計(jì)算與推斷思維 八邪锌、隨機(jī)性

八楣铁、隨機(jī)性

原文：Randomness

譯者：飛龍

協(xié)議：CC BY-NC-SA 4.0

自豪地采用谷歌翻譯

在前面的章節(jié)中道偷，我們開發(fā)了深入描述數(shù)據(jù)所需的技能缀旁。 數(shù)據(jù)科學(xué)家也必須能夠理解隨機(jī)性。 例如勺鸦，他們必須能夠隨機(jī)將個(gè)體分配到實(shí)驗(yàn)組和對照組并巍，然后試圖說明，觀察到的兩組結(jié)果之間的差異是否僅僅是由于隨機(jī)分配换途，或真正由于實(shí)驗(yàn)所致懊渡。

在這一章中刽射，我們開始分析隨機(jī)性。 首先剃执，我們將使用 Python 進(jìn)行隨機(jī)選擇誓禁。 在numpy中有一個(gè)叫做random的子模塊，它包含許多涉及隨機(jī)選擇的函數(shù)肾档。 其中一個(gè)函數(shù)稱為choice摹恰。 它從一個(gè)數(shù)組中隨機(jī)選取一個(gè)項(xiàng)目，選擇任何項(xiàng)目都是等可能的怒见。 函數(shù)調(diào)用是np.random.choice(array_name)俗慈，其中array_name是要從中進(jìn)行選擇的數(shù)組的名稱。

因此遣耍，下面的代碼以 50% 的幾率求值為treatment闺阱，50% 的機(jī)率為control。

two_groups = make_array('treatment', 'control')
np.random.choice(two_groups)
'treatment'

上面的代碼和我們迄今運(yùn)行的所有其他代碼之間的巨大差異在于舵变，上面的代碼并不總是返回相同的值酣溃。 它可以返回treatment或control，我們不會提前知道會選擇哪一個(gè)纪隙。 我們可以通過提供第二個(gè)參數(shù)來重復(fù)這個(gè)過程赊豌，它是重復(fù)這個(gè)過程的次數(shù)。

np.random.choice(two_groups, 10)
array(['treatment', 'control', 'treatment', 'control', 'control',
       'treatment', 'treatment', 'control', 'control', 'control'], 
      dtype='<U9')

隨機(jī)事件的根本問題是它們是否發(fā)生瘫拣。 例如：

  • 個(gè)體是否被分配到實(shí)驗(yàn)組亿絮？
  • 賭徒是否會贏錢告喊？
  • 一個(gè)民意調(diào)查是否做出了準(zhǔn)確的預(yù)測麸拄？

一旦事件發(fā)生，你可以對所有這些問題回答“是”或“否”黔姜。 在編程中拢切，通常通過將語句標(biāo)記為True或False來執(zhí)行此操作。 例如秆吵，如果個(gè)體被分配到實(shí)驗(yàn)組淮椰，那么“個(gè)體被分配到實(shí)驗(yàn)組”的陳述將是真的。 如果不是纳寂，那將是假的主穗。

布爾值和比較

在 Python 中，布爾值（以邏輯學(xué)家 George Boole 命名）表示真值毙芜，并只有兩個(gè)可能的值：True和False忽媒。 無論問題是否涉及隨機(jī)性，布爾值通常都由比較運(yùn)算符產(chǎn)生腋粥。 Python 包含了各種比較值的運(yùn)算符晦雨。 例如架曹，3大于1 + 1。

3 > 1 + 1
True

True表示比較是有效的闹瞧；Python 已經(jīng)證實(shí)了3和1 + 1的關(guān)系的這個(gè)簡單事實(shí)绑雄。 下面列出了一整套通用的比較運(yùn)算符。

比較 運(yùn)算符 True 示例 False 示例
小于 < 2 < 3 2 < 2
大于 > 3 > 2 3 > 3
小于等于 <= 2 <= 2 3 <= 2
大于等于 >= 3 >= 3 2 >= 3
等于 == 3 == 3 3 == 2
不等于 != 3 != 2 2 != 2

注意比較中的兩個(gè)等號==用于確定相等性奥邮。 這是必要的万牺，因?yàn)?Python 已經(jīng)使用=來表示名稱的賦值，我們之前看到過洽腺。 它不能將相同的符號用于不同的目的杏愤。 因此，如果你想檢查5是否等于10/2已脓，那么你必須小心：5 = 10/2返回一個(gè)錯(cuò)誤信息珊楼，因?yàn)?Python 假設(shè)你正試圖將表達(dá)式10/2的值賦給一個(gè)名稱，它是數(shù)字5度液。相反厕宗，你必須使用5 == 10/2，其計(jì)算結(jié)果為True堕担。

5 = 10/2
  File "<ipython-input-4-5c7d3e808777>", line 1
    5 = 10/2
            ^
SyntaxError: can't assign to literal
5 == 10/2
True

一個(gè)表達(dá)式可以包含多個(gè)比較已慢，并且它們都必須滿足，為了整個(gè)表達(dá)式為真霹购。 例如佑惠，我們可以用下面的表達(dá)式表示1 + 1在1和3之間。

1 < 1 + 1 < 3
True

兩個(gè)數(shù)字的平均值總是在較小的數(shù)字和較大的數(shù)字之間齐疙。 我們用下面的數(shù)字x和y來表示這種關(guān)系膜楷。 你可以嘗試不同的x和y值來確認(rèn)這種關(guān)系。

x = 12
y = 5
min(x, y) <= (x+y)/2 <= max(x, y)
True

字符串比較

字符串也可以比較贞奋，他們的順序是字典序赌厅。 較短的字符串小于以較短的字符串開頭的較長的字符串。

'Dog' > 'Catastrophe' > 'Cat'

我們回到隨機(jī)選擇轿塔。 回想一下由兩個(gè)元素組成的數(shù)組two_groups特愿，treatment和control。 為了看一個(gè)隨機(jī)分配的個(gè)體是否去了實(shí)驗(yàn)組勾缭，你可以使用比較：

np.random.choice(two_groups) == 'treatment'
False

和以前一樣揍障，隨機(jī)選擇并不總是一樣的，所以比較的結(jié)果也不總是一樣的俩由。 這取決于是選擇treatment還是control毒嫡。 對于任何涉及隨機(jī)選擇的單元格，多次運(yùn)行單元格來獲得結(jié)果的變化是一個(gè)好主意采驻。

