多元高斯分布的相關(guān)證明


多元正態(tài)分布想必是所有機(jī)器學(xué)習(xí)從業(yè)者繞不開(kāi)的一個(gè)經(jīng)典，另外多元正態(tài)分布對(duì)于理解語(yǔ)音識(shí)別技術(shù)也非常重要层扶，所以我覺(jué)得有必要多花點(diǎn)時(shí)間在上面友题，下面是我的推算過(guò)程逝撬。

密度函數(shù)

N(\boldsymbol x|\boldsymbol\mu,\boldsymbol\Sigma)=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^D|\boldsymbol\Sigma|}}\exp(-\frac{1}{2}(\boldsymbol x-\boldsymbol\mu)^T\boldsymbol\Sigma^{-1}(\boldsymbol x-\boldsymbol u))

其中|\boldsymbol\Sigma|為協(xié)方差矩陣的行列式，在根號(hào)下暗示其為正的钱磅，且要求協(xié)方差矩陣是可逆矩陣梦裂。而\boldsymbol\mu是隨機(jī)變量的均值向量。

歸一化

現(xiàn)在驗(yàn)證其積分的確為1盖淡，考慮式子中的指數(shù)部分的積分年柠，為了避免討論中出現(xiàn)協(xié)方差矩陣的逆陣，以下使用矩陣A來(lái)代替協(xié)方差矩陣的逆陣：

\mathbb{I} = \int_{R^D} e^{(-\frac{1}{2}(\boldsymbol x-\boldsymbol\mu)^T\boldsymbol A (\boldsymbol x-\boldsymbol u))} {\rm d}\boldsymbol x

這是一個(gè)從D維實(shí)空間R^D到R上的實(shí)值函數(shù)在R^D上的反常積分禁舷，我們先對(duì)向量作一個(gè)平移變換\boldsymbol {x = y + u}彪杉，積分區(qū)域仍然是R^D，該變換的雅可比矩陣顯然為單位矩陣牵咙，故其行列式為1派近，于是：

\mathbb{I} = \int_{R^D} e^{-\frac{1}{2}\boldsymbol{y^T A y}} {\rm d}\boldsymbol y

我們先來(lái)計(jì)算其在任一個(gè)緊集上的積分，例如：這里使用邊長(zhǎng)為n的D維立方體I_n洁桌。即想計(jì)算：

\mathbb{I_n} = \int_{I_n} e^{-\frac{1}{2}\boldsymbol{y^T A y}} {\rm d}\boldsymbol y

由于被積函數(shù)顯然是一個(gè)緊集I_N上的連續(xù)函數(shù)渴丸，由Lesbegue準(zhǔn)則知它是可積的。但這時(shí)候指數(shù)上的二次型-\frac{1}{2}\boldsymbol{y^T A y}仍然是一個(gè)過(guò)于一般化的二次型，我們?nèi)匀粺o(wú)法處理這樣的積分谱轨。下面進(jìn)一步戒幔，我們先從一個(gè)更簡(jiǎn)單的情況著手，即考慮矩陣A是對(duì)角矩陣的情況土童。在這種情況下诗茎，協(xié)方差矩陣也是對(duì)角矩陣，意味著隨機(jī)向量的各個(gè)分量互不相關(guān)献汗，我們?cè)O(shè)A為以下對(duì)角矩陣：

\Lambda = \begin{pmatrix}\lambda_1 &0 &\cdots &0 \\0 &\lambda_2 &\cdots &0 \\\vdots &\vdots &\ddots &0\\0 &0 &\cdots &\lambda_D \\\end{pmatrix}敢订，此時(shí)由Fubini定理，得到以下累次積分：

\begin{aligned} \mathbb{I_n^\prime} &= \int_{I_n} e^{-\frac{1}{2}\boldsymbol{y^T\Lambda y}} {\rm d}\boldsymbol y \\&= \int_{-n}^n {\rm d}y_1 \cdots\int_{-n}^n e^{-\frac{1}{2}\Sigma_{i=1}^{D} y^T\lambda_i y_i^2} {\rm d}y_n \\&=\left ( \int_{-n}^n e^{-\frac{1}{2}\lambda_1y_1^2}{\rm d}y_1 \right) \cdots \left ( \int_{-n}^n e^{-\frac{1}{2}\lambda_1y_D^2}{\rm d}y_D \right)\end{aligned}

