翻譯一篇Marvin Minsky在2008年關(guān)于OLPC（這玩意現(xiàn)在貌似沒人提了，不過關(guān)于娃學(xué)數(shù)學(xué)的觀點深得我心）的文章赡鲜，謹紀念這位人工智能專家和教育家——翻到后面困了空厌，加上GRE詞匯多年未背，得其意忘其形吧...
為什么有些孩子覺得數(shù)學(xué)很難學(xué)呢银酬？我懷疑這可能是因為最初用算數(shù)來進行練習(xí)實踐有關(guān)——我們不是為了提升創(chuàng)造性嘲更，而是關(guān)注避免錯誤。我還懷疑這種負面的重視導(dǎo)致了很多孩子不僅是不喜歡數(shù)學(xué)揩瞪，對任何有科技成分的事物都心生厭惡赋朦。甚至可能產(chǎn)生長期對使用象征事物的反感。
軼事：一位家長請我輔導(dǎo)一個學(xué)不會乘法表的學(xué)生李破，當(dāng)孩子抱怨說這是一項大工程的時候宠哄，我試著解釋因為對角線對稱，所以只要掌握不到50個結(jié)果即可嗤攻。然而毛嫉，孩子來了一大通抱怨：“去年學(xué)加法表的時候真是太無聊了，今年又得學(xué)一個更難的妇菱，我發(fā)現(xiàn)就算這個學(xué)會了承粤，明年還會有個更難的暴区，這種傻x的無意義的東西簡直沒有盡頭啊⌒岭”
這孩子把數(shù)學(xué)想象成一連串持續(xù)的機械化任務(wù)——一種沒有結(jié)束可能的練習(xí)實踐仙粱。很難說服他，其實在接下來的幾年浪讳，沒什么表要背了缰盏。
為了處理眼下的問題，我做了一桌子“閃卡”淹遵，每張上有兩個數(shù)字，反面是他們的乘積负溪。流程是猜答案透揣，如果對了，把卡從桌子上拿走川抡。這讓任務(wù)看起來像個游戲辐真，當(dāng)他清臺的時候可以感覺是有進度的。不久孩子激動地說：“這桌子真是一件教學(xué)神器把碌獭侍咱！我記住了所有的學(xué)過乘積，只需要掌握還不知道的密幔，省了小爺我大把時間靶ǜ！”
然而胯甩，一個更嚴重的麻煩是這孩子沒有關(guān)于學(xué)這個有什么用的清晰概念昧廷，或者說“認知圖”。數(shù)學(xué)在以后的日子里有什么用呢偎箫？能幫我們完成什么目標達成什么愿望呢木柬？
軼事：我有次問一個才6歲的小孩“15+15是多少？”她很快告訴我“我想是30淹办∶颊恚”我為她為什么那么快算出來了她回答：“這個嘛，人人都知道16+16是32怜森，所以我減掉兩個1就是了速挑。”
傳統(tǒng)老師：“你的答案是正確的塔插，但是你的方法錯了：你應(yīng)該把倆5加起來湊個10梗摇，然后寫下來0，進一位想许，再加上兩個1伶授《闲颍”
傳統(tǒng)中對準確性的強調(diào)，導(dǎo)致了估算大小順序能力的弱化糜烹。然而這個孩子已經(jīng)知道并且可以使用2的冪來估算违诗，這已經(jīng)可以和成年人的能力相提并論了。為什么孩子只能學(xué)“定點”算數(shù)疮蹦，而恰恰“浮點”式思考更適合解決日常問題诸迟？
更一般來說，我們需要找到更好的方式愕乎，來回答孩子們不敢問的問題阵苇，比如“我在這干嘛？為什么感论？”“下面會發(fā)生什么绅项？”或者“在哪里，什么時候我能用上學(xué)的這些比肄？”
我引用MIT的Phil Sung那充滿洞察力的評論來總結(jié)：“學(xué)生們被教育得認為自己不喜歡數(shù)學(xué)快耿，但他們實際是不喜歡數(shù)學(xué)課上教的那些》技ǎ”