比較數(shù)組和值

回想一下审胚，我們可以對數(shù)組中的很多數(shù)字執(zhí)行算術(shù)運(yùn)算匈勋。 例如，make_array(0, 5, 2)*2等同于make_array(0, 10, 4)膳叨。 以類似的方式洽洁，如果我們比較一個(gè)數(shù)組和一個(gè)值，則數(shù)組的每個(gè)元素都與該值進(jìn)行比較菲嘴，并將比較結(jié)果求值為布爾值數(shù)組饿自。

tosses = make_array('Tails', 'Heads', 'Tails', 'Heads', 'Heads')
tosses == 'Heads'
array([False,  True, False,  True,  True], dtype=bool)

numpy方法count_nonzero計(jì)算數(shù)組的非零（即True）元素的數(shù)量。

np.count_nonzero(tosses == 'Heads')
3

條件語句

在許多情況下龄坪，行動和結(jié)果取決于所滿足的一組特定條件昭雌。例如，隨機(jī)對照試驗(yàn)的個(gè)體如果被分配給實(shí)驗(yàn)組健田，則接受實(shí)驗(yàn)烛卧。賭徒如果贏了賭注就賺錢。

在本節(jié)中妓局，我們將學(xué)習(xí)如何使用代碼來描述這種情況总放。條件語句是一個(gè)多行語句，它允許 Python 根據(jù)表達(dá)式的真值選擇不同的選項(xiàng)好爬。雖然條件語句可以出現(xiàn)在任何地方局雄，但它們通常出現(xiàn)在函數(shù)體內(nèi)，以便根據(jù)參數(shù)值執(zhí)行可變的行為存炮。

條件語句總是以if開頭炬搭，這是一行，后面跟著一個(gè)縮進(jìn)的主體穆桂。只有當(dāng)if后面的表達(dá)式（稱為if表達(dá)式）求值為真時(shí)宫盔，才會執(zhí)行主體。如果if表達(dá)式的計(jì)算結(jié)果為False充尉，則跳過if的主體飘言。

讓我們開始定義一個(gè)返回?cái)?shù)字符號的函數(shù)。

def sign(x):

    if x > 0:
        return 'Positive'
sign(3)
'Positive'

如果輸入是正數(shù)驼侠，則此函數(shù)返回正確的符號。 但是谆吴，如果輸入不是正數(shù)倒源，那么if表達(dá)式的計(jì)算結(jié)果為false，所以return語句被跳過句狼，函數(shù)調(diào)用沒有值（為None）。

sign(-3)

所以，讓我們改進(jìn)我們的函數(shù)來返回負(fù)數(shù)淋样，如果輸入是負(fù)數(shù)。 我們可以通過添加一個(gè)elif子句來實(shí)現(xiàn)昔馋，其中elif是 Python 的else, if的縮寫。

def sign(x):

    if x > 0:
        return 'Positive'

    elif x < 0:
        return 'Negative'

現(xiàn)在當(dāng)輸入為-3時(shí)糖耸，sign返回正確答案秘遏。

sign(-3)
'Negative'

那么如果輸入是0呢？為了處理這個(gè)情況嘉竟，我們可以添加elif子句：

def sign(x):

    if x > 0:
        return 'Positive'

    elif x < 0:
        return 'Negative'

    elif x == 0:
        return 'Neither positive nor negative'
sign(0)
'Neither positive nor negative'

與之等價(jià)邦危，我們可以用else子句替換最后的elif子句，只有前面的所有比較都是false舍扰，才會執(zhí)行它的正文倦蚪。 也就是說，輸入值等于0的時(shí)候边苹。

def sign(x):

    if x > 0:
        return 'Positive'

    elif x < 0:
        return 'Negative'

    else:
        return 'Neither positive nor negative'
sign(0)
'Neither positive nor negative'

一般形式

條件語句也可以有多個(gè)具有多個(gè)主體的子句陵且，只有其中一個(gè)主體可以被執(zhí)行。 多子句的條件語句的一般格式如下所示个束。

if <if expression>:
    <if body>
elif <elif expression 0>:
    <elif body 0>
elif <elif expression 1>:
    <elif body 1>
...
else:
    <else body>

總是只有一個(gè)if子句滩报，但是可以有任意數(shù)量的elif子句。 Python 將依次求解頭部的if和elif表達(dá)式播急，直到找到一個(gè)真值脓钾，然后執(zhí)行相應(yīng)的主體。 else子句是可選的桩警。 當(dāng)提供else頭部時(shí)可训，只有在前面的子句的頭部表達(dá)式都不為真時(shí)才執(zhí)行else頭部。 else子句必須總是在最后（或根本沒有）捶枢。

示例："另一個(gè)"

現(xiàn)在我們將使用條件語句來定義一個(gè)看似相當(dāng)虛假和對立的函數(shù)握截，但是在本章后面的章節(jié)中會變得方便。 它需要一個(gè)數(shù)組烂叔，包含兩個(gè)元素（例如，red和blue）蒜鸡，以及另一個(gè)用于比較的元素胯努。 如果該元素為red，則該函數(shù)返回blue逢防。 如果元素是（例如）blue叶沛，則函數(shù)返回red。 這就是為什么我們要將函數(shù)稱為other_one忘朝。

def other_one(x, a_b):

    """Compare x with the two elements of a_b;
    if it is equal to one of them, return the other one;
    if it is not equal to either of them, return an error message.
    """
    if x == a_b.item(0):
        return a_b.item(1)

    elif x == a_b.item(1):
        return a_b.item(0)

    else:
        return 'The input is not valid.'
colors = make_array('red', 'blue')
other_one('red', colors)
'blue'
other_one('blue', colors)
'red'
other_one('potato', colors)
'The input is not valid.'

迭代

編程中經(jīng)常出現(xiàn)這樣的情況灰署，特別是在處理隨機(jī)性時(shí)，我們希望多次重復(fù)一個(gè)過程。 例如溉箕，要檢查np.random.choice是否實(shí)際上是隨機(jī)選取的晦墙，我們可能需要多次運(yùn)行下面的單元格，以查看Heads是否以大約 50% 的幾率出現(xiàn)肴茄。

np.random.choice(make_array('Heads', 'Tails'))
'Heads'

我們可能希望重新運(yùn)行代碼晌畅，帶有稍微不同的輸入或其他稍微不同的行為。 我們可以多次復(fù)制粘貼代碼独郎，但是這很枯燥踩麦，容易出現(xiàn)拼寫錯(cuò)誤，如果我們想要這樣做一千次或一百萬次氓癌，忘記它吧谓谦。