由微積分課程中的計(jì)算高斯積分的方法罢吃，對(duì)單變量積分有如下結(jié)果：

\int_{-n}^n e^{-\frac{1}{2}\lambda y^2}{\rm d}y = \sqrt{\frac{2\pi}{\lambda}(1 - e^{-\frac{1}{2}\lambda n^2})}

所以接上面的計(jì)算有：

\mathbb{I_n^\prime} = \sqrt{\frac{2\pi}{\lambda_1}(1 - e^{-\frac{1}{2}\lambda_1 n^2})} \cdots \sqrt{\frac{2\pi}{\lambda_D}(1 - e^{-\frac{1}{2}\lambda_D n^2})}

對(duì)\mathbb{I_n^\prime}取極限楚午，n \to\infty有：

\mathbb{I^\prime}=\lim_{n\to\infty}\mathbb{I_n^\prime} = \sqrt{\frac{2\pi}{\lambda_1}} \cdots \sqrt{\frac{2\pi}{\lambda_D}} = \sqrt{\frac{(2\pi)^D}{\lambda_1 \lambda_2\cdots\lambda_D}} = \sqrt{\frac{(2\pi)^D}{|\Lambda|}}

即我們得到對(duì)稱斜方差矩陣下的規(guī)范化因子 \sqrt{\frac{(2\pi)^D}{|\Lambda|}}，由積分的線性性質(zhì)可知尿招，將該規(guī)范化因子的倒數(shù)乘到被積函數(shù)前面就得到了有效的密度函數(shù): \sqrt{\frac{|\Lambda|}{(2\pi)^D}} e^{-\frac{1}{2}\boldsymbol{y^T\Lambda y}} 矾柜。

????????由上面的計(jì)算可以認(rèn)為，所有的\lambda_i都是正數(shù)就谜，即認(rèn)為\Lambda是正定矩陣怪蔑；如若不然，假設(shè)\Lambda的第(D,D)元素為0吁伺，即隨機(jī)向量的第D個(gè)分量對(duì)應(yīng)的方差為0饮睬，則該特征不具備統(tǒng)計(jì)效應(yīng)，我們自然可以忽略該特征為度篮奄，降維到D-1維空間捆愁，從而在那個(gè)空間下，我們的協(xié)方差矩陣是正定的窟却。

????????下面我們假設(shè)一般化的矩陣A也是正定矩陣昼丑，即為實(shí)對(duì)稱正定矩陣。由線性代數(shù)知任一對(duì)稱矩陣必然合同于一個(gè)對(duì)角矩陣夸赫，當(dāng)A是實(shí)對(duì)稱矩陣時(shí)菩帝，其合同于對(duì)角矩陣：\begin{pmatrix}I_{p{\rm x}p} &\boldsymbol 0 &\boldsymbol 0\\\boldsymbol 0 &-I_{(r-p){\rm x}(r-p)} &\boldsymbol 0 \\\boldsymbol 0 &\boldsymbol 0 &\boldsymbol 0\end{pmatrix}，其中r為矩陣的秩茬腿，p為正慣性指數(shù)呼奢。

