這是很早以前已經(jīng)看過的娇斩，最近無意中又把保存的文章翻出來時(shí)夹囚，想起很多朋友問過矩陣纵刘，雖對矩陣似懂非懂，但卻很想弄懂它荸哟，希望這幾篇文章能幫你一下假哎，故轉(zhuǎn)之：
線性代數(shù)課程，無論你從行列式入手還是直接從矩陣入手鞍历，從一開始就充斥著莫名其妙舵抹。比如說，在全國一般工科院系教學(xué)中應(yīng)用最廣泛的同濟(jì)線性代數(shù)教材（現(xiàn)在到了第四版）劣砍，一上來就介紹逆序數(shù)這個(gè)“前無古人惧蛹，后無來者”的古怪概念，然后用逆序數(shù)給出行列式的一個(gè)極不直觀的定義秆剪，接著是一些簡直犯傻的行列式性質(zhì)和習(xí)題——把這行乘一個(gè)系數(shù)加到另一行上，再把那一列減過來爵政，折騰得那叫一個(gè)熱鬧仅讽，可就是壓根看不出這個(gè)東西有嘛用。大多數(shù)像我一樣資質(zhì)平庸的學(xué)生到這里就有點(diǎn)犯暈：連這是個(gè)什么東西都模模糊糊的钾挟，就開始鉆火圈表演了洁灵，這未免太“無厘頭”了吧！于是開始有人逃課掺出，更多的人開始抄作業(yè)徽千。這下就中招了，因?yàn)槠浜蟮陌l(fā)展可以用一句峰回路轉(zhuǎn)來形容汤锨，緊跟著這個(gè)無厘頭的行列式的双抽，是一個(gè)同樣無厘頭但是偉大的無以復(fù)加的家伙的出場——矩陣來了！多年之后闲礼，我才明白牍汹，當(dāng)老師犯傻似地用中括號把一堆傻了吧嘰的數(shù)括起來铐维，并且不緊不慢地說：“這個(gè)東西叫做矩陣”的時(shí)候，我的數(shù)學(xué)生涯掀開了何等悲壯辛酸慎菲、慘絕人寰的一幕嫁蛇！自那以后，在幾乎所有跟“學(xué)問”二字稍微沾點(diǎn)邊的東西里露该，矩陣這個(gè)家伙從不缺席睬棚。對于我這個(gè)沒能一次搞定線性代數(shù)的笨蛋來說，矩陣?yán)洗蟮牟徽堊詠砻棵扛愕梦一翌^土臉解幼，頭破血流抑党。長期以來，我在閱讀中一見矩陣书幕，就如同阿Q見到了假洋鬼子新荤，揉揉額角就繞道走。
事實(shí)上台汇，我并不是特例苛骨。一般工科學(xué)生初學(xué)線性代數(shù)，通常都會(huì)感到困難苟呐。這種情形在國內(nèi)外皆然痒芝。瑞典數(shù)學(xué)家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中說：”如果不熟悉線性代數(shù)的概念，要去學(xué)習(xí)自然科學(xué)牵素，現(xiàn)在看來就和文盲差不多严衬。”笆呆，然而“按照現(xiàn)行的國際標(biāo)準(zhǔn)请琳，線性代數(shù)是通過公理化來表述的，它是第二代數(shù)學(xué)模型赠幕，...俄精，這就帶來了教學(xué)上的困難￠叛撸”事實(shí)上竖慧，當(dāng)我們開始學(xué)習(xí)線性代數(shù)的時(shí)候，不知不覺就進(jìn)入了“第二代數(shù)學(xué)模型”的范疇當(dāng)中逆屡，這意味著數(shù)學(xué)的表述方式和抽象性有了一次全面的進(jìn)化圾旨，對于從小一直在“第一代數(shù)學(xué)模型”，即以實(shí)用為導(dǎo)向的魏蔗、具體的數(shù)學(xué)模型中學(xué)習(xí)的我們來說砍的，在沒有并明確告知的情況下進(jìn)行如此劇烈的paradigm shift，不感到困難才是奇怪的莺治。
大部分工科學(xué)生挨约，往往是在學(xué)習(xí)了一些后繼課程味混，如數(shù)值分析、數(shù)學(xué)規(guī)劃诫惭、矩陣論之后翁锡，才逐漸能夠理解和熟練運(yùn)用線性代數(shù)。即便如此夕土，不少人即使能夠很熟練地以線性代數(shù)為工具進(jìn)行科研和應(yīng)用工作馆衔，但對于很多這門課程的初學(xué)者提出的、看上去是很基礎(chǔ)的問題卻并不清楚怨绣。比如說：
矩陣究竟是什么東西角溃？向量可以被認(rèn)為是具有n個(gè)相互獨(dú)立的性質(zhì)（維度）的對象的表示，矩陣又是什么呢篮撑？我們?nèi)绻J(rèn)為矩陣是一組列（行）向量組成的新的復(fù)合向量的展開式减细，那么為什么這種展開式具有如此廣泛的應(yīng)用？特別是赢笨，為什么偏偏二維的展開式如此有用未蝌？如果矩陣中每一個(gè)元素又是一個(gè)向量，那么我們再展開一次茧妒，變成三維的立方陣萧吠，是不是更有用？
矩陣的乘法規(guī)則究竟為什么這樣規(guī)定桐筏？為什么這樣一種怪異的乘法規(guī)則卻能夠在實(shí)踐中發(fā)揮如此巨大的功效纸型？很多看上去似乎是完全不相關(guān)的問題，最后竟然都?xì)w結(jié)到矩陣的乘法梅忌，這難道不是很奇妙的事情狰腌？難道在矩陣乘法那看上去莫名其妙的規(guī)則下面，包含著世界的某些本質(zhì)規(guī)律牧氮？如果是的話琼腔，這些本質(zhì)規(guī)律是什么？
行列式究竟是一個(gè)什么東西蹋笼？為什么會(huì)有如此怪異的計(jì)算規(guī)則展姐？行列式與其對應(yīng)方陣本質(zhì)上是什么關(guān)系躁垛？為什么只有方陣才有對應(yīng)的行列式剖毯，而一般矩陣就沒有（不要覺得這個(gè)問題很蠢，如果必要教馆，針對m x n矩陣定義行列式不是做不到的逊谋，之所以不做，是因?yàn)闆]有這個(gè)必要土铺，但是為什么沒有這個(gè)必要）胶滋？而且板鬓，行列式的計(jì)算規(guī)則，看上去跟矩陣的任何計(jì)算規(guī)則都沒有直觀的聯(lián)系究恤，為什么又在很多方面決定了矩陣的性質(zhì)俭令？難道這一切僅是巧合？
矩陣為什么可以分塊計(jì)算部宿？分塊計(jì)算這件事情看上去是那么隨意抄腔，為什么竟是可行的？
對于矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算AT理张，有(AB)T = BTAT赫蛇，對于矩陣求逆運(yùn)算A-1，有(AB)-1 = B-1A-1雾叭。兩個(gè)看上去完全沒有什么關(guān)系的運(yùn)算悟耘，為什么有著類似的性質(zhì)？這僅僅是巧合嗎织狐？
