線必須經(jīng)過已知點，之后再使用這樣一個函數(shù)代替原函數(shù)鲫惶，求出某個位置對應(yīng)的函數(shù)值蜈首，用這個近似值來代表真實值。接下來簡單介紹幾種插值算法以及在matlab中的相應(yīng)函數(shù)欠母。

插值的算法還挺多的欢策，例如拉格朗日插值，牛頓插值赏淌，最鄰近插值等等踩寇。不過這里我就介紹比較常用的插值方法，也就是上面提到的分段線性插值六水，分段三次Hermite插值以及三次樣條插值俺孙。這三種插值方法有一個共同的特點，即它們是在給定點的每一個小段都確定一個函數(shù)表達式掷贾，疊加起來作為最終的表達式睛榄。嗯，也就是說這是一個分段函數(shù)想帅，在 $[x_0,x_1]$ 之間求一個函數(shù)场靴，在 $[x_1,x_2]$ 求一個函數(shù)，依次類推……

為什么不求出一個單一的函數(shù)表達式呢港准？因為當(dāng)插值點越多旨剥，我們不進行分段時，最終得出來的函數(shù)的次數(shù)越高浅缸，而高次多項式會在插值的區(qū)間內(nèi)發(fā)生嚴(yán)重的震蕩現(xiàn)象轨帜，稱之為“龍格現(xiàn)象”。因此我們往往更傾向于使用分段低次多項式來近似原函數(shù)疗杉。拉格朗日插值以及牛頓插值阵谚，最終都是求出一個函數(shù)，因此這里不予介紹烟具，有興趣可以自行了解梢什。嗯，下圖是展示龍格現(xiàn)象的一張圖朝聋。其中黑色實線代表原函數(shù)嗡午，n代表插值多項式的次數(shù)，顯而易見冀痕，次數(shù)越高時荔睹，震蕩越明顯狸演。想要深入了解請自行學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容。

分段線性插值

分段線性插值不必多說了僻他，很簡單宵距，就是在相鄰的區(qū)間內(nèi)，用直線來近似原函數(shù)吨拗。用分段線性插值計算 $x$ 點的近似函數(shù)值時满哪，只用到 $x$ 左右的兩個節(jié)點，與其他節(jié)點無關(guān)劝篷。當(dāng)然啦哨鸭， $n$ 越大，分段越多娇妓，插值的誤差也就越小像鸡。實際使用中往往用來計算數(shù)學(xué)、物理中的特殊函數(shù)表哈恰，數(shù)理統(tǒng)計中的概率分布表等等只估。在建模過程中，也可以用來進行缺失數(shù)據(jù)的填補蕊蝗。

matlab中仅乓，插值使用到的函數(shù)是 $interp1$ 函數(shù)，最后一個是數(shù)字 $1$ 不是字母 $l$ 蓬戚。 $1$ 代表著一維數(shù)據(jù)。

通過help命令宾抓，我們可以看到interp1的使用形式子漩。點擊下方“interp1的參考頁”，可以進入該函數(shù)的幫助文檔頁面石洗。vq = interp1(x,v,xq,method)中幢泼，向量 x 包含樣本點，v 包含對應(yīng)值 v(x)讲衫。向量 xq 包含查詢點的坐標(biāo)缕棵，vq則返回相應(yīng)的插值結(jié)果。method指定插值方法涉兽，如'linear'招驴、'nearest'、'next'枷畏、'previous'别厘、 'spline'。默認(rèn)方法為 'linear'拥诡。因此触趴，如果我們想要進行線性插值就很簡單氮发，代碼如下。

x = 0:2*pi;  %生成[0,2*pi]之間的整數(shù)值
y = sin(x);  %生成相應(yīng)的函數(shù)值
plot(x,y,"or");%繪制一下點
xx = 0:0.01:2*pi;%這個是查詢點的坐標(biāo)向量
yy = interp1(x,y,xx,'linear');  %yy就是查詢點向量對應(yīng)的函數(shù)值向量了
plot(x,y,"o",xx,yy,"r");%畫圖畫圖

xx=1.23;%只查詢一個元素也是可以的
yy = interp1(x,y,xx,'linear');%嗯冗懦，還是這樣
plot(x,y,"o",xx,yy,"or");%畫圖畫圖