????????設(shè)這里我們的協(xié)方差矩陣為正定矩陣，那么根據(jù)正定矩陣的性質(zhì)上面的矩陣中有：p=r=D（即滿秩）切平，即合同于單位矩陣握础。如果使用正定實(shí)對(duì)陣矩陣的合同變換：A=C^T\Lambda C = C^T I C = C^TC，那么計(jì)算將更為簡(jiǎn)單悴品，但是我們已經(jīng)在上面對(duì)一般化的對(duì)角矩陣證明了積分的收斂性禀综，所以下面接著上面討論非對(duì)角斜方差矩陣的高斯函數(shù)\int_{R^D} e^{-\frac{1}{2}\boldsymbol{x^T A x}} {\rm d}\boldsymbol x的收斂和積分简烘。

? ? ? ? 對(duì)矩陣A進(jìn)行合同變換A = C^T\Lambda C，其中C是可逆矩陣定枷，帶入被積函數(shù)中有：

e^{-\frac{1}{2}\boldsymbol{x^T A x}} = e^{-\frac{1}{2}\boldsymbol{x^T C^T\Lambda C x}} = e^{-\frac{1}{2}\boldsymbol{(Cx)^T\Lambda (C x)}}孤澎，在下面的積分中，作變量變換：\boldsymbol{ \phi:R^D\to R^D}欠窒，即\boldsymbol {y =\boldsymbol \phi(x) = C x}覆旭，由于雅可比矩陣\left(\frac{\partial \boldsymbol y_i}{\partial \boldsymbol x_j}\right) = C是可逆矩陣，所以\boldsymbol {y = C x}的確構(gòu)成了開(kāi)集R^D到開(kāi)集R^D的一個(gè)微分同胚岖妄；因此由反常積分下的變量變換定理有以下等式成立：

\begin{aligned}1 &= \int_{R^D}\sqrt{\frac{det(\Lambda)}{(2\pi)^D}} e^{-\frac{1}{2}\boldsymbol{y^T\Lambda y}} {\rm d}\boldsymbol y \\ &= \int_{R^D}\sqrt{\frac{det(\Lambda)}{(2\pi)^D}} e^{-\frac{1}{2}\boldsymbol{(Cx)^T\Lambda (Cx)}} \left | {\rm det}\left (\frac{\partial \boldsymbol y}{\partial \boldsymbol x} \right ) \right | {\rm d}\boldsymbol x\end{aligned}

其中：\left | {\rm det}\left (\frac{\partial \boldsymbol y}{\partial \boldsymbol x} \right ) \right | 是雅可比矩陣\left(\frac{\partial \boldsymbol y_i}{\partial \boldsymbol x_j}\right)的行列式的絕對(duì)值（det=determinant）姐扮，為了不使行列式符號(hào)和絕對(duì)值符號(hào)混淆，這實(shí)用det表示取行列式衣吠，而雙豎線表示絕對(duì)值。將\left(\frac{\partial \boldsymbol y_i}{\partial \boldsymbol x_j}\right) = C帶入上式繼續(xù)化簡(jiǎn)得：

\begin{aligned}1 &= \int_{R^D}\sqrt{\frac{det(\Lambda)}{(2\pi)^D}} e^{-\frac{1}{2}\boldsymbol{(Cx)^T\Lambda (Cx)}} \left | {\rm det}\left (C \right ) \right | {\rm d}\boldsymbol x\\&= \int_{R^D}\sqrt{\frac{det(\Lambda) { \rm det}^2\left (C \right ) }{(2\pi)^D}} e^{-\frac{1}{2}\boldsymbol{x^T(C^T\Lambda C)x}} {\rm d}\boldsymbol x\\&= \int_{R^D}\sqrt{\frac{det(C^T\Lambda C) }{(2\pi)^D}} e^{-\frac{1}{2}\boldsymbol{x^T Ax}} {\rm d}\boldsymbol x\\&= \int_{R^D}\sqrt{\frac{1}{(2\pi)^Ddet(A^{-1})}} e^{-\frac{1}{2}\boldsymbol{x^T Ax}} {\rm d}\boldsymbol x\\\end{aligned}