學(xué)生們需要他們科目的認知圖
直到20世紀掀亥，數(shù)學(xué)主要有算數(shù)、幾何妥色、線性代數(shù)搪花、微積分組成。然后邏輯學(xué)和拓撲學(xué)開始快速發(fā)展垛膝，1950年我們看到了許多關(guān)于信息和計算概念的大爆發(fā)鳍侣。今天這些新概念已經(jīng)變得有用和有力，讓我們的數(shù)學(xué)課落后了一個世紀吼拥。我們需要在孩子們還小的時候把這些新知介紹給他們倚聚。
傳統(tǒng)課程里，算數(shù)絕對是其他數(shù)學(xué)分支的基礎(chǔ)凿可，相應(yīng)地惑折，我們讓所有孩子通過兩三個學(xué)年的艱苦勞動來做加法、乘法和除法枯跑！然而惨驶，今天我們可以把這些任務(wù)當(dāng)成特別的算法例子，這就讓我們能從更簡單和有意思的開始敛助！
例如我們可以讓孩子們先接觸簡單的關(guān)于語言和有限狀態(tài)機的例子和概念粗卜，這能提供他們足夠的想象控件和有意思的途徑去思考用低成本電腦寫程序，編程語言如Logo和Scratch不僅可以幫助孩子們實驗簡單的計算纳击，還能涉及更有意思的比如幾何续扔、物理攻臀、數(shù)學(xué)和語言學(xué)！不僅于此纱昧，還能給孩子們能力刨啸，用這些概念來創(chuàng)造他們自己關(guān)于圖形、游戲和語言的想法——他們可以給自己的社區(qū)可以開發(fā)识脆、共享這些實際的應(yīng)用程序设联。
同理在幾何王國里，我們可以讓年輕的孩子們和圖形程序交互灼捂，讓他們觀察和探索各種對稱性——因此能開始掌握更高級的理念——數(shù)學(xué)家稱為“群論”离例，不僅僅可以被看做是算數(shù)的概念基礎(chǔ)，還可以是其他科目的許多組成部分纵东。（google一下"Geometer's sketchpad"可以看到很多例子）
在物理王國粘招，孩子們可以操作程序模擬結(jié)構(gòu)間的相互作用，因此能撞我一些重要概念比如：應(yīng)力應(yīng)變偎球、加速度、動量辑甜、能量和震動衰絮、濕度還有維度變化。
在每種情況下磷醋，我們都要給我們的孩子們提供更好的讓他們學(xué)習(xí)的科目的認知圖猫牡，我詢問過一些小學(xué)教師，多久真正做一次除法邓线，一人說道：“我每年用它算一次平均分淌友。”另一個說用它算個稅表但記不起來細節(jié)了骇陈。數(shù)學(xué)可能是個貫穿人生的活動——看上去沒人有這個意識震庭。這里有一個簡單但是令人震驚關(guān)于孩子缺乏認知圖的例子：
一個孩子被送到我這學(xué)習(xí)，因為幾何課不及格你雌，給出了這個理由：“他們那天證明定理的時候我一定不在器联。”
不用想婿崭，這個孩子很迷惑——當(dāng)我解釋沒有標準證明方法的時候拨拓，他看上去在驚奇的同時又放心了——“你得自己弄明白”。有人能說這孩子只是沒有在玩游戲前被告知規(guī)則氓栈。然而渣磷，這是一很怪的例子——規(guī)則就是沒有規(guī)則！（實際上授瘦，定理機器證明是存在的醋界，但我不推薦它們的用法）
給數(shù)學(xué)生活氣息