為什么說P-1AP得到的矩陣與A矩陣“相似”暂幼？這里的“相似”是什么意思？
特征值和特征向量的本質(zhì)是什么赚瘦？它們定義就讓人很驚訝粟誓，因?yàn)锳x =λx，一個(gè)諾大的矩陣的效應(yīng)起意，竟然不過相當(dāng)于一個(gè)小小的數(shù)λ鹰服，確實(shí)有點(diǎn)奇妙。但何至于用“特征”甚至“本征”來界定揽咕？它們刻劃的究竟是什么悲酷？
這樣的一類問題，經(jīng)常讓使用線性代數(shù)已經(jīng)很多年的人都感到為難亲善。就好像大人面對小孩子的刨根問底设易，最后總會(huì)迫不得已地說“就這樣吧，到此為止”一樣蛹头，面對這樣的問題顿肺，很多老手們最后也只能用：“就是這么規(guī)定的，你接受并且記住就好”來搪塞渣蜗。然而屠尊，這樣的問題如果不能獲得回答，線性代數(shù)對于我們來說就是一個(gè)粗暴的耕拷、不講道理的讼昆、莫名其妙的規(guī)則集合，我們會(huì)感到骚烧，自己并不是在學(xué)習(xí)一門學(xué)問浸赫，而是被不由分說地“拋到”一個(gè)強(qiáng)制的世界中闰围，只是在考試的皮鞭揮舞之下被迫趕路，全然無法領(lǐng)略其中的美妙既峡、和諧與統(tǒng)一羡榴。直到多年以后，我們已經(jīng)發(fā)覺這門學(xué)問如此的有用运敢，卻仍然會(huì)非常迷惑：怎么這么湊巧炕矮？
我認(rèn)為，這是我們的線性代數(shù)教學(xué)中直覺性喪失的后果者冤。上述這些涉及到“如何能”肤视、“怎么會(huì)”的問題，僅僅通過純粹的數(shù)學(xué)證明來回答涉枫，是不能令提問者滿意的邢滑。比如，如果你通過一般的證明方法論證了矩陣分塊運(yùn)算確實(shí)可行愿汰，那么這并不能夠讓提問者的疑惑得到解決困后。他們真正的困惑是：矩陣分塊運(yùn)算為什么竟然是可行的？究竟只是湊巧衬廷，還是說這是由矩陣這種對象的某種本質(zhì)所必然決定的摇予？如果是后者，那么矩陣的這些本質(zhì)是什么吗跋？只要對上述那些問題稍加考慮侧戴，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，所有這些問題都不是單純依靠數(shù)學(xué)證明所能夠解決的跌宛。像我們的教科書那樣酗宋，凡事用數(shù)學(xué)證明，最后培養(yǎng)出來的學(xué)生疆拘，只能熟練地使用工具蜕猫，卻欠缺真正意義上的理解。
對于線性代數(shù)的類似上述所提到的一些直覺性的問題哎迄，兩年多來我斷斷續(xù)續(xù)地反復(fù)思考了四回右、五次，為此閱讀了好幾本國內(nèi)外線性代數(shù)漱挚、數(shù)值分析翔烁、代數(shù)和數(shù)學(xué)通論性書籍，其中像
前蘇聯(lián)的名著《數(shù)學(xué)：它的內(nèi)容棱烂、方法和意義》租漂、
龔昇教授的《線性代數(shù)五講》阶女、
前面提到的Encounter with Mathematics（《數(shù)學(xué)概觀》）
以及Thomas A. Garrity的《數(shù)學(xué)拾遺》都給我很大的啟發(fā)颊糜。不過即使如此哩治，我對這個(gè)主題的認(rèn)識也經(jīng)歷了好幾次自我否定。比如以前思考的一些結(jié)論曾經(jīng)寫在自己的blog里衬鱼，但是現(xiàn)在看來业筏，這些結(jié)論基本上都是錯(cuò)誤的。因此打算把自己現(xiàn)在的有關(guān)理解比較完整地記錄下來鸟赫，一方面是因?yàn)槲矣X得現(xiàn)在的理解比較成熟了蒜胖，可以拿出來與別人探討，向別人請教抛蚤。另一方面台谢，如果以后再有進(jìn)一步的認(rèn)識，把現(xiàn)在的理解給推翻了岁经，那現(xiàn)在寫的這個(gè)snapshot也是很有意義的朋沮。
因?yàn)榇蛩銓懙帽容^多，所以會(huì)分幾次慢慢寫缀壤。也不知道是不是有時(shí)間慢慢寫完整樊拓，會(huì)不會(huì)中斷，寫著看吧塘慕。
今天先談?wù)剬€形空間和矩陣的幾個(gè)核心概念的理解筋夏。這些東西大部分是憑著自己的理解寫出來的，基本上不抄書图呢，可能有錯(cuò)誤的地方条篷，希望能夠被指出。但我希望做到直覺蛤织，也就是說能把數(shù)學(xué)背后說的實(shí)質(zhì)問題說出來拥娄。
首先說說空間(space)，這個(gè)概念是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的命根子之一瞳筏，從拓?fù)淇臻g開始稚瘾，一步步往上加定義，可以形成很多空間姚炕。線形空間其實(shí)還是比較初級的摊欠，如果在里面定義了范數(shù)，就成了賦范線性空間柱宦。賦范線性空間滿足完備性些椒，就成了巴那赫空間；賦范線性空間中定義角度掸刊，就有了內(nèi)積空間免糕，內(nèi)積空間再滿足完備性，就得到希爾伯特空間。
總之石窑，空間有很多種牌芋。你要是去看某種空間的數(shù)學(xué)定義，大致都是“存在一個(gè)集合松逊，在這個(gè)集合上定義某某概念躺屁，然后滿足某些性質(zhì)”，就可以被稱為空間经宏。這未免有點(diǎn)奇怪犀暑，為什么要用“空間”來稱呼一些這樣的集合呢？大家將會(huì)看到烁兰，其實(shí)這是很有道理的耐亏。
我們一般人最熟悉的空間，毫無疑問就是我們生活在其中的（按照牛頓的絕對時(shí)空觀）的三維空間沪斟，從數(shù)學(xué)上說苹熏，這是一個(gè)三維的歐幾里德空間，我們先不管那么多币喧，先看看我們熟悉的這樣一個(gè)空間有些什么最基本的特點(diǎn)轨域。仔細(xì)想想我們就會(huì)知道，這個(gè)三維的空間：
由很多（實(shí)際上是無窮多個(gè)）位置點(diǎn)組成杀餐；
這些點(diǎn)之間存在相對的關(guān)系干发；
可以在空間中定義長度、角度史翘；
這個(gè)空間可以容納運(yùn)動(dòng)枉长，這里我們所說的運(yùn)動(dòng)是從一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn)的移動(dòng)（變換），而不是微積分意義上的“連續(xù)”性的運(yùn)動(dòng)琼讽。