以上推導(dǎo)過(guò)程中利用了行列式相關(guān)的性質(zhì)壤靶，包括：{\rm det}(A^T) = {\rm det}(A)缚俏，{\rm det}(A^{-1}) = {\rm det}^{-1}(A)，{\rm det}(AB) = {\rm det}(A){\rm det}(B)贮乳。所以的確\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^Ddet(A^{-1})}} e^{-\frac{1}{2}\boldsymbol{x^T Ax}} {\rm d}\boldsymbol x是合法的概率密度函數(shù)忧换，用\Sigma = A^{-1}帶進(jìn)去，就得到了標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布概率密度函數(shù)向拆。

期望

\begin{aligned}E[X] &= \int_{R^D} \boldsymbol x \ N(\boldsymbol x|\boldsymbol\mu,\boldsymbol\Sigma){\rm d}\boldsymbol x \\&=\int_{R^D} \boldsymbol x \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^D|\boldsymbol\Sigma|}}\exp(-\frac{1}{2}(\boldsymbol x-\boldsymbol\mu)^T\boldsymbol\Sigma^{-1}(\boldsymbol x-\boldsymbol u)){\rm d}\boldsymbol x \\\end{aligned}

其中：隨機(jī)向量X服從多元正態(tài)分布亚茬，\boldsymbol \mu，\boldsymbol \Sigma是分布的參數(shù)浓恳；我們?cè)谇懊娌患铀妓鞯胤Q這兩組參數(shù)為均值向量和協(xié)方差矩陣刹缝，下面我們將要為其正名。

用變量變換：\boldsymbol x = \boldsymbol y + \boldsymbol \mu颈将，則\frac{\partial \boldsymbol x}{\partial \boldsymbol y} = I_{D\times D}梢夯，接上纹冤，有：

\begin{aligned}&=\int_{R^D} \boldsymbol (\boldsymbol y + \boldsymbol \mu) \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^D|\boldsymbol\Sigma|}}\exp(-\frac{1}{2}\boldsymbol y^T\boldsymbol\Sigma^{-1}\boldsymbol y)|det(I_{D\times D})|{\rm d}\boldsymbol y \\&=\int_{R^D} \boldsymbol y \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^D|\boldsymbol\Sigma|}}\exp(-\frac{1}{2}\boldsymbol y^T\boldsymbol\Sigma^{-1}\boldsymbol y){\rm d}\boldsymbol y+ \boldsymbol \mu\int_{R^D} \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^D|\boldsymbol\Sigma|}}\exp(-\frac{1}{2}\boldsymbol y^T\boldsymbol\Sigma^{-1}\boldsymbol y){\rm d}\boldsymbol y \\&=E + \boldsymbol \mu \\\end{aligned}

其中惊暴，令：E=\int_{R^D} \boldsymbol y \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^D|\boldsymbol\Sigma|}}\exp(-\frac{1}{2}\boldsymbol y^T\boldsymbol\Sigma^{-1}\boldsymbol y){\rm d}\boldsymbol y

再作變量變換：\boldsymbol y = -\boldsymbol z，則\frac{\partial \boldsymbol y}{\partial \boldsymbol z} = -I谣沸，有：

\begin{aligned}E&=\int_{R^D} (-\boldsymbol z) \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^D|\boldsymbol\Sigma|}}\exp(-\frac{1}{2} (-\boldsymbol z^T)\boldsymbol\Sigma^{-1}(-\boldsymbol z))|det(-I)| {\rm d}\boldsymbol z \\&=-\int_{R^D} \boldsymbol z \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^D|\boldsymbol\Sigma|}}\exp(-\frac{1}{2} \boldsymbol z^T\boldsymbol\Sigma^{-1}\boldsymbol z) {\rm d}\boldsymbol z \\&=-E\\\\\therefore E &= \boldsymbol 0_{D\times 1}\end{aligned}