更自動化的解決方案是使用for語句遍歷序列的內(nèi)容。 這被稱為迭代贪婉。 for語句以單詞for開頭反粥，后面跟著一個(gè)名字，我們要把這個(gè)序列中的每個(gè)項(xiàng)目賦給它疲迂，后面跟著單詞in才顿，最后以一個(gè)表達(dá)式結(jié)束，它求值為一個(gè)序列尤蒿。 對于序列中的每個(gè)項(xiàng)目郑气，for語句的縮進(jìn)主體執(zhí)行一次。

for i in np.arange(3):
    print(i)
0
1
2

想象一下腰池，沒有for語句的情況下尾组，完全實(shí)現(xiàn)for語句功能的代碼，這樣很有幫助示弓。 （這被稱為循環(huán)展開讳侨。）for語句簡單地復(fù)制了內(nèi)部的代碼，但是在每次迭代之前奏属，它從給定的序列中將我們選擇的名稱賦為一個(gè)新的值跨跨。 例如，以下是上面循環(huán)的展開版本：

i = np.arange(3).item(0)
print(i)
i = np.arange(3).item(1)
print(i)
i = np.arange(3).item(2)
print(i)
0
1
2

譯者注：實(shí)際的實(shí)現(xiàn)方式不是這樣囱皿，但是效果一樣勇婴。這里不做深究。

請注意铆帽，我的名字是任意的咆耿，就像我們用=賦值的名字一樣。

在這里我們用一個(gè)更為現(xiàn)實(shí)的方式使用for語句：我們從數(shù)組中打印5個(gè)隨機(jī)選項(xiàng)爹橱。

coin = make_array('Heads', 'Tails')

for i in np.arange(5):
    print(np.random.choice(make_array('Heads', 'Tails')))
Heads
Heads
Tails
Heads
Heads

在這種情況下，我們只執(zhí)行了幾次完全相同的（隨機(jī)）操作，所以我們for語句中的代碼實(shí)際上并不涉及到i愧驱。

擴(kuò)展數(shù)組

雖然上面的for語句確實(shí)模擬了五次硬幣投擲的結(jié)果慰技，但結(jié)果只是簡單地打印出來，并不是我們可以用來計(jì)算的形式组砚。 因此吻商，for語句的典型用法是創(chuàng)建一個(gè)結(jié)果數(shù)組，每次都擴(kuò)展它糟红。

numpy中的append方法可以幫助我們實(shí)現(xiàn)它艾帐。 調(diào)用np.append(array_name，value)將求出一個(gè)新的數(shù)組盆偿，它是由value擴(kuò)展的array_name柒爸。在使用append時(shí)請記住，數(shù)組的所有條目必須具有相同的類型事扭。

pets = make_array('Cat', 'Dog')
np.append(pets, 'Another Pet')
array(['Cat', 'Dog', 'Another Pet'], 
      dtype='<U11')

這會使pets數(shù)組保持不變捎稚。

pets
array(['Cat', 'Dog'], 
      dtype='<U3')

但是在擴(kuò)展數(shù)組的時(shí)候，通常使用for循環(huán)來修改它很方便求橄。 這通過將擴(kuò)展后的數(shù)組賦給原始數(shù)組的相同名稱來實(shí)現(xiàn)今野。

pets = np.append(pets, 'Another Pet')
pets
array(['Cat', 'Dog', 'Another Pet'], 
      dtype='<U11')

示例：計(jì)算正面的數(shù)量

現(xiàn)在我們可以模擬一個(gè)硬幣的五次投擲，并把結(jié)果放入一個(gè)數(shù)組中罐农。 我們將從創(chuàng)建一個(gè)空數(shù)組開始条霜，然后附加每次投擲的結(jié)果。

coin = make_array('Heads', 'Tails')

tosses = make_array()

for i in np.arange(5):
    tosses = np.append(tosses, np.random.choice(coin))

tosses
array(['Tails', 'Heads', 'Tails', 'Heads', 'Tails'], 
      dtype='<U32')

讓我們將for語句展開涵亏，重寫單元格宰睡。

coin = make_array('Heads', 'Tails')

tosses = make_array()

i = np.arange(5).item(0)
tosses = np.append(tosses, np.random.choice(coin))
i = np.arange(5).item(1)
tosses = np.append(tosses, np.random.choice(coin))
i = np.arange(5).item(2)
tosses = np.append(tosses, np.random.choice(coin))
i = np.arange(5).item(3)
tosses = np.append(tosses, np.random.choice(coin))
i = np.arange(5).item(4)
tosses = np.append(tosses, np.random.choice(coin))

tosses
array(['Heads', 'Heads', 'Tails', 'Tails', 'Heads'], 
      dtype='<U32')

通過將結(jié)果捕獲到數(shù)組中，我們自己有能力使用數(shù)組方法進(jìn)行計(jì)算溯乒。 例如夹厌，我們可以使用np.count_nonzero來計(jì)算五次投擲中的正面數(shù)量。

np.count_nonzero(tosses == 'Heads')
2

迭代是一個(gè)強(qiáng)大的技術(shù)裆悄。 例如矛纹，通過為 1000 次投擲運(yùn)行完全相同的代碼，而不是5次光稼，我們可以計(jì)算1000次投擲的正面數(shù)量或南。

tosses = make_array()

for i in np.arange(1000):
    tosses = np.append(tosses, np.random.choice(coin))

np.count_nonzero(tosses == 'Heads')
481

示例：100 次投擲中的正面數(shù)量

預(yù)測 100 次硬幣投擲中有 50 個(gè)正面是很自然的，或多或少艾君。

但多少是“或多或少”呢采够？ 獲得正好 50 個(gè)正面的幾率是多少？ 像數(shù)據(jù)科學(xué)這樣的問題冰垄，不僅因?yàn)樗鼈兩婕半S機(jī)性的有趣方面蹬癌，而且因?yàn)樗鼈兛梢杂糜诜治鲈囼?yàn)，其中實(shí)驗(yàn)和控制組的分配由硬幣的投擲決定。

在這個(gè)例子中逝薪，我們將模擬以下實(shí)驗(yàn)的 10,000 次重復(fù)：

  • 擲硬幣 100 次隅要，記錄正面數(shù)量。

我們的結(jié)果的直方圖會讓我們了解有多少個(gè)正面董济。

作為一個(gè)預(yù)熱步清，請注意，np.random.choice接受可選的第二個(gè)參數(shù)來指定選擇的數(shù)量虏肾。 默認(rèn)情況下廓啊，選擇使用替換來進(jìn)行。 這里是一個(gè)硬幣 10 次投擲的模擬：

np.random.choice(coin, 10)
array(['Tails', 'Heads', 'Heads', 'Tails', 'Tails', 'Heads', 'Tails',
       'Tails', 'Heads', 'Tails'], 
      dtype='<U5')

現(xiàn)在我們來研究 100 次投擲封豪。 我們將首先創(chuàng)建一個(gè)名為heads的空數(shù)組谴轮。 然后，在每個(gè)一萬次重復(fù)中撑毛，我們會拋硬幣 100 次书聚，計(jì)算正面的數(shù)量，并將其附加到heads上藻雌。

N = 10000

heads = make_array()

for i in np.arange(N):
    tosses = np.random.choice(coin, 100)
    heads = np.append(heads, np.count_nonzero(tosses == 'Heads'))

heads
array([ 46.,  64.,  59., ...,  56.,  54.,  56.])