到底什么是數(shù)學(xué)呢竟宋？一次我來到一個教室，學(xué)生們在寫Logo程序物独。一個孩子寫程序在屏幕上繪制了開放的彩色花朵袜硫，有人問是否程序使用了數(shù)學(xué)。那孩子回答：“哦挡篓，數(shù)學(xué)沒什么特別的：只是認識事物更聰明的方法而已婉陷。”這里有一些當(dāng)我們讓學(xué)生學(xué)習(xí)時官研，他們該問的問題：
算數(shù)： 為什么“復(fù)利”比恒定利率變得快秽澳？人口怎么增長？遞歸是怎么導(dǎo)致指數(shù)增長的戏羽？孩子這些在計算機程序的幫助下很容易理解担神，但當(dāng)被限制在乏味無聊的數(shù)字計算時呢？
幾何： 有多少種不同的方法在正方體的各個面上畫6種顏色始花？你能想象怎么把一個正方體分解成三個同樣的五邊形物體嗎妄讯？我們知道手套有左右之分，但為什么只有這兩種版本酷宵？我們都生活在三維世界里亥贸，但很少人能有很好的三維物體認知感，這難道不是一種殘疾嗎浇垦？
邏輯： 如果大部分的A是B炕置，大部分的B是C，是否能推出很多A一定是C男韧？很多成年人都會給出錯誤答案朴摊。John Smith從蘋果去微軟后，有么有可能提升兩家公司的平均智商呢此虑？我們都試圖講邏輯甚纲，但先得學(xué)習(xí)一些最基本的錯誤！
力學(xué)： 為什么用三角形把東西支撐起來更牢固寡壮？因為兩個三角相等贩疙，對應(yīng)邊相等——意味著在每條邊都受約束的時候，沒辦法改變一個三角形的形狀况既。今天大多數(shù)孩子長大成人過程中这溅，都沒學(xué)過“自由度”的概念。
**統(tǒng)計: ** 很少數(shù)學(xué)科目能在每日應(yīng)用中競爭過統(tǒng)計學(xué)棒仍。效用怎么疊加悲靴？什么樣的知識和經(jīng)驗?zāi)軒椭⒆幼龈玫臍w納？怎么檢驗證據(jù)莫其？相關(guān)性和原因有什么關(guān)系癞尚？每個孩子都改學(xué)習(xí)最基本的傾向形式——和為什么應(yīng)該對奇聞異事保持批判態(tài)度耸三。
學(xué)校數(shù)學(xué)的貧乏語言
我們教數(shù)學(xué)有些怪事，如果看看小學(xué)的科目——歷史浇揩、英語仪壮、社會活動等——會發(fā)現(xiàn)每個學(xué)期學(xué)生都會新掌握幾百個單詞。你學(xué)到了很多組織胳徽、領(lǐng)袖积锅、戰(zhàn)爭的名稱；書的標題和它們的作者养盗；各種主意和概念的術(shù)語——每年幾千個新單詞缚陷。
然而，學(xué)校的數(shù)學(xué)教學(xué)往核，詞匯卻異常貧乏箫爷。學(xué)生是學(xué)到了各種對象和過程——比如加法、乘法聂儒、分數(shù)虎锚、比率、除數(shù)衩婚、長方形翁都、平行四邊形和圓柱體、等式谅猾、變量、函數(shù)鳍悠、圖税娜。但他們每年只學(xué)這么幾個術(shù)語——意味著在數(shù)學(xué)王國里，我們的孩子們精神上挨餓藏研，因為生活在一個“語言的沙漠”里敬矩。很難想象一個人在習(xí)得足夠的術(shù)語前能表達該領(lǐng)域的重要意見。
特別地蠢挡，學(xué)名詞是不夠的弧岳，還得有充足的形容詞！應(yīng)該用什么詞形容該做加法的時候业踏？當(dāng)某現(xiàn)象是里線性的禽炬。做乘法呢？當(dāng)某事物是二次方的或者二次線性的勤家。怎么形容某過程突然變化或者逐漸變化：需要的是離散的和連續(xù)的腹尖。說到相似性，術(shù)語是同構(gòu)的和異構(gòu)的伐脖。我們的孩子需要更好地方法來交流乐设，不僅僅是算數(shù)和幾何，還有用于表達統(tǒng)計近尚、邏輯和拓撲的詞匯。這就給OLPC兒童社區(qū)提供了一個機會：嘗試設(shè)置鼓勵每日數(shù)學(xué)術(shù)語的討論組——每個孩子都能“非線性”發(fā)言戈锻，其他孩子羨慕，而不是打消她的勇氣却嗡。