上面的這些性質(zhì)中必峰，最最關(guān)鍵的是第4條。第1钻蹬、2條只能說是空間的基礎(chǔ)吼蚁，不算是空間特有的性質(zhì)，凡是討論數(shù)學(xué)問題问欠，都得有一個(gè)集合肝匆，大多數(shù)還得在這個(gè)集合上定義一些結(jié)構(gòu)（關(guān)系），并不是說有了這些就算是空間顺献。而第3條太特殊旗国，其他的空間不需要具備，更不是關(guān)鍵的性質(zhì)注整。只有第4條是空間的本質(zhì)能曾，也就是說度硝，容納運(yùn)動(dòng)是空間的本質(zhì)特征。
認(rèn)識到了這些寿冕，我們就可以把我們關(guān)于三維空間的認(rèn)識擴(kuò)展到其他的空間蕊程。事實(shí)上，不管是什么空間蚂斤，都必須容納和支持在其中發(fā)生的符合規(guī)則的運(yùn)動(dòng)（變換）。你會(huì)發(fā)現(xiàn)槐沼，在某種空間中往往會(huì)存在一種相對應(yīng)的變換曙蒸，比如拓?fù)淇臻g中有拓?fù)渥儞Q，線性空間中有線性變換岗钩，仿射空間中有仿射變換纽窟，其實(shí)這些變換都只不過是對應(yīng)空間中允許的運(yùn)動(dòng)形式而已。
因此只要知道兼吓，“空間”是容納運(yùn)動(dòng)的一個(gè)對象集合臂港，而變換則規(guī)定了對應(yīng)空間的運(yùn)動(dòng)。
下面我們來看看線性空間视搏。線性空間的定義任何一本書上都有审孽，但是既然我們承認(rèn)線性空間是個(gè)空間，那么有兩個(gè)最基本的問題必須首先得到解決浑娜，那就是：
空間是一個(gè)對象集合佑力，線性空間也是空間，所以也是一個(gè)對象集合筋遭。那么線性空間是什么樣的對象的集合打颤？或者說，線性空間中的對象有什么共同點(diǎn)嗎漓滔？
線性空間中的運(yùn)動(dòng)如何表述的编饺？也就是，線性變換是如何表示的响驴？
我們先來回答第一個(gè)問題透且，回答這個(gè)問題的時(shí)候其實(shí)是不用拐彎抹角的，可以直截了當(dāng)?shù)慕o出答案豁鲤。線性空間中的任何一個(gè)對象石蔗，通過選取基和坐標(biāo)的辦法，都可以表達(dá)為向量的形式畅形。通常的向量空間我就不說了养距，舉兩個(gè)不那么平凡的例子：
L1. 最高次項(xiàng)不大于n次的多項(xiàng)式的全體構(gòu)成一個(gè)線性空間，也就是說日熬，這個(gè)線性空間中的每一個(gè)對象是一個(gè)多項(xiàng)式棍厌。如果我們以x0, x1, ..., xn為基，那么任何一個(gè)這樣的多項(xiàng)式都可以表達(dá)為一組n+1維向量，其中的每一個(gè)分量ai其實(shí)就是多項(xiàng)式中x(i-1)項(xiàng)的系數(shù)耘纱。值得說明的是敬肚，基的選取有多種辦法，只要所選取的那一組基線性無關(guān)就可以束析。這要用到后面提到的概念了艳馒，所以這里先不說，提一下而已员寇。
L2. 閉區(qū)間[a, b]上的n階連續(xù)可微函數(shù)的全體弄慰，構(gòu)成一個(gè)線性空間。也就是說蝶锋，這個(gè)線性空間的每一個(gè)對象是一個(gè)連續(xù)函數(shù)陆爽。對于其中任何一個(gè)連續(xù)函數(shù)，根據(jù)魏爾斯特拉斯定理扳缕，一定可以找到最高次項(xiàng)不大于n的多項(xiàng)式函數(shù)慌闭，使之與該連續(xù)函數(shù)的差為0，也就是說躯舔，完全相等驴剔。這樣就把問題歸結(jié)為L1了。后面就不用再重復(fù)了粥庄。
所以說仔拟，向量是很厲害的，只要你找到合適的基飒赃，用向量可以表示線性空間里任何一個(gè)對象利花。這里頭大有文章，因?yàn)橄蛄勘砻嫔现皇且涣袛?shù)载佳，但是其實(shí)由于它的有序性炒事，所以除了這些數(shù)本身攜帶的信息之外，還可以在每個(gè)數(shù)的對應(yīng)位置上攜帶信息蔫慧。為什么在程序設(shè)計(jì)中數(shù)組最簡單挠乳，卻又威力無窮呢？根本原因就在于此姑躲。這是另一個(gè)問題了睡扬，這里就不說了。
下面來回答第二個(gè)問題黍析，這個(gè)問題的回答會(huì)涉及到線性代數(shù)的一個(gè)最根本的問題卖怜。
線性空間中的運(yùn)動(dòng)，被稱為線性變換阐枣。也就是說马靠，你從線性空間中的一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到任意的另外一個(gè)點(diǎn)奄抽，都可以通過一個(gè)線性變化來完成。那么甩鳄，線性變換如何表示呢逞度？很有意思，在線性空間中妙啃，當(dāng)你選定一組基之后档泽，不僅可以用一個(gè)向量來描述空間中的任何一個(gè)對象，而且可以用矩陣來描述該空間中的任何一個(gè)運(yùn)動(dòng)（變換）揖赴。而使某個(gè)對象發(fā)生對應(yīng)運(yùn)動(dòng)的方法馆匿，就是用代表那個(gè)運(yùn)動(dòng)的矩陣，乘以代表那個(gè)對象的向量储笑。
簡而言之甜熔，在線性空間中選定基之后圆恤，向量刻畫對象突倍，矩陣刻畫對象的運(yùn)動(dòng)，用矩陣與向量的乘法施加運(yùn)動(dòng)盆昙。
是的羽历，矩陣的本質(zhì)是運(yùn)動(dòng)的描述。如果以后有人問你矩陣是什么淡喜，那么你就可以響亮地告訴他秕磷，矩陣的本質(zhì)是運(yùn)動(dòng)的描述。
可是多么有意思啊炼团，向量本身不是也可以看成是n x 1矩陣嗎澎嚣？這實(shí)在是很奇妙，一個(gè)空間中的對象和運(yùn)動(dòng)竟然可以用相類同的方式表示瘟芝。能說這是巧合嗎易桃？如果是巧合的話，那可真是幸運(yùn)的巧合锌俱！可以說晤郑，線性代數(shù)中大多數(shù)奇妙的性質(zhì)，均與這個(gè)巧合有直接的關(guān)系贸宏。