讓我們將結(jié)果收集到表格中雌续，并繪制直方圖：

results = Table().with_columns(
    'Repetition', np.arange(1, N+1),
    'Number of Heads', heads
)

results
Repetition Number of Heads
1 46
2 64
3 59
4 57
5 54
6 47
7 45
8 50
9 44
10 57

（省略了 9990 行）

這里是數(shù)據(jù)的直方圖，桶的寬度為 1胯杭，中心為每個(gè)正面數(shù)量的值驯杜。

results.select('Number of Heads').hist(bins=np.arange(30.5, 69.6, 1))

https://gitee.com/wizardforcel/data8-textbook-zh/raw/master/img/8-1.png

毫不奇怪，直方圖看起來大約關(guān)于 50 個(gè)正面左右對稱做个。 50 處的條形的高度大約是每單位 8%鸽心。 由于每個(gè)條形的寬度都是 1 個(gè)單位，這就是說居暖，8% 的重復(fù)正好產(chǎn)生了 50 個(gè)正面顽频。 這不是一個(gè)很大的百分比，但是與其他數(shù)量的正面相比太闺，這是最大的糯景。

直方圖還顯示，在幾乎所有的重復(fù)中省骂，100 次投擲的正面數(shù)量在 35 到 65 之間蟀淮。事實(shí)上，大部分的重復(fù)產(chǎn)生 45 到 55 個(gè)正面數(shù)量钞澳。

理論上怠惶，正面數(shù)量可能在 0 到 100 之間，但模擬顯示可能值的范圍要小得多轧粟。

這是一個(gè)更普遍現(xiàn)象的例子策治，關(guān)于擲硬幣中的變化脓魏，我們將在后面看到。

Monty Hall 問題

多年來這個(gè)問題已經(jīng)使許多人感到困惑览妖，包括數(shù)學(xué)家在內(nèi)轧拄。 讓我們看看我們是否可以解決揽祥。

這個(gè)設(shè)定來源于一個(gè)名為“讓我們做個(gè)交易”（Let's Make a Deal）的電視游戲節(jié)目讽膏。Monty Hall 在二十世紀(jì)六十年代主持了這個(gè)節(jié)目，從此產(chǎn)生了一些副產(chǎn)品拄丰。 這個(gè)節(jié)目令人興奮的一部分是府树，雖然參賽者有機(jī)會贏得大獎，但他們可能最終會選擇不那么理想的“zonks”料按。 這就是現(xiàn)在所謂的 Monty Hall 問題的基礎(chǔ)奄侠。

這個(gè)設(shè)定是一個(gè)游戲節(jié)目，參賽者面對三個(gè)閉著的門载矿。 在其中一扇門的后面是一輛奇特的汽車垄潮，另外兩扇門后面有一只山羊。 參賽者不知道汽車的位置闷盔，必須按照以下規(guī)則進(jìn)行嘗試弯洗。

  • 參賽者進(jìn)行初步選擇，但不打開那個(gè)門逢勾。
  • 其他兩個(gè)門中至少有一個(gè)門的后面必須有一只山羊牡整。Monty 打開這些門之一來展示山羊，維基百科中顯示了他所有的榮耀溺拱。

https://gitee.com/wizardforcel/data8-textbook-zh/raw/master/img/8-2.png

  • 還剩下兩個(gè)門逃贝，其中一個(gè)是參賽者的原始選擇。 其中一扇門后面有車迫摔，另一扇有一只山羊沐扳。 參賽者現(xiàn)在可以選擇打開兩扇門中的哪一扇。

參賽者需要作出決定句占。 如果她想要這輛車沪摄，她應(yīng)該選擇打開哪扇門？ 她應(yīng)該堅(jiān)持最初的選擇辖众，還是轉(zhuǎn)向另一個(gè)門卓起？ 這是 Monty Hall 問題。

解法

在涉及幾率的任何問題中凹炸，重要的隨機(jī)性的假設(shè)戏阅。 假設(shè)有三分之一的幾率，參賽者的最初選擇是后面有車的門啤它，這是合理的奕筐。

在這個(gè)假設(shè)下舱痘，解決這個(gè)問題的方法非常簡單，盡管簡單的解決方案并不能說服每個(gè)人离赫。 無論如何就是這樣芭逝。

  • 汽車在原來選擇的門后面的幾率是 1/3。
  • 汽車在原來選擇的門后面或者剩余的門后面渊胸。 它不能在其他地方旬盯。
  • 因此，汽車在剩余的門后的幾率是 2/3翎猛。
  • 因此胖翰，選手應(yīng)該更改選擇。
  • 就是這樣切厘，故事結(jié)束了萨咳。

不相信？ 那么讓我們模擬游戲疫稿，看看結(jié)果如何培他。

模擬

我們開始建立兩個(gè)實(shí)用的數(shù)組，doors和goats遗座，這會讓我們區(qū)分三個(gè)門和兩只山羊舀凛。

doors = make_array('Car', 'Goat 1', 'Goat 2')
goats = make_array('Goat 1', 'Goat 2')

現(xiàn)在我們定義一個(gè)函數(shù)monty_hall來模擬游戲，并按照這個(gè)順序返回含有三個(gè)字符串的數(shù)組：

  • 參賽選手的原始選擇的什么
  • Monty 排除了什么
  • 剩下的門是什么

如果選手的原始選擇是帶山羊的門员萍，蒙蒂必須扔掉另一只山羊腾降，剩下的就是這輛車。 如果最初的選擇是帶車的門碎绎，蒙蒂必須扔掉兩只山羊中的一只螃壤，剩下的就是另一只羊。

因此很顯然筋帖，在前一節(jié)中定義的函數(shù)將是有用的奸晴。 它需要一個(gè)字符串和一個(gè)兩個(gè)元素的數(shù)組; 如果字符串等于其中一個(gè)元素，則返回另一個(gè)元素日麸。

def other_one(x, a_b):
    if x == a_b.item(0):
        return a_b.item(1)
    elif x == a_b.item(1):
        return a_b.item(0)
    else:
        return 'Input Not Valid'

如果選手的原始選擇是山羊寄啼，游戲的結(jié)果是這二者之一：

original = 'Goat 1'
make_array(original, other_one(original, goats), 'Car')
array(['Goat 1', 'Goat 2', 'Car'], 
      dtype='<U6')
original = 'Goat 2'
make_array(original, other_one(original, goats), 'Car')
array(['Goat 2', 'Goat 1', 'Car'], 
      dtype='<U6')

現(xiàn)在我們可以把所有這些代碼放到monty_hall函數(shù)中，來模擬一次游戲的結(jié)果代箭。 該函數(shù)不帶任何參數(shù)墩划。

參賽者的原始選擇將是三門之中隨機(jī)選擇的門。

為了檢查原始選擇是否是山羊嗡综，我們首先寫一個(gè)名為is_goat的小函數(shù)：

def is_goat(door_name):

    """ Check whether the name of a door (a string) is a Goat.
    