導(dǎo)師和社區(qū)
如果有人試圖習(xí)得某種重要技能，但沒有一個好的概念圖窗价，很可能以東一榔頭西一棒、不知道何時何地正確使用而告終撼港。但孩子們怎么獲得這些概念圖呢？在現(xiàn)代學(xué)校之前帝牡，年輕的孩子主要靠被強迫從事特定的工作往毡，到頭來也沒獲得什么能力靶溜。然而總有一些孩子以某種方式吸收了師傅的知識和技能——也總有一些人知道如何指點學(xué)徒的孩子。
我會在別的地方展示現(xiàn)代課堂的不足罩息。今天絕大部分教育更加廣泛，但“學(xué)徒關(guān)系”卻非常罕見瓷炮，因為很少有教師能有足夠的時間和每一個學(xué)生互動：現(xiàn)代教師只能做這么多葱色。結(jié)果就是沒人有時間來處理“我在這干嘛娘香？為什么？”“下面會發(fā)生什么烘绽？”或者“在哪里淋昭，什么時候我能用上學(xué)的這些？”這些根本性問題诀姚。
然而响牛，我們現(xiàn)在可以打開新的網(wǎng)絡(luò)，讓每個孩子參與交流。這意味著我們可以開始想象呀打，對每一個孩子矢赁，一個有技能的成年人都有足夠的“空閑時間”來當(dāng)一個導(dǎo)師或者朋友，幫助他們開發(fā)項目贬丛、磨練技能撩银。這些導(dǎo)師從哪里來？可能這個問題會自己解決豺憔，因為我們的壽命正在變長《罨瘢現(xiàn)在長壽增長率是每四年能多活一年，所以很快就有更多退休人員恭应，比上班的要多抄邀！
當(dāng)然，每個孩子都會在學(xué)習(xí)特定思維方式的時候都特別棒——所以我們需要找到方法來適應(yīng)“結(jié)對學(xué)徒關(guān)系”昼榛。結(jié)果我們需要開發(fā)“智能配對服務(wù)”找到正確的人們來模仿境肾！
每種情況，沒有小型學(xué)校和社區(qū)可以教所有可能的科目胆屿，或者給能力反常的人群以特殊服務(wù)奥喻，如果一個孩子展現(xiàn)出特別的興趣，不太可能找到本地的人員來幫助這個孩子展現(xiàn)他的天賦和能力(同樣小型社區(qū)也不能提供足夠的資源非迹，來服務(wù)能力有限的孩子）环鲤。然而，通過網(wǎng)絡(luò)有了整個世界的聯(lián)系憎兽，找到相同興趣的人就更加容易冷离，每個孩子可以加入交互社區(qū)獲得更好地機會。
強調(diào)新意纯命，忽略苦工酒朵？
實際上我喜歡學(xué)校里的算數(shù)。你得加完一列數(shù)字扎附，這很有意思，因為有很多種不同的方法來完成结耀。你可以看看這里和那里留夜，注意到有3個3：“就快到10了，我拿掉1,7就變成了6图甜，9就變成了10碍粥。”但你怎么防止把有些數(shù)字數(shù)兩邊黑毅？好吧嚼摩，可以這么想：“現(xiàn)在我不數(shù)3了。”多少孩子是完全按照我們教的方法做的呢枕面？那些成了工程師和數(shù)學(xué)家的當(dāng)然沒有愿卒！當(dāng)你再用同樣的過程，學(xué)到新東西的可能也就幾乎不存在了——你發(fā)明的每種新方法都會給你留下一些新的思維技能（——比如記憶的新方法）