嗯嗯爽冕，很簡單是吧。對了披蕉，線性插值至少需要兩個點颈畸。我們也可以看到線性插值有一個很明顯的缺點，不夠光滑嚣艇。沒辦法承冰，畢竟是直線。

分段三次Hermite（埃爾米特）插值

分段三次埃爾米特插值比分段線性插值對數(shù)據(jù)的要求更高一點兒食零。假設(shè) $a=x_1<x_2<...<x_n=b$ 是[a,b]之間的互異節(jié)點困乒，且 $y_k=f(x_k),m_k=f'(x_k)$ 。嗯贰谣，也就是我們不僅要知道 $x_k$ 處對應(yīng)的函數(shù)值 $f(x_k)$ 娜搂，我們也需要知道 $x_k$ 處對應(yīng)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)值 $f'(x_k)$ 。

因此我們對相應(yīng)的插值函數(shù) $\psi(x)$ 有以下三個要求：

$\psi(x)$ 在 $[a,b]$ 上一階可導(dǎo)吱抚；
$\psi(x_k)=y_k,\psi'(x_k)=m_k,k=0,1,2,..,n$ 百宇；
$\psi(x)$ 在每個 $[x_k,x_{k+1}],k=0,1,2,..,n-1$ 上都是三次函數(shù)。

滿足以上三個條件的插值函數(shù)秘豹，我們稱之為分段三次埃爾米特插值函數(shù)携御。

可以發(fā)現(xiàn)，三次埃爾米特插值相較于線性插值有兩個特點既绕。一是它不僅要求插值函數(shù)過相應(yīng)的已知點啄刹，還要求函數(shù)曲線在已知點處一階導(dǎo)數(shù)值等于原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值，這也是為什么三次埃爾米特在已知點處更為平滑凄贩，且與原曲線更為相近誓军。二是它使用三次多項式作為每一個小段的插值多項式，相對于線性函數(shù)疲扎，三次多項式更為平滑昵时。綜上，三次埃爾米特插值相對于線性插值椒丧，得到的函數(shù)曲線更為平滑且接近原曲線壹甥。

matlab之中用于三次埃爾米特插值的函數(shù)是 $p = pchip(x,y, new_x)$ ，當(dāng)然也可以使用上面提到的 $interp1$ 加上 $pchip$ 參數(shù)瓜挽。

x = 0:2*pi;  %生成[0,2*pi]之間的整數(shù)值
y = sin(x);  %生成相應(yīng)的函數(shù)值
plot(x,y,"or");%繪制一下點
xx = 0:0.01:2*pi;%這個是查詢點的坐標(biāo)向量
yy = interp1(x,y,xx,'pchip');  %yy就是查詢點向量對應(yīng)的函數(shù)值向量了,注意最后的參數(shù)
plot(x,y,"o",xx,yy,"r");%畫圖畫圖

xx=1.23;%只查詢一個元素也是可以的
yy = pchip(x,y,xx);%嗯盹廷，也可以這樣
plot(x,y,"o",xx,yy,"or");%畫圖畫圖

對了，三次埃爾米特插值函數(shù)在matlab中使用時，最少需要四個插值點俄占。

三次樣條插值

所謂樣條曲線管怠，就是把一根具有彈性的細(xì)長木條（樣條）在幾個樣點處用壓鐵壓住，其余位置自由彎曲缸榄。這樣子渤弛，由樣條形成的曲線就稱之為樣條曲線。樣條曲線實際上是由分段三次曲線連接而成甚带，且在連接點處具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)她肯，從數(shù)學(xué)上加以概括就得到三次樣條的概念。

三次樣條函數(shù)相對于三次埃爾米特插值鹰贵，又增加了一些條件晴氨。假設(shè)三次樣條函數(shù) $S(x)=\begin{cases}S_0(x),x\in[x_0,x_1]\\S_1(x),x\in [x_1,x_2]\\...\\S_{n-1}(x),x\in[x_{n-1},x_n]\end{cases}$ 。那它除了滿足 $S(x_i)=y_i$ 碉输，也就是經(jīng)過已知點之外籽前，還需要滿足 $S_{k-1}(x_i)=S_k(x_i)$ ，也就是每一段的端點重合敷钾。

除此之外枝哄，還需要滿足 $S'_{k-1}(x_i)=S'_k(x_i)$ ，也就是在端點處一階光滑阻荒。以及 $S''_{k-1}(x_i)=S''_k(x_i)$ 债鸡，也就是端點處二階光滑嗦玖。我們可以看出，相對于埃爾米特插值氛魁，不僅有一階導(dǎo)數(shù)的要求稻艰，也有二階導(dǎo)數(shù)的要求汛闸。因此相對于埃爾米特插值跟匆，樣條插值得到的曲線更加光滑怪得。