    Examples:
    =========
    
    >>> is_goat('Goat 1')
    True
    >>> is_goat('Goat 2')
    True
    >>> is_goat('Car')
    False
    """
    if door_name == "Goat 1":
        return True
    elif door_name == "Goat 2":
        return True
    else:
        return False


def monty_hall():

    """ Play the Monty Hall game once
    and return an array of three strings:
    
    original choice, what Monty throws out, what remains
    """

    original = np.random.choice(doors)

    if is_goat(original):
        return make_array(original, other_one(original, goats), 'Car')

    else:
        throw_out = np.random.choice(goats)
        return make_array(original, throw_out, other_one(throw_out, goats))

讓我們玩幾次這個(gè)游戲乙帮。這里是一個(gè)結(jié)果。你應(yīng)該運(yùn)行幾次單元格來觀察結(jié)果如何變化极景。

monty_hall()
array(['Car', 'Goat 2', 'Goat 1'], 
      dtype='<U6')

為了衡量不同結(jié)果發(fā)生的頻率察净，我們必須玩多次游戲并收集結(jié)果驾茴。 為此，我們將使用for循環(huán)氢卡。

我們將首先定義三個(gè)空數(shù)組锈至，每個(gè)數(shù)組對應(yīng)原始選擇，Monty 排除了什么译秦，剩下的是什么峡捡。然后我們將玩這個(gè)游戲 N 次并收集結(jié)果。我們已經(jīng)將 N 設(shè)為 10,000诀浪，但是你可以改變它棋返。

# Number of times we'll play the game
N = 10000

original = make_array()     # original choice
throw_out = make_array()    # what Monty throws out
remains = make_array()      # what remains

for i in np.arange(N): 
    result = monty_hall()    # the result of one game

    # Collect the results in the appropriate arrays
    original = np.append(original, result.item(0))
    throw_out = np.append(throw_out, result.item(1))
    remains = np.append(remains, result.item(2))

# The for-loop is done! Now put all the arrays together in a table.
results = Table().with_columns(
    'Original Door Choice', original,
    'Monty Throws Out', throw_out,
    'Remaining Door', remains
)
results
Original Door Choice Monty Throws Out Remaining Door
Car Goat 1 Goat 2
Goat 1 Goat 2 Car
Goat 2 Goat 1 Car
Car Goat 2 Goat 1
Car Goat 2 Goat 1
Goat 1 Goat 2 Car
Goat 1 Goat 2 Car
Goat 1 Goat 2 Car
Goat 2 Goat 1 Car
Goat 1 Goat 2 Car

（省略了 9990 行）

為了看看選手是否應(yīng)該堅(jiān)持原來的選擇或更改，讓我們看看她的兩個(gè)選項(xiàng)后面的車的頻率雷猪。

results.group('Original Door Choice')
Original Door Choice count
Car 3312
Goat 1 3382
Goat 2 3306 
results.group('Remaining Door')
Remaining Door count
Car 6688
Goat 1 1640
Goat 2 1672

我們的解決方案說明了，這輛車有三分之二的幾率在剩下的門后面晰房，這是相當(dāng)不錯(cuò)的近似值求摇。 如果參賽者更改了她的選擇，她有兩倍的可能性會得到車殊者。

為了使結(jié)果可視化与境，我們可以將上面的兩個(gè)表格連接在一起并繪制疊加的條形圖。

results_o = results.group('Original Door Choice')
results_r = results.group('Remaining Door')
joined = results_o.join('Original Door Choice', results_r, 'Remaining Door')
combined = joined.relabeled(0, 'Item').relabeled(1, 'Original Door').relabeled(2, 'Remaining Door')
combined
Item Original Door Remaining Door
Car 3312 6688
Goat 1 3382 1640
Goat 2 3306 1672 
combined.barh(0)

https://gitee.com/wizardforcel/data8-textbook-zh/raw/master/img/8-3.png

注意三條藍(lán)色條形幾乎相等 - 原始選擇有同等可能是三個(gè)可用條目中的任何一條猖吴。 但是摔刁，汽車對應(yīng)的金色條形是藍(lán)色條形的兩倍。

模擬證實(shí)了海蔽，如果參賽者改變選擇共屈，她有兩倍的可能性獲勝。

發(fā)現(xiàn)概率

幾個(gè)世紀(jì)以來党窜，對于什么是概率存在哲學(xué)爭論拗引。有些人認(rèn)為概率是相對頻率；其他人認(rèn)為他們是長期的相對頻率較長幌衣；還有一些人認(rèn)為概率是個(gè)人不確定性程度的主觀測量矾削。

在這個(gè)課程中，大多數(shù)概率將是相對頻率豁护，盡管許多人會有主觀的解釋哼凯。無論如何，在不同的解釋中楚里，概率計(jì)算和組合的方式是一致的断部。

按照慣例，概率是介于 0 和 1 之間的數(shù)字腻豌，或者 0% 和 100% 之間家坎。不可能的事件概率為 0嘱能。確定的事件概率為 1。

數(shù)學(xué)是準(zhǔn)確發(fā)現(xiàn)概率的主要工具虱疏，盡管計(jì)算機(jī)也可用于此目的惹骂。模擬可以提供出色的近似，具有很高的概率做瞪。在本節(jié)中对粪，我們將以非正式方式制定一些簡單的規(guī)則來管理概率的計(jì)算。在隨后的章節(jié)中装蓬，我們將回到模擬來近似復(fù)雜事件的概率著拭。

我們將使用標(biāo)準(zhǔn)符號 https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Cmbox%7Bevent%7D%29 來表示“事件”發(fā)生的概率，我們將交替使用“幾率”和“概率”兩個(gè)字牍帚。

事件不會發(fā)生的時(shí)候

如果事件發(fā)生的概率是 40%儡遮，不發(fā)生的幾率就是 60%。這個(gè)自然的計(jì)算可以這樣秒速：

https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Cmbox%7Ban%20event%20doesn%27t%20happen%7D%29%20%7E%3D%7E%201%20-%20P%28%5Cmbox%7Bthe%20event%20happens%7D%29