上一篇里說“矩陣是運(yùn)動(dòng)的描述”造寝，到現(xiàn)在為止，好像大家都還沒什么意見吭练。但是我相信早晚會(huì)有數(shù)學(xué)系出身的網(wǎng)友來拍板轉(zhuǎn)诫龙。因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)這個(gè)概念，在數(shù)學(xué)和物理里是跟微積分聯(lián)系在一起的鲫咽。我們學(xué)習(xí)微積分的時(shí)候赐稽，總會(huì)有人照本宣科地告訴你叫榕，初等數(shù)學(xué)是研究常量的數(shù)學(xué)，是研究靜態(tài)的數(shù)學(xué)姊舵，高等數(shù)學(xué)是變量的數(shù)學(xué)晰绎，是研究運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)。大家口口相傳括丁，差不多人人都知道這句話荞下。但是真知道這句話說的是什么意思的人，好像也不多史飞。簡而言之尖昏，在我們?nèi)祟惖慕?jīng)驗(yàn)里，運(yùn)動(dòng)是一個(gè)連續(xù)過程构资，從A點(diǎn)到B點(diǎn)抽诉，就算走得最快的光，也是需要一個(gè)時(shí)間來逐點(diǎn)地經(jīng)過AB之間的路徑吐绵，這就帶來了連續(xù)性的概念迹淌。而連續(xù)這個(gè)事情，如果不定義極限的概念己单，根本就解釋不了唉窃。古希臘人的數(shù)學(xué)非常強(qiáng)，但就是缺乏極限觀念纹笼，所以解釋不了運(yùn)動(dòng)纹份，被芝諾的那些著名悖論（飛箭不動(dòng)、飛毛腿阿喀琉斯跑不過烏龜?shù)人膫€(gè)悖論）搞得死去活來廷痘。因?yàn)檫@篇文章不是講微積分的蔓涧，所以我就不多說了。有興趣的讀者可以去看看齊民友教授寫的《重溫微積分》笋额。我就是讀了這本書開頭的部分元暴，才明白“高等數(shù)學(xué)是研究運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)”這句話的道理。
不過在我這個(gè)《理解矩陣》的文章里鳞陨，“運(yùn)動(dòng)”的概念不是微積分中的連續(xù)性的運(yùn)動(dòng)昨寞，而是瞬間發(fā)生的變化。比如這個(gè)時(shí)刻在A點(diǎn)厦滤，經(jīng)過一個(gè)“運(yùn)動(dòng)”援岩，一下子就“躍遷”到了B點(diǎn)，其中不需要經(jīng)過A點(diǎn)與B點(diǎn)之間的任何一個(gè)點(diǎn)掏导。這樣的“運(yùn)動(dòng)”享怀，或者說“躍遷”，是違反我們?nèi)粘５慕?jīng)驗(yàn)的趟咆。不過了解一點(diǎn)量子物理常識的人添瓷，就會(huì)立刻指出梅屉，量子（例如電子）在不同的能量級軌道上跳躍，就是瞬間發(fā)生的鳞贷，具有這樣一種躍遷行為坯汤。所以說，自然界中并不是沒有這種運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象搀愧，只不過宏觀上我們觀察不到惰聂。但是不管怎么說，“運(yùn)動(dòng)”這個(gè)詞用在這里咱筛，還是容易產(chǎn)生歧義的搓幌，說得更確切些，應(yīng)該是“躍遷”迅箩。因此這句話可以改成：
“矩陣是線性空間里躍遷的描述”溉愁。
可是這樣說又太物理，也就是說太具體饲趋，而不夠數(shù)學(xué)拐揭，也就是說不夠抽象。因此我們最后換用一個(gè)正牌的數(shù)學(xué)術(shù)語——變換篙贸，來描述這個(gè)事情投队。這樣一說枫疆，大家就應(yīng)該明白了爵川，所謂變換，其實(shí)就是空間里從一個(gè)點(diǎn)（元素/對象）到另一個(gè)點(diǎn)（元素/對象）的躍遷息楔。比如說寝贡，拓?fù)渥儞Q，就是在拓?fù)淇臻g里從一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn)的躍遷值依。再比如說辣吃，仿射變換笨腥，就是在仿射空間里從一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn)的躍遷。附帶說一下，這個(gè)仿射空間跟向量空間是親兄弟羡玛。做計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的朋友都知道，盡管描述一個(gè)三維對象只需要三維向量蛾狗，但所有的計(jì)算機(jī)圖形學(xué)變換矩陣都是4 x 4的骨稿。說其原因，很多書上都寫著“為了使用中方便”扮叨，這在我看來簡直就是企圖蒙混過關(guān)缤弦。真正的原因，是因?yàn)樵谟?jì)算機(jī)圖形學(xué)里應(yīng)用的圖形變換彻磁，實(shí)際上是在仿射空間而不是向量空間中進(jìn)行的碍沐。想想看狸捅，在向量空間里向一個(gè)向量平行移動(dòng)以后仍是相同的那個(gè)向量，而現(xiàn)實(shí)世界等長的兩個(gè)平行線段當(dāng)然不能被認(rèn)為同一個(gè)東西累提，所以計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的生存空間實(shí)際上是仿射空間尘喝。而仿射變換的矩陣表示根本就是4 x 4的。又扯遠(yuǎn)了斋陪，有興趣的讀者可以去看《計(jì)算機(jī)圖形學(xué)——幾何工具算法詳解》瞧省。
一旦我們理解了“變換”這個(gè)概念，矩陣的定義就變成：
“矩陣是線性空間里的變換的描述鳍贾“柏遥”
到這里為止，我們終于得到了一個(gè)看上去比較數(shù)學(xué)的定義骑科。不過還要多說幾句橡淑。教材上一般是這么說的，在一個(gè)線性空間V里的一個(gè)線性變換T咆爽，當(dāng)選定一組基之后梁棠，就可以表示為矩陣。因此我們還要說清楚到底什么是線性變換斗埂，什么是基符糊，什么叫選定一組基。線性變換的定義是很簡單的呛凶，設(shè)有一種變換T男娄，使得對于線性空間V中間任何兩個(gè)不相同的對象x和y，以及任意實(shí)數(shù)a和b漾稀，有：T(ax + by) = aT(x) + bT(y)模闲，那么就稱T為線性變換。