以上這些等式條件，提供了 $4n-2$ 個方程（可以自己數(shù)數(shù)）舶掖，但如果我們需要 $n$ 個三次多項式，就需要解出 $4n$ 個未知數(shù)尔店，也就是需要 $4n$ 個方程眨攘。剩下的兩個方程，我們稱之為邊界條件嚣州。

邊界條件主要有三類：

第一類邊界條件：給定函數(shù)在端點處的一階導(dǎo)數(shù)鲫售，即 $S'(x_0)=m_0,S'(x_n)=m_n$ 。
第二類邊界條件：給定函數(shù)在端點處的二階導(dǎo)數(shù)该肴，即 $S''(x_0)=M_0,S''(x_n)=M_n$ 情竹。當(dāng) $M_0=M_n$ 時，該條件稱之為自然邊界條件匀哄。
第三類邊界條件：若 $f(x)$ 是一個周期函數(shù)秦效，且 $x_n-x_0$ 是一個周期雏蛮，則要求 $S(x)$ 也是一個周期函數(shù)，滿足 $S(x_0)=S(x_n),S'(x_0)=S'(x_n),S''(x_0)=S''(x_n)$ 阱州。

在matlab中挑秉，如果三次樣條插值沒有邊界條件，最常用的方法就是采用非結(jié)終止條件進行插值苔货。該條件要求第一個和第二個三次多項式的三階導(dǎo)數(shù)相同犀概，以及倒數(shù)第一個和倒數(shù)第二個三次多項式的三階導(dǎo)數(shù)值相同。使用的函數(shù)可以是 $p = spline (x,y, new_x)$ 夜惭，也可以是 $p=interp1(x,y,new_x,'spline')$ 姻灶。同樣的，至少要求四個點已知诈茧。

x = 0:2*pi;  %生成[0,2*pi]之間的整數(shù)值
y = sin(x);  %生成相應(yīng)的函數(shù)值
plot(x,y,"or");%繪制一下點
xx = 0:0.01:2*pi;%這個是查詢點的坐標(biāo)向量
yy = interp1(x,y,xx,'spline');  %yy就是查詢點向量對應(yīng)的函數(shù)值向量了,注意最后的參數(shù)
plot(x,y,"o",xx,yy,"r");%畫圖畫圖

xx=1.23;%只查詢一個元素也是可以的
yy = spline(x,y,xx);%嗯产喉，也可以這樣
plot(x,y,"o",xx,yy,"or");%畫圖畫圖

(一段代碼用了三次hhh)

如果存在邊界條件，則我們使用 $csape$ 函數(shù)進行三次樣條插值若皱。

不過具體建模中镊叁，往往不會直接給出邊界條件，因此函數(shù)使用的次數(shù)最多走触。事實上晦譬，我們可以發(fā)現(xiàn)它的效果還是蠻好的。至于函數(shù)的使用互广，自行查閱啦~

此外敛腌，還有 $n$ 維數(shù)據(jù)插值，使用到的函數(shù)是 $interpn$ 惫皱，這里我就不講了像樊，大家自行了解一下。

以上就是插值我想分享的全部內(nèi)容了旅敷，其實沒有太多的數(shù)學(xué)推導(dǎo)以及證明生棍，只進行了簡單的介紹以及使用。嗯媳谁，如果想知道更加詳細(xì)的內(nèi)容涂滴，例如拉格朗日插值，牛頓插值法等等晴音，還是自行學(xué)習(xí)吧~如果想知道具體的推導(dǎo)柔纵，也可以參考相應(yīng)的資料。這里我就不說了锤躁。

本來想著能把插值和擬合放在一篇的搁料，不過好像已經(jīng)寫了幾個小時了，實在是不想繼續(xù)了，那擬合就放在之后的篇章里吧郭计。hhh就這樣霸琴。

最后，關(guān)注公眾號“我是陳小白”回復(fù)“數(shù)學(xué)建模書籍”可以領(lǐng)取相關(guān)數(shù)學(xué)建模資料拣宏。我是打算放一些資源上去的沈贝，因此看到這里的同學(xué)，如果有什么想要的資源勋乾，歡迎在留言區(qū)留言宋下。嗯，如果我能搜集得到就會放到公眾號上辑莫。（傾向于計算機類学歧，數(shù)據(jù)類，金融類等等……）