所有結(jié)果等可能的時(shí)候

如果你投擲一個(gè)普通的骰子暗赶，一個(gè)自然的假設(shè)是鄙币，所有六個(gè)面都是等可能的。 那么一個(gè)面出現(xiàn)的概率可以很容易地計(jì)算出來蹂随。 例如十嘿，骰子顯示偶數(shù)的幾率是：

https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cmbox%7Bnumber%20of%20even%20faces%7D%7D%7B%5Cmbox%7Bnumber%20of%20all%20faces%7D%7D%20%7E%3D%7E%20%5Cfrac%7B%5C%23%5C%7B2%2C%204%2C%206%5C%7D%7D%7B%5C%23%5C%7B1%2C%202%2C%203%2C%204%2C%205%2C%206%5C%7D%7D%20%7E%3D%7E%20%5Cfrac%7B3%7D%7B6%7D

與之相似：

https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Cmbox%7Bdie%20shows%20a%20multiple%20of%203%7D%29%20%7E%3D%7E%20%5Cfrac%7B%5C%23%5C%7B3%2C%206%5C%7D%7D%7B%5C%23%5C%7B1%2C%202%2C%203%2C%204%2C%205%2C%206%5C%7D%7D%20%7E%3D%7E%20%5Cfrac%7B2%7D%7B6%7D

通常：

https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Cmbox%7Ban%20event%20happens%7D%29%20%7E%3D%7E%20%5Cfrac%7B%5C%23%5C%7B%5Cmbox%7Boutcomes%20that%20make%20the%20event%20happen%7D%5C%7D%7D%20%7B%5C%23%5C%7B%5Cmbox%7Ball%20outcomes%7D%5C%7D%7D

前提是所有的結(jié)果都是等可能的。

并非所有的隨機(jī)現(xiàn)象都像骰子一樣簡單岳锁。 下面的兩個(gè)主要的概率規(guī)則甚至允許數(shù)學(xué)家在復(fù)雜的情況下找到概率绩衷。

兩個(gè)事件必須同時(shí)發(fā)生時(shí)

假設(shè)你有一個(gè)盒子，包含三張紙條：一張紅色激率，一張藍(lán)色和一張綠色咳燕。 假設(shè)你隨機(jī)抽兩張紙條而不放回；也就是你把三張紙條打亂柱搜，抽一張迟郎，打亂其余兩張，再從這兩張中抽出一張聪蘸。 你先得到綠色紙條宪肖，然后是紅色紙條的幾率是多少？

有六種可能的顏色對：RB健爬，BR控乾，RG，GR娜遵，BG蜕衡，GB（我們已經(jīng)縮寫了每種顏色的名字，就是它的第一個(gè)字母）设拟。 所有這些都是抽樣方案是等可能的慨仿，只有其中一個(gè)（GR）使事件發(fā)生帘撰。所以：

https://www.zhihu.com/equation?tex=%24%24%20P%28%5Cmbox%7Bgreen%20first%2C%20then%20red%7D%29%20%7E%3D%7E%20%5Cfrac%7B%5C%23%5C%7B%5Cmbox%7BGR%7D%5C%7D%7D%7B%5C%23%5C%7B%5Cmbox%7BRB%2C%20BR%2C%20RG%2C%20GR%2C%20BG%2C%20GB%7D%5C%7D%7D%20%7E%3D%7E%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D

但是還有另外一種方法來得到答案减余，可以用兩個(gè)階段來思考這個(gè)事件。 必須首先抽取綠色紙條抓于。幾率是 1/3闯估，也就是說在所有實(shí)驗(yàn)的大約 1/3 的重復(fù)中创橄，先抽取了綠色紙條卒茬，但事件還沒完成。在這 1/3 的重復(fù)中咖熟，必須再次抽取紅色紙條圃酵。這個(gè)發(fā)生在大約 1/2 的重復(fù)中，所以：

https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Cmbox%7Bgreen%20first%2C%20then%20red%7D%29%20%7E%3D%7E%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%7E%5Cmbox%7Bof%7D%7E%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%7E%3D%7E%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D

這個(gè)計(jì)算通常按照事件順序馍管，像這樣：

https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Cmbox%7Bgreen%20first%2C%20then%20red%7D%29%20%7E%3D%7E%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%7E%5Ctimes%7E%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%7E%3D%7E%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D

因數(shù) 1/2 叫做“假設(shè)第一次出現(xiàn)了綠色紙條郭赐，第二次出現(xiàn)紅色紙條的條件幾率”。

通常确沸，我們擁有乘法規(guī)則：

https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Cmbox%7Btwo%20events%20both%20happen%7D%29%20%7E%3D%7E%20P%28%5Cmbox%7Bone%20event%20happens%7D%29%20%5Ctimes%20P%28%5Cmbox%7Bthe%20other%20event%20happens%2C%20given%20that%20the%20first%20one%20happened%7D%29

兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率捌锭，等于第一個(gè)事件發(fā)生的概率，乘上第一個(gè)事件發(fā)生的情況下第二個(gè)事件發(fā)生的概率罗捎。

因此观谦，這里有兩個(gè)條件 - 一個(gè)事件必須發(fā)生，另一個(gè)也是 - 幾率是分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)桨菜，這比兩個(gè)因數(shù)的任何一個(gè)都要小豁状。 滿足的條件越多，滿足的可能性就越小倒得。

事件以兩種不同的方式發(fā)生

相反泻红，假設(shè)我們希望兩張紙條中的一張是綠色的，另一張是紅色的。 此事件不指定顏色必須出現(xiàn)的順序。所以他們可以以任何順序出現(xiàn)虐唠。

解決這樣的問題的一個(gè)好方法就是對事件進(jìn)行劃分晤锥，以便它正好能夠以幾種不同的方式之一發(fā)生。 “一綠一紅”的自然劃分是：GR，RG。

根據(jù)上面的計(jì)算，GR 和 RG 每個(gè)的幾率都是 1/6剩彬。所以你可以通過把它們相加來計(jì)算一綠一紅的概率。

https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Cmbox%7Bone%20green%20and%20one%20red%7D%29%20%7E%3D%7E%20P%28%5Cmbox%7BGR%7D%29%20&plus;%20P%28%5Cmbox%7BRG%7D%29%20%7E%3D%7E%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%20&plus;%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%20%7E%3D%7E%20%5Cfrac%7B2%7D%7B6%7D

通常矿卑，我們擁有加法規(guī)則：

https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Cmbox%7Ban%20event%20happens%7D%29%20%7E%3D%7E%20P%28%5Cmbox%7Bfirst%20way%20it%20can%20happen%7D%29%20&plus;%20P%28%5Cmbox%7Bsecond%20way%20it%20can%20happen%7D%29%20%7E%7E%7E%20%5Cmbox%7B%7D

事件發(fā)生的概率喉恋，等于以第一種方式發(fā)生的概率，加上以第二種方式發(fā)生的概率。

只要事件正好以兩種方式之一發(fā)生轻黑。

因此糊肤，當(dāng)事件以兩種不同的方式之一發(fā)生時(shí)，發(fā)生的幾率是一些幾率的總和氓鄙，因此比任何一種方式的幾率都大馆揉。

乘法規(guī)則可以自然擴(kuò)展到兩個(gè)以上的事件，我們將在下面看到抖拦。 所以這個(gè)加法規(guī)則也有自然的擴(kuò)展升酣，事件可以以幾種不同的方式之一發(fā)生。