定義都是這么寫的崭捍，但是光看定義還得不到直覺的理解尸折。線性變換究竟是一種什么樣的變換？我們剛才說了殷蛇，變換是從空間的一個(gè)點(diǎn)躍遷到另一個(gè)點(diǎn)实夹，而線性變換，就是從一個(gè)線性空間V的某一個(gè)點(diǎn)躍遷到另一個(gè)線性空間W的另一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)粒梦。這句話里蘊(yùn)含著一層意思亮航，就是說一個(gè)點(diǎn)不僅可以變換到同一個(gè)線性空間中的另一個(gè)點(diǎn)，而且可以變換到另一個(gè)線性空間中的另一個(gè)點(diǎn)去谍倦。不管你怎么變塞赂，只要變換前后都是線性空間中的對象，這個(gè)變換就一定是線性變換昼蛀，也就一定可以用一個(gè)非奇異矩陣來描述宴猾。而你用一個(gè)非奇異矩陣去描述的一個(gè)變換圆存，一定是一個(gè)線性變換。有的人可能要問仇哆，這里為什么要強(qiáng)調(diào)非奇異矩陣沦辙？所謂非奇異，只對方陣有意義讹剔，那么非方陣的情況怎么樣油讯？這個(gè)說起來就會(huì)比較冗長了，最后要把線性變換作為一種映射延欠，并且討論其映射性質(zhì)陌兑，以及線性變換的核與像等概念才能徹底講清楚。我覺得這個(gè)不算是重點(diǎn)由捎，如果確實(shí)有時(shí)間的話兔综，以后寫一點(diǎn)。以下我們只探討最常用狞玛、最有用的一種變換软驰，就是在同一個(gè)線性空間之內(nèi)的線性變換。也就是說心肪，下面所說的矩陣锭亏，不作說明的話，就是方陣硬鞍，而且是非奇異方陣慧瘤。學(xué)習(xí)一門學(xué)問，最重要的是把握主干內(nèi)容膳凝，迅速建立對于這門學(xué)問的整體概念碑隆，不必一開始就考慮所有的細(xì)枝末節(jié)和特殊情況恭陡，自亂陣腳蹬音。
接著往下說，什么是基呢休玩？這個(gè)問題在后面還要大講一番著淆，這里只要把基看成是線性空間里的坐標(biāo)系就可以了。注意是坐標(biāo)系拴疤，不是坐標(biāo)值永部，這兩者可是一個(gè)“對立矛盾統(tǒng)一體”。這樣一來呐矾，“選定一組基”就是說在線性空間里選定一個(gè)坐標(biāo)系苔埋，就這意思。
好蜒犯，最后我們把矩陣的定義完善如下：
“矩陣是線性空間中的線性變換的一個(gè)描述组橄。在一個(gè)線性空間中荞膘，只要我們選定一組基，那么對于任何一個(gè)線性變換玉工，都能夠用一個(gè)確定的矩陣來加以描述羽资。”
理解這句話的關(guān)鍵遵班，在于把“線性變換”與“線性變換的一個(gè)描述”區(qū)別開屠升。一個(gè)是那個(gè)對象，一個(gè)是對那個(gè)對象的表述狭郑。就好像我們熟悉的面向?qū)ο缶幊讨懈古粋€(gè)對象可以有多個(gè)引用，每個(gè)引用可以叫不同的名字翰萨，但都是指的同一個(gè)對象微服。如果還不形象，那就干脆來個(gè)很俗的類比缨历。
比如有一頭豬以蕴，你打算給它拍照片，只要你給照相機(jī)選定了一個(gè)鏡頭位置辛孵，那么就可以給這頭豬拍一張照片丛肮。這個(gè)照片可以看成是這頭豬的一個(gè)描述，但只是一個(gè)片面的的描述魄缚，因?yàn)閾Q一個(gè)鏡頭位置給這頭豬拍照宝与，能得到一張不同的照片，也是這頭豬的另一個(gè)片面的描述冶匹。所有這樣照出來的照片都是這同一頭豬的描述习劫，但是又都不是這頭豬本身。
同樣的嚼隘，對于一個(gè)線性變換诽里，只要你選定一組基，那么就可以找到一個(gè)矩陣來描述這個(gè)線性變換飞蛹。換一組基谤狡，就得到一個(gè)不同的矩陣。所有這些矩陣都是這同一個(gè)線性變換的描述卧檐，但又都不是線性變換本身墓懂。
但是這樣的話，問題就來了如果你給我兩張豬的照片霉囚，我怎么知道這兩張照片上的是同一頭豬呢捕仔？同樣的，你給我兩個(gè)矩陣，我怎么知道這兩個(gè)矩陣是描述的同一個(gè)線性變換呢榜跌？如果是同一個(gè)線性變換的不同的矩陣描述闸天，那就是本家兄弟了，見面不認(rèn)識斜做，豈不成了笑話苞氮。
好在，我們可以找到同一個(gè)線性變換的矩陣兄弟們的一個(gè)性質(zhì)瓤逼，那就是：
若矩陣A與B是同一個(gè)線性變換的兩個(gè)不同的描述（之所以會(huì)不同笼吟，是因?yàn)檫x定了不同的基，也就是選定了不同的坐標(biāo)系）霸旗，則一定能找到一個(gè)非奇異矩陣P贷帮，使得A、B之間滿足這樣的關(guān)系：
A = P-1BP
線性代數(shù)稍微熟一點(diǎn)的讀者一下就看出來诱告，這就是相似矩陣的定義撵枢。沒錯(cuò)，所謂相似矩陣精居，就是同一個(gè)線性變換的不同的描述矩陣锄禽。按照這個(gè)定義，同一頭豬的不同角度的照片也可以成為相似照片靴姿。俗了一點(diǎn)沃但，不過能讓人明白。
而在上面式子里那個(gè)矩陣P佛吓，其實(shí)就是A矩陣所基于的基與B矩陣所基于的基這兩組基之間的一個(gè)變換關(guān)系宵晚。關(guān)于這個(gè)結(jié)論，可以用一種非常直覺的方法來證明（而不是一般教科書上那種形式上的證明）维雇，如果有時(shí)間的話淤刃，我以后在blog里補(bǔ)充這個(gè)證明。
這個(gè)發(fā)現(xiàn)太重要了吱型。原來一族相似矩陣都是同一個(gè)線性變換的描述耙菁帧！難怪這么重要唁影！工科研究生課程中有矩陣論耕陷、矩陣分析等課程，其中講了各種各樣的相似變換据沈，比如什么相似標(biāo)準(zhǔn)型，對角化之類的內(nèi)容饺蔑，都要求變換以后得到的那個(gè)矩陣與先前的那個(gè)矩陣式相似的锌介，為什么這么要求？因?yàn)橹挥羞@樣要求，才能保證變換前后的兩個(gè)矩陣是描述同一個(gè)線性變換的孔祸。當(dāng)然隆敢，同一個(gè)線性變換的不同矩陣描述，從實(shí)際運(yùn)算性質(zhì)來看并不是不分好環(huán)的崔慧。有些描述矩陣就比其他的矩陣性質(zhì)好得多拂蝎。這很容易理解，同一頭豬的照片也有美丑之分嘛惶室。所以矩陣的相似變換可以把一個(gè)比較丑的矩陣變成一個(gè)比較美的矩陣温自，而保證這兩個(gè)矩陣都是描述了同一個(gè)線性變換。