所以死姚，E[X] = \boldsymbol 0_{D\times 1} + \boldsymbol \mu = \boldsymbol \mu人乓，我們發(fā)現(xiàn)參數(shù) \boldsymbol \mu的確是隨機(jī)向量X的均值。

協(xié)方差矩陣

跟之前類似都毒，我們處理協(xié)方差矩陣的時(shí)候色罚，為了看得舒服一些，使用：\boldsymbol {A=\Sigma^{-1}}\ , \ {\rm det}(\boldsymbol A) = {\rm det}(\boldsymbol \Sigma^{-1})={\rm det}(\boldsymbol \Sigma)^{-1}

則協(xié)方差矩陣：

\begin{aligned}&Cov[X] \\&=E[(X-\boldsymbol \mu)(X-\boldsymbol \mu)^T] \\&= \int_{R^D} (\boldsymbol x-\boldsymbol \mu)(\boldsymbol x-\boldsymbol \mu)^T \ N(\boldsymbol x|\boldsymbol\mu,\boldsymbol A){\rm d}\boldsymbol x \\&=\int_{R^D}(\boldsymbol x-\boldsymbol \mu)(\boldsymbol x-\boldsymbol \mu)^T \sqrt{\frac{|\boldsymbol A|}{(2\pi)^D}}\exp(-\frac{1}{2}(\boldsymbol x-\boldsymbol\mu)^T\boldsymbol A (\boldsymbol x-\boldsymbol u)){\rm d}\boldsymbol x \\\end{aligned}

作變量變換：\boldsymbol x = \boldsymbol y + \boldsymbol \mu温鸽，\frac{\partial \boldsymbol x}{\partial \boldsymbol y} = I_{D\times D}保屯，有：

\begin{aligned}&=\int_{R^D} \boldsymbol y \boldsymbol y^T \sqrt{\frac{|\boldsymbol A|}{(2\pi)^D}}\exp(-\frac{1}{2}\boldsymbol y^T\boldsymbol A \boldsymbol y)|det(I_{D\times D})|{\rm d}\boldsymbol y \\&=\int_{R^D} \boldsymbol y \boldsymbol y^T \sqrt{\frac{|\boldsymbol A|}{(2\pi)^D}}\exp(-\frac{1}{2}\boldsymbol y^T\boldsymbol A \boldsymbol y){\rm d}\boldsymbol y\end{aligned}

由于我們要求A是正定矩陣手负，因此，A合同于單位矩陣姑尺，即存在非奇異矩陣\boldsymbol C竟终，使得：\boldsymbol {A = C^TIC = C^TC} ；因此切蟋，我們?cè)僮髯兞孔儞Q：\boldsymbol y = \boldsymbol C^{-1} \boldsymbol z统捶，\frac{\partial \boldsymbol y }{\partial \boldsymbol z } = \boldsymbol C^{-1}：

\begin{aligned}&=\int_{R^D} \boldsymbol C^{-1} \boldsymbol z \boldsymbol z^T \boldsymbol (C^{-1})^T \sqrt{\frac{ {\rm det}(\boldsymbol A)}{(2\pi)^D}}\exp(-\frac{1}{2}\boldsymbol z^T \boldsymbol z)|{\rm det}(\boldsymbol C^{-1})| {\rm d}\boldsymbol z \\&=\int_{R^D} \boldsymbol C^{-1} \boldsymbol z \boldsymbol z^T (\boldsymbol C^{-1})^T \sqrt{\frac{{\rm det}(\boldsymbol A)}{(2\pi)^D {\rm det}^2(\boldsymbol C)}}\exp(-\frac{1}{2}\boldsymbol z^T \boldsymbol z) {\rm d}\boldsymbol z \\\end{aligned}