我們將所有這些規(guī)則組合成示例态罪，并用示例來結(jié)束該部分噩茄。

至少有一個(gè)成功

數(shù)據(jù)科學(xué)家經(jīng)常使用來自總體的隨機(jī)樣本。 有時(shí)候問題就來了复颈，就是總體中的一個(gè)特定個(gè)體選進(jìn)樣本的可能性绩聘。為了找出幾率，這個(gè)個(gè)體被稱為“成功”耗啦，問題是要找到樣本包含成功的幾率凿菩。

要看看如何計(jì)算這樣的幾率，我們從一個(gè)更簡單的設(shè)定開始：投擲硬幣兩次帜讲。

如果你投擲硬幣兩次衅谷，有四個(gè)等可能的結(jié)果：HH，HT似将，TH 和 TT会喝。 我們把正面縮寫為 H ，反面縮寫為 T玩郊。至少有一個(gè)正面的幾率是 3/4。

得出這個(gè)答案的另一種方法是枉阵，弄清楚如果你不能得到至少一個(gè)正面译红，會發(fā)生什么事情：這兩次投擲都必須是反面。所以：

https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Cmbox%7Bat%20least%20one%20head%20in%20two%20tosses%7D%29%20%7E%3D%7E%201%20-%20P%28%5Cmbox%7Bboth%20tails%7D%29%20%7E%3D%7E%201%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20%7E%3D%7E%20%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D

要注意根據(jù)乘法規(guī)則：

https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Cmbox%7Bboth%20tails%7D%29%20%7E%3D%7E%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20%7E%3D%7E%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%7E%3D%7E%20%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright%29%5E2

這兩個(gè)觀察使我們能夠在任何給定數(shù)量的投擲中找到至少一個(gè)正面的幾率兴溜。 例如：

https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Cmbox%7Bat%20least%20one%20head%20in%2017%20tosses%7D%29%20%7E%3D%7E%201%20-%20P%28%5Cmbox%7Ball%2017%20are%20tails%7D%29%20%7E%3D%7E%201%20-%20%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright%29%5E%7B17%7D

而現(xiàn)在我們有能力找到在骰子的投擲中侦厚，六點(diǎn)至少出現(xiàn)一次的幾率：

https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Cmbox%7Ba%20single%20roll%20is%20not%206%7D%29%20%7E%3D%7E%20P%281%29%20&plus;%20P%282%29%20&plus;%20P%283%29%20&plus;%20P%284%29%20&plus;%20P%285%29%20%7E%3D%7E%20%5Cfrac%7B5%7D%7B6%7D

https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Cmbox%7Bat%20least%20one%206%20in%20two%20rolls%7D%29%20%7E%3D%7E%201%20-%20P%28%5Cmbox%7Bboth%20rolls%20are%20not%206%7D%29%20%7E%3D%7E%201%20-%20%5Cleft%28%5Cfrac%7B5%7D%7B6%7D%5Cright%29%5E2%20%24%24%20and%20%24%24%20P%28%5Cmbox%7Bat%20least%20one%206%20in%2017%20rolls%7D%29%20%7E%3D%7E%201%20-%20%5Cleft%28%5Cfrac%7B5%7D%7B6%7D%5Cright%29%5E%7B17%7D

下表展示了，這些概率隨著投擲數(shù)量從 1 增加到 50 而增加拙徽。

rolls = np.arange(1, 51, 1)
results = Table().with_columns(
    'Rolls', rolls,
    'Chance of at least one 6', 1 - (5/6)**rolls
)
results
Rolls Chance of at least one 6
1 0.166667
2 0.305556
3 0.421296
4 0.517747
5 0.598122
6 0.665102
7 0.720918
8 0.767432
9 0.806193
10 0.838494

（省略了 40 行）

隨著投擲數(shù)量的增加刨沦，六點(diǎn)至少出現(xiàn)一次的幾率迅速增加。

results.scatter('Rolls')

https://gitee.com/wizardforcel/data8-textbook-zh/raw/master/img/8-4.png

在 50 次投擲中膘怕，你幾乎肯定能得到至少一個(gè)六想诅。

results.where('Rolls', are.equal_to(50))
Rolls Chance of at least one 6
50 0.99989

像這樣的計(jì)算可以用來找到，隨機(jī)樣本中選擇特定個(gè)體的幾率。 準(zhǔn)確的計(jì)算將取決于抽樣方案来破。 但是我們上面的觀察的通忱鹤疲可以被推廣：增加隨機(jī)樣本的大小增加了選擇個(gè)體的幾率。

抽樣

現(xiàn)在我們來仔細(xì)看看抽樣徘禁，例子基于top_movies.csv數(shù)據(jù)集诅诱。

top1 = Table.read_table('top_movies.csv')
top2 = top1.with_column('Row Index', np.arange(top1.num_rows))
top = top2.move_to_start('Row Index')

top.set_format(make_array(3, 4), NumberFormatter)
Row Index Title Studio Gross Gross (Adjusted) Year
0 Star Wars: The Force Awakens Buena Vista (Disney) 906,723,418 906,723,400 2015
1 Avatar Fox 760,507,625 846,120,800 2009
2 Titanic Paramount 658,672,302 1,178,627,900 1997
3 Jurassic World Universal 652,270,625 687,728,000 2015
4 Marvel's The Avengers Buena Vista (Disney) 623,357,910 668,866,600 2012
5 The Dark Knight Warner Bros. 534,858,444 647,761,600 2008
6 Star Wars: Episode I - The Phantom Menace Fox 474,544,677 785,715,000 1999
7 Star Wars Fox 460,998,007 1,549,640,500 1977
8 Avengers: Age of Ultron Buena Vista (Disney) 459,005,868 465,684,200 2015
9 The Dark Knight Rises Warner Bros. 448,139,099 500,961,700 2012

（省略了 190 行）

對表格的行進(jìn)行抽樣

數(shù)據(jù)表的每一行代表一個(gè)個(gè)體；最重要的是送朱，每個(gè)個(gè)體都是一部電影娘荡。 因此可以通過表格的行的抽樣來實(shí)現(xiàn)對個(gè)體的抽樣。