這樣一來皇钞，矩陣作為線性變換描述的一面悼泌，基本上說清楚了。但是夹界，事情沒有那么簡單馆里，或者說，線性代數(shù)還有比這更奇妙的性質(zhì)可柿，那就是鸠踪，矩陣不僅可以作為線性變換的描述，而且可以作為一組基的描述复斥。而作為變換的矩陣慢哈，不但可以把線性空間中的一個(gè)點(diǎn)給變換到另一個(gè)點(diǎn)去，而且也能夠把線性空間中的一個(gè)坐標(biāo)系（基）表換到另一個(gè)坐標(biāo)系（基）去永票。而且卵贱，變換點(diǎn)與變換坐標(biāo)系，具有異曲同工的效果侣集。線性代數(shù)里最有趣的奧妙键俱，就蘊(yùn)含在其中。理解了這些內(nèi)容世分，線性代數(shù)里很多定理和規(guī)則會(huì)變得更加清晰编振、直覺。
這個(gè)留在下一篇再寫吧臭埋。
因?yàn)橛袆e的事情要做踪央，下一篇可能要過幾天再寫了。
接著理解矩陣
上一篇里說“矩陣是運(yùn)動(dòng)的描述”畅蹂，到現(xiàn)在為止，好像大家都還沒什么意見荣恐。但是我相信早晚會(huì)有數(shù)學(xué)系出身的網(wǎng)友來拍板轉(zhuǎn)液斜。因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)這個(gè)概念累贤，在數(shù)學(xué)和物理里是跟微積分聯(lián)系在一起的。我們學(xué)習(xí)微積分的時(shí)候少漆，總會(huì)有人照本宣科地告訴你臼膏，初等數(shù)學(xué)是研究常量的數(shù)學(xué)，是研究靜態(tài)的數(shù)學(xué)示损，高等數(shù)學(xué)是變量的數(shù)學(xué)渗磅，是研究運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)。大家口口相傳检访，差不多人人都知道這句話始鱼。但是真知道這句話說的是什么意思的人，好像也不多烛谊。簡而言之风响，在我們?nèi)祟惖慕?jīng)驗(yàn)里，運(yùn)動(dòng)是一個(gè)連續(xù)過程丹禀，從A點(diǎn)到B點(diǎn)状勤，就算走得最快的光，也是需要一個(gè)時(shí)間來逐點(diǎn)地經(jīng)過AB之間的路徑双泪，這就帶來了連續(xù)性的概念持搜。而連續(xù)這個(gè)事情，如果不定義極限的概念焙矛，根本就解釋不了葫盼。古希臘人的數(shù)學(xué)非常強(qiáng)，但就是缺乏極限觀念村斟，所以解釋不了運(yùn)動(dòng)贫导，被芝諾的那些著名悖論（飛箭不動(dòng)、飛毛腿阿喀琉斯跑不過烏龜?shù)人膫€(gè)悖論）搞得死去活來蟆盹。因?yàn)檫@篇文章不是講微積分的孩灯，所以我就不多說了。有興趣的讀者可以去看看齊民友教授寫的《重溫微積分》逾滥。我就是讀了這本書開頭的部分峰档，才明白“高等數(shù)學(xué)是研究運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)”這句話的道理。
不過在我這個(gè)《理解矩陣》的文章里寨昙，“運(yùn)動(dòng)”的概念不是微積分中的連續(xù)性的運(yùn)動(dòng)讥巡，而是瞬間發(fā)生的變化。比如這個(gè)時(shí)刻在A點(diǎn)舔哪，經(jīng)過一個(gè)“運(yùn)動(dòng)”欢顷，一下子就“躍遷”到了B點(diǎn)，其中不需要經(jīng)過A點(diǎn)與B點(diǎn)之間的任何一個(gè)點(diǎn)尸红。這樣的“運(yùn)動(dòng)”吱涉，或者說“躍遷”刹泄，是違反我們?nèi)粘５慕?jīng)驗(yàn)的外里。不過了解一點(diǎn)量子物理常識的人怎爵，就會(huì)立刻指出，量子（例如電子）在不同的能量級軌道上跳躍盅蝗，就是瞬間發(fā)生的鳖链，具有這樣一種躍遷行為。所以說墩莫，自然界中并不是沒有這種運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象芙委，只不過宏觀上我們觀察不到。但是不管怎么說狂秦，“運(yùn)動(dòng)”這個(gè)詞用在這里灌侣，還是容易產(chǎn)生歧義的，說得更確切些裂问，應(yīng)該是“躍遷”侧啼。因此這句話可以改成：
“矩陣是線性空間里躍遷的描述”。
“矩陣是線性空間里的變換的描述堪簿∪”
到這里為止，我們終于得到了一個(gè)看上去比較數(shù)學(xué)的定義椭更。不過還要多說幾句哪审。教材上一般是這么說的，在一個(gè)線性空間V里的一個(gè)線性變換T虑瀑，當(dāng)選定一組基之后湿滓，就可以表示為矩陣。因此我們還要說清楚到底什么是線性變換舌狗，什么是基叽奥，什么叫選定一組基。線性變換的定義是很簡單的把夸，設(shè)有一種變換T而线，使得對于線性空間V中間任何兩個(gè)不相同的對象x和y，以及任意實(shí)數(shù)a和b恋日，有：T(ax + by) = aT(x) + bT(y)膀篮，那么就稱T為線性變換。
首先來總結(jié)一下前面兩部分的一些主要結(jié)論： 1. 首先有空間岂膳，空間可以容納對象運(yùn)動(dòng)的誓竿。一種空間對應(yīng)一類對象。 2. 有一種空間叫線性空間谈截，線性空間是容納向量對象運(yùn)動(dòng)的筷屡。 3. 運(yùn)動(dòng)是瞬時(shí)的涧偷，因此也被稱為變換。 4. 矩陣是線性空間中運(yùn)動(dòng)（變換）的描述毙死。 5. 矩陣與向量相乘燎潮，就是實(shí)施運(yùn)動(dòng)（變換）的過程。 6. 同一個(gè)變換扼倘，在不同的坐標(biāo)系下表現(xiàn)為不同的矩陣确封，但是它們的本質(zhì)是一樣的，所以本征值相同再菊。
下面讓我們把視力集中到一點(diǎn)以改變我們以往看待矩陣的方式爪喘。我們知道，線性空間里的基本對象是向量纠拔，而向量是這么表示的：
[a1
, a2
, a3
, ..., an
] 矩陣呢秉剑？矩陣是這么表示的： a11
, a12
, a13
, ..., a1n
a21
, a22
, a23
, ..., a2n
... an1
, an2
, an3
, ..., ann