\because \boldsymbol {A = C^TC} , \ \ \therefore {\rm det}(\boldsymbol A) = {\rm det}(\boldsymbol C^T\boldsymbol C) = {\rm det}(\boldsymbol C^T) {\rm det}(\boldsymbol C) = {\rm det}^2(\boldsymbol C) ，且利用積分的線性性質(zhì)柄粹，即：線性組合的積分等于各項(xiàng)積分的線性組合喘鸟，我們可以將\boldsymbol C^{-1},(\boldsymbol C^{-1})^T挪出積分號(hào)來(lái)，得到：

\begin{aligned}&= \boldsymbol C^{-1} \left \{ \int_{R^D} \boldsymbol z \boldsymbol z^T \sqrt{\frac{{\rm det}(\boldsymbol A)}{(2\pi)^D {\rm det}^2(\boldsymbol C)}}\exp(-\frac{1}{2}\boldsymbol z^T \boldsymbol z) {\rm d}\boldsymbol z \right \} (\boldsymbol C^{-1})^T \\&= \boldsymbol C^{-1} \left \{ \int_{R^D} \boldsymbol z \boldsymbol z^T \sqrt{\frac{1}{(2\pi)^D }}\exp(-\frac{1}{2}\boldsymbol z^T \boldsymbol z) {\rm d}\boldsymbol z \right \} (\boldsymbol C^{-1})^T \\&= \boldsymbol C^{-1} Cov[\boldsymbol z] (\boldsymbol C^{-1})^T \quad \quad \cdots (1) \\ \end{aligned}

顯然中間的積分仍然是關(guān)于某個(gè)隨機(jī)向量的協(xié)方差矩陣驻右，但是什黑，此時(shí)指數(shù)部分的二次型已然是個(gè)規(guī)范型了，我們將其拆開(kāi)來(lái)看堪夭，并對(duì)積分關(guān)于\boldsymbol z \boldsymbol z^T中的元素逐個(gè)分析愕把，并利用Fubini定理展開(kāi)成累次積分，我們發(fā)現(xiàn)：

\begin{aligned}Cov[Z]_{ij} &= \int_{R^D} z_i z_j \sqrt{\frac{1}{(2\pi)^D }}\exp(-\frac{1}{2}\Sigma_{k=1}^D z_i^2) {\rm d}\boldsymbol z \\&= \begin{cases} i = j, & \int \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp(-\frac{1}{2} z_1^2){\rm d} z_1 \cdots \int z_i^2 \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp(-\frac{1}{2} z_i^2){\rm d} z_i \cdots \int \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp(-\frac{1}{2} z_D^2){\rm d} z_D \\ i \neq j, & \int \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp(-\frac{1}{2} z_1^2){\rm d} z_1 \cdots \int z_i \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp(-\frac{1}{2} z_i^2){\rm d} z_i \cdots \int z_j \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp(-\frac{1}{2} z_j^2){\rm d} z_j \cdots \int \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp(-\frac{1}{2} z_D^2){\rm d} z_D \\\end{cases}\\&= \begin{cases} \\1, &i = j \\0, &i \neq j\end{cases}\end{aligned}

這里利用了一元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的期望等于0森爽，方差等于1恨豁，以及積分等于1的基本知識(shí)。即Cov[Z] = I_{D\times D}爬迟，代入上面的(1)式：

\begin{aligned}Cov[X] &= \boldsymbol C^{-1} Cov[\boldsymbol z] (\boldsymbol C^{-1})^T \\& = \boldsymbol C^{-1} I_{D\times D} (\boldsymbol C^{-1})^T \\& = \boldsymbol C^{-1}(\boldsymbol C^{-1})^T \\& = \boldsymbol C^{-1}(\boldsymbol C^T)^{-1} \\& = (\boldsymbol C^T \boldsymbol C)^{-1} \\& = \boldsymbol A^{-1} \\& =\boldsymbol \Sigma\end{aligned}

即：參數(shù)矩陣\boldsymbol \Sigma 果真是多元正態(tài)分布的協(xié)方差矩陣橘蜜。

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