一行的內(nèi)容是在同一個(gè)個(gè)體上測量的不同變量的值驶沼。 因此炮沐，行的內(nèi)容的抽樣形成了每個(gè)變量值的樣本。

確定性樣本

當(dāng)你只是簡單地指定商乎，你要選擇的集合中的哪些元素時(shí)央拖，就不會涉及任何幾率，可以創(chuàng)建確定性樣本鹉戚。

你已經(jīng)做了很多次了鲜戒，例如使用take：

top.take(make_array(3, 18, 100))
Row Index Title Studio Gross Gross (Adjusted) Year
3 Jurassic World Universal 652,270,625 687,728,000 2015
18 Spider-Man Sony 403,706,375 604,517,300 2002
100 Gone with the Wind MGM 198,676,459 1,757,788,200 1939

你也使用了where：

top.where('Title', are.containing('Harry Potter'))
Row Index Title Studio Gross Gross (Adjusted) Year
22 Harry Potter and the Deathly Hallows Part 2 Warner Bros. 381,011,219 417,512,200 2011
43 Harry Potter and the Sorcerer's Stone Warner Bros. 317,575,550 486,442,900 2001
54 Harry Potter and the Half-Blood Prince Warner Bros. 301,959,197 352,098,800 2009
59 Harry Potter and the Order of the Phoenix Warner Bros. 292,004,738 369,250,200 2007
62 Harry Potter and the Goblet of Fire Warner Bros. 290,013,036 393,024,800 2005
69 Harry Potter and the Chamber of Secrets Warner Bros. 261,988,482 390,768,100 2002
76 Harry Potter and the Prisoner of Azkaban Warner Bros. 249,541,069 349,598,600 2004

雖然這些是電影的樣本，它們并不涉及幾率抹凳。

概率抽樣

很多數(shù)據(jù)科學(xué)都根據(jù)隨機(jī)樣本中的數(shù)據(jù)得到結(jié)論遏餐。 根據(jù)隨機(jī)樣本的正確解釋分析，需要數(shù)據(jù)科學(xué)家準(zhǔn)確地檢查隨機(jī)樣本赢底。

總體是從中抽取樣本的所有元素的集合失都。

概率樣本是一種樣本，在抽取樣本之前幸冻，可以計(jì)算出的元素的任何子集將進(jìn)入樣本的幾率粹庞。

在概率樣本中，所有的元素不需要有相同的選中幾率洽损。

隨機(jī)抽樣方案

例如庞溜，假設(shè)根據(jù)以下方案，從三個(gè)個(gè)體 A碑定，B 和 C 組成的總體中選擇兩個(gè)個(gè)體：

  • 個(gè)體 A 選中概率為 1流码。
  • 個(gè)體 B 或 C 根據(jù)擲硬幣來選擇：如果硬幣為正面，選擇 B延刘，否則漫试，選擇 C。

這是一個(gè)大小為 2 的概率樣本碘赖。下面是所有非空子集的選中幾率：

A: 1 
B: 1/2
C: 1/2
AB: 1/2
AC: 1/2
BC: 0
ABC: 0

個(gè)體 A 比 B 或 C 有更高的選中幾率驾荣；的確外构，個(gè)體 A 肯定會被選中。由于這些差異是已知的和量化的秘车，所以在處理樣本時(shí)可以考慮這些差異典勇。

系統(tǒng)樣本

想象一下，總體的所有元素都列出在序列中叮趴。 抽樣的一種方法是割笙，先從列表中選擇一個(gè)隨機(jī)的位置，然后是它后面的等間隔的位置眯亦。樣本由這些位置上的元素組成伤溉。這樣的樣本被稱為系統(tǒng)樣本。

在這里妻率，我們將選擇頂部一些行的系統(tǒng)樣本乱顾。我們最開始隨機(jī)選取前 10 行中的一行，然后我們將選取它后面的每個(gè)第 10 行宫静。

"""Choose a random start among rows 0 through 9;
then take every 10th row."""

start = np.random.choice(np.arange(10))
top.take(np.arange(start, top.num_rows, 10))
Row Index Title Studio Gross Gross (Adjusted) Year
6 Star Wars: Episode I - The Phantom Menace Fox 474,544,677 785,715,000 1999
16 Iron Man 3 Buena Vista (Disney) 409,013,994 424,632,700 2013
26 Spider-Man 2 Sony 373,585,825 523,381,100 2004
36 Minions Universal 336,045,770 354,213,900 2015
46 Iron Man 2 Paramount 312,433,331 341,908,200 2010
56 The Twilight Saga: New Moon Sum. 296,623,634 338,517,700 2009
66 Meet the Fockers Universal 279,261,160 384,305,300 2004
76 Harry Potter and the Prisoner of Azkaban Warner Bros. 249,541,069 349,598,600 2004
86 The Exorcist Warner Bros. 232,906,145 962,212,800 1973
96 Back to the Future Universal 210,609,762 513,740,700 1985

（省略了 10 行）

運(yùn)行單元個(gè)幾次走净，看看輸出如何變化。

這個(gè)系統(tǒng)樣本是一個(gè)概率樣本孤里。 在這個(gè)方案中伏伯，所有的行都有機(jī)會被選中。 例如捌袜，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?3 行被選中時(shí)说搅，第 23 行才被選中，并且其幾率是 1/10虏等。

但并不是所有的子集都有相同的選中幾率弄唧。 由于選中的行是等間隔的，大多數(shù)行的子集都沒有機(jī)會被選中霍衫。 唯一可能的子集是由所有間隔為 10 的行構(gòu)成的子集候引。任何這些子集都以 1/10 的幾率被選中。 其他子集敦跌，如包含表格前 11 行的子集背伴，選中幾率都是 0。

放回或不放回的隨機(jī)抽樣

在這個(gè)課程中峰髓，我們將主要處理兩個(gè)最直接的抽樣方法。

首先是帶放回的隨機(jī)抽樣息尺，它（如我們前面所見）是np.random.choice從數(shù)組中抽樣時(shí)的默認(rèn)行為携兵。

另一個(gè)稱為“簡單隨機(jī)樣本”，是隨機(jī)抽取的樣本搂誉，不帶放回徐紧。在下一個(gè)個(gè)體被抽中之前，抽中的個(gè)體不會放回總體。例如并级，當(dāng)你發(fā)牌時(shí)拂檩，就會發(fā)生這種抽樣。

在下一章中嘲碧，我們將使用模擬來研究帶放回和不放回的大樣本隨機(jī)抽取稻励。

繪制隨機(jī)樣本需要謹(jǐn)慎和精確。這不是隨便的愈涩，即使這是“隨機(jī)”一詞的口語意義望抽。如果你站在街頭，選取前十名經(jīng)過的人作為樣本履婉，你可能會認(rèn)為你在隨機(jī)抽樣煤篙，因?yàn)槟銢]有選擇誰走過。但它不是一個(gè)隨機(jī)樣本 - 這是一個(gè)方便的例子毁腿。你沒有提前知道每個(gè)人進(jìn)入樣本的概率辑奈，也許甚至你沒有具體指定誰在總體中。

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