不用太聰明，我們就能看出來稠诲，矩陣是一組向量組成的侦鹏。特別的，n維線性空間里的方陣是由n個(gè)n維向量組成的吕粹。我們在這里只討論這個(gè)n階的种柑、非奇異的方陣，因?yàn)槔斫馑褪抢斫饩仃嚨年P(guān)鍵匹耕，它才是一般情況聚请，而其他矩陣都是意外，都是不得不對付的討厭狀況稳其，大可以放在一邊驶赏。這里多一句嘴，學(xué)習(xí)東西要抓住主流既鞠，不要糾纏于旁支末節(jié)煤傍。很可惜我們的教材課本大多數(shù)都是把主線埋沒在細(xì)節(jié)中的，搞得大家還沒明白怎么回事就先被灌暈了嘱蛋。比如數(shù)學(xué)分析蚯姆，明明最要緊的觀念是說，一個(gè)對象可以表達(dá)為無窮多個(gè)合理選擇的對象的線性和洒敏，這個(gè)概念是貫穿始終的龄恋，也是數(shù)學(xué)分析的精華。但是課本里自始至終不講這句話凶伙，反正就是讓你做吉米多維奇郭毕，掌握一大堆解偏題的技巧，記住各種特殊情況函荣，兩類間斷點(diǎn)显押，怪異的可微和可積條件（誰還記得柯西條件扳肛、迪里赫萊條件...？）乘碑，最后考試一過挖息，一切忘光光。要我說蝉仇，還不如反復(fù)強(qiáng)調(diào)這一個(gè)事情旋讹，把它深深刻在腦子里殖蚕，別的東西忘了就忘了轿衔，真碰到問題了，再查數(shù)學(xué)手冊嘛睦疫，何必因小失大呢害驹？
言歸正傳。如果一組向量是彼此線性無關(guān)的話蛤育，那么它們就可以成為度量這個(gè)線性空間的一組基宛官，從而事實(shí)上成為一個(gè)坐標(biāo)系體系，其中每一個(gè)向量都躺在一根坐標(biāo)軸上瓦糕，并且成為那根坐標(biāo)軸上的基本度量單位（長度1）底洗。
現(xiàn)在到了關(guān)鍵的一步」韭Γ看上去矩陣就是由一組向量組成的亥揖，而且如果矩陣非奇異的話（我說了，只考慮這種情況）圣勒，那么組成這個(gè)矩陣的那一組向量也就是線性無關(guān)的了费变，也就可以成為度量線性空間的一個(gè)坐標(biāo)系。結(jié)論：矩陣描述了一個(gè)坐標(biāo)系圣贸。
“慢著挚歧！”，你嚷嚷起來了吁峻，“你這個(gè)騙子滑负！你不是說過，矩陣就是運(yùn)動(dòng)嗎用含？怎么這會(huì)矩陣又是坐標(biāo)系了矮慕？”
嗯，所以我說到了關(guān)鍵的一步耕餐。我并沒有騙人凡傅，之所以矩陣又是運(yùn)動(dòng)，又是坐標(biāo)系肠缔，那是因?yàn)椋?對不起夏跷，這話其實(shí)不準(zhǔn)確哼转，我只是想讓你印象深刻。準(zhǔn)確的說法是：“對象的變換等價(jià)于坐標(biāo)系的變換”槽华。
或者： “固定坐標(biāo)系下一個(gè)對象的變換等價(jià)于固定對象所處的坐標(biāo)系變換壹蔓。”
說白了就是：
“運(yùn)動(dòng)是相對的猫态∮度兀”
讓我們想想，達(dá)成同一個(gè)變換的結(jié)果亲雪，比如把點(diǎn)(1, 1)變到點(diǎn)(2, 3)去勇凭，你可以有兩種做法。第一义辕，坐標(biāo)系不動(dòng)虾标，點(diǎn)動(dòng)，把(1, 1)點(diǎn)挪到(2, 3)去灌砖。第二璧函，點(diǎn)不動(dòng)，變坐標(biāo)系基显，讓x軸的度量（單位向量）變成原來的1/2蘸吓，讓y軸的度量（單位向量）變成原先的1/3，這樣點(diǎn)還是那個(gè)點(diǎn)撩幽，可是點(diǎn)的坐標(biāo)就變成(2, 3)了库继，方式不同，結(jié)果一樣摸航。
從第一個(gè)方式來看制跟，那就是我在《理解矩陣》1/2中說的，把矩陣看成是運(yùn)動(dòng)描述酱虎，矩陣與向量相乘就是使向量（點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)的過程雨膨。在這個(gè)方式下，
Ma = b 的意思是： “向量a經(jīng)過矩陣M所描述的變換读串，變成了向量b聊记。” 而從第二個(gè)方式來看恢暖，矩陣M描述了一個(gè)坐標(biāo)系排监，姑且也稱之為M。那么： Ma = b 意思是：
“有一個(gè)向量杰捂，它在坐標(biāo)系M的度量下得到的度量結(jié)果向量為a舆床，那么它在坐標(biāo)系I的度量下，這個(gè)向量的度量結(jié)果是b“ざ樱”
這里的I是指單位矩陣谷暮，就是主對角線是1，其他為零的矩陣盛垦。 而這兩個(gè)方式本質(zhì)上是等價(jià)的湿弦。 我希望你務(wù)必理解這一點(diǎn)，因?yàn)檫@是本篇的關(guān)鍵腾夯。 正因?yàn)槭顷P(guān)鍵颊埃，所以我得再解釋一下。 在M為坐標(biāo)系的意義下蝶俱，如果把M放在一個(gè)向量a的前面班利，形成Ma的樣式，我們可以認(rèn)為這是對向量a的一個(gè)環(huán)境聲明跷乐。它相當(dāng)于是說：
** “注意了肥败！這里有一個(gè)向量，它在坐標(biāo)系M中度量愕提，得到的度量結(jié)果可以表達(dá)為a∶笊冢可是它在別的坐標(biāo)系里度量的話浅侨，就會(huì)得到不同的結(jié)果。為了明確证膨，我把M放在前面如输，讓你明白，這是該向量在坐標(biāo)系M中度量的結(jié)果央勒〔患”**
那么我們再看孤零零的向量b： b 多看幾遍，你沒看出來嗎崔步？它其實(shí)不是b稳吮，它是： Ib 也就是說：“在單位坐標(biāo)系，也就是我們通常說的直角坐標(biāo)系I中井濒，有一個(gè)向量灶似，度量的結(jié)果是b∪鹉悖” 而 Ma = Ib的意思就是說： ** “在M坐標(biāo)系里量出來的向量a酪惭，跟在I坐標(biāo)系里量出來的向量b，其實(shí)根本就是一個(gè)向量罢呒住春感！”**
這哪里是什么乘法計(jì)算，根本就是身份識別嘛。
從這個(gè)意義上我們重新理解一下向量鲫懒。向量這個(gè)東西客觀存在纺铭，但是要把它表示出來，就要把它放在一個(gè)坐標(biāo)系中去度量它刀疙，然后把度量的結(jié)果（向量在各個(gè)坐標(biāo)軸上的投影值）按一定順序列在一起舶赔，就成了我們平時(shí)所見的向量表示形式。你選擇的坐標(biāo)系（基）不同谦秧，得出來的向量的表示就不同竟纳。向量還是那個(gè)向量，選擇的坐標(biāo)系不同疚鲤，其表示方式就不同锥累。因此，按道理來說集歇，每寫出一個(gè)向量的表示桶略，都應(yīng)該聲明一下這個(gè)表示是在哪個(gè)坐標(biāo)系中度量出來的。表示的方式诲宇，就是 Ma际歼，也就是說，有一個(gè)向量姑蓝，在M矩陣表示的坐標(biāo)系中度量出來的結(jié)果為a鹅心。我們平時(shí)說一個(gè)向量是[2 3 5 7]T
，隱含著是說纺荧，這個(gè)向量在 I 坐標(biāo)系中的度量結(jié)果是[2 3 5 7]T
旭愧，因此，這個(gè)形式反而是一種簡化了的特殊情況宙暇。
注意到输枯，M矩陣表示出來的那個(gè)坐標(biāo)系，由一組基組成占贫，而那組基也是由向量組成的桃熄，同樣存在這組向量是在哪個(gè)坐標(biāo)系下度量而成的問題。也就是說靶剑，表述一個(gè)矩陣的一般方法蜻拨，也應(yīng)該要指明其所處的基準(zhǔn)坐標(biāo)系。所謂M桩引，其實(shí)是 IM缎讼，也就是說，M中那組基的度量是在 I 坐標(biāo)系中得出的坑匠。從這個(gè)視角來看血崭，M×N也不是什么矩陣乘法了，而是聲明了一個(gè)在M坐標(biāo)系中量出的另一個(gè)坐標(biāo)系N，其中M本身是在I坐標(biāo)系中度量出來的夹纫。
回過頭來說變換的問題咽瓷。我剛才說，“固定坐標(biāo)系下一個(gè)對象的變換等價(jià)于固定對象所處的坐標(biāo)系變換”舰讹，那個(gè)“固定對象”我們找到了茅姜，就是那個(gè)向量。但是坐標(biāo)系的變換呢月匣？我怎么沒看見钻洒？ 請看： Ma = Ib 我現(xiàn)在要變M為I，怎么變锄开？對了素标，再前面乘以個(gè)M-1
，也就是M的逆矩陣萍悴。換句話說头遭，你不是有一個(gè)坐標(biāo)系M嗎，現(xiàn)在我讓它乘以個(gè)M-1
癣诱，變成I计维，這樣一來的話，原來M坐標(biāo)系中的a在I中一量狡刘，就得到b了享潜。
我建議你此時(shí)此刻拿起紙筆，畫畫圖嗅蔬，求得對這件事情的理解。比如疾就，你畫一個(gè)坐標(biāo)系澜术，x軸上的衡量單位是2，y軸上的衡量單位是3猬腰，在這樣一個(gè)坐標(biāo)系里鸟废，坐標(biāo)為(1，1)的那一點(diǎn)姑荷，實(shí)際上就是笛卡爾坐標(biāo)系里的點(diǎn)(2, 3)盒延。而讓它原形畢露的辦法，就是把原來那個(gè)坐標(biāo)系:
2 0 0 3 的x方向度量縮小為原來的1/2鼠冕，而y方向度量縮小為原來的1/3添寺，這樣一來坐標(biāo)系就變成單位坐標(biāo)系I了。保持點(diǎn)不變懈费，那個(gè)向量現(xiàn)在就變成了(2, 3)了计露。
被矩陣： 1/2 0 0 1/3 左乘。而這個(gè)矩陣就是原矩陣的逆矩陣。
“對坐標(biāo)系施加變換的方法票罐，就是讓表示那個(gè)坐標(biāo)系的矩陣與表示那個(gè)變化的矩陣相乘叉趣。” 再一次的该押，矩陣的乘法變成了運(yùn)動(dòng)的施加疗杉。只不過，被施加運(yùn)動(dòng)的不再是向量蚕礼，而是另一個(gè)坐標(biāo)系烟具。
如果你覺得你還搞得清楚，請?jiān)傧胍幌聞偛乓呀?jīng)提到的結(jié)論闻牡，矩陣MxN净赴，一方面表明坐標(biāo)系N在運(yùn)動(dòng)M下的變換結(jié)果，另一方面罩润，把M當(dāng)成N的前綴玖翅，當(dāng)成N的環(huán)境描述，那么就是說割以，在M坐標(biāo)系度量下金度，有另一個(gè)坐標(biāo)系N。這個(gè)坐標(biāo)系N如果放在I坐標(biāo)系中度量严沥，其結(jié)果為坐標(biāo)系MxN猜极。
在這里，我實(shí)際上已經(jīng)回答了一般人在學(xué)習(xí)線性代數(shù)是最困惑的一個(gè)問題消玄，那就是為什么矩陣的乘法要規(guī)定成這樣跟伏。簡單地說，是因?yàn)椋?1. 從變換的觀點(diǎn)看翩瓜，對坐標(biāo)系N施加M變換受扳，就是把組成坐標(biāo)系N的每一個(gè)向量施加M變換。 2. 從坐標(biāo)系的觀點(diǎn)看兔跌，在M坐標(biāo)系中表現(xiàn)為N的另一個(gè)坐標(biāo)系勘高，這也歸結(jié)為，對N坐標(biāo)系基的每一個(gè)向量坟桅，把它在I坐標(biāo)系中的坐標(biāo)找出來华望，然后匯成一個(gè)新的矩陣。 3. 至于矩陣乘以向量為什么要那樣規(guī)定仅乓，那是因?yàn)橐粋€(gè)在M中度量為a的向量赖舟，如果想要恢復(fù)在I中的真像，就必須分別與M中的每一個(gè)向量進(jìn)行內(nèi)積運(yùn)算方灾。我把這個(gè)結(jié)論的推導(dǎo)留給感興趣的朋友吧建蹄。應(yīng)該說碌更，其實(shí)到了這一步，已經(jīng)很容易了洞慎。
綜合以上1/2/3痛单，矩陣的乘法就得那么規(guī)定睁宰，一切有根有據(jù)搂妻，絕不是哪個(gè)神經(jīng)病胡思亂想出來的。 我已經(jīng)無法說得更多了京痢。矩陣又是坐標(biāo)系焦人，又是變換挥吵。到底是坐標(biāo)系，還是變換花椭，已經(jīng)說不清楚了忽匈，運(yùn)動(dòng)與實(shí)體在這里統(tǒng)一了，物質(zhì)與意識的界限已經(jīng)消失了矿辽，一切歸于無法言說丹允，無法定義了。道可道袋倔，非常道雕蔽，名可名，非常名宾娜。矩陣是在是不可道之道批狐，不可名之名的東西。到了這個(gè)時(shí)候前塔，我們不得不承認(rèn)嚣艇，我們偉大的線性代數(shù)課本上說的矩陣定義，是無比正確的： ** “矩陣就是由m行n列數(shù)放在一起組成的數(shù)學(xué)對象华弓∷璺希”** 好了，這基本上就是我想說的全部了该抒。還留下一個(gè)行列式的問題。矩陣M的行列式實(shí)際上是組成M的各個(gè)向量按照平行四邊形法則搭成一個(gè)n維立方體的體積顶燕。對于這一點(diǎn)凑保，我只能感嘆于其精妙，卻無法揭開其中奧秘了涌攻。也許我掌握的數(shù)學(xué)工具不夠欧引，我希望有人能夠給我們大家講解其中的道理了。 我不知道是否講得足夠清楚了恳谎，反正這一部分需要您花些功夫去推敲芝此。
