矩陣代數(shù)（二）- 矩陣的逆

小結(jié)

矩陣的逆 $\boldsymbol{A}^{-1}$
求 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的方法

矩陣的逆

一個 $n \times n$ 矩陣 $\boldsymbol{A}$ 使可逆的，若存在一個 $n \times n$ 矩陣 $\boldsymbol{C}$ 使 $\boldsymbol{C}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{I}$ 且 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}=\boldsymbol{I}$ 饮戳。其中豪治， $\boldsymbol{I}=\boldsymbol{I}_n$ 使 $n \times n$ 單位矩陣。這時稱 $\boldsymbol{C}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的逆扯罐。實際上负拟， $\boldsymbol{C}$ 由 $\boldsymbol{A}$ 唯一確定，因為若 $\boldsymbol{B}$ 使另一個 $\boldsymbol{A}$ 的逆歹河，那么將有 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{BI}=\boldsymbol{B}(\boldsymbol{AC})=(\boldsymbol{BA})C=\boldsymbol{IC}=\boldsymbol{C}$ 掩浙。于是，若 $\boldsymbol{A}$ 可逆秸歧，它的逆是唯一的厨姚，我們將它即為 $\boldsymbol{A}^{-1}$ ，于是 $\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{I}$ 键菱。
不可逆矩陣有時稱為奇異矩陣谬墙，二可逆矩陣也稱為非奇異矩陣。

定理4 $\;$ 設 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}$ 。若 $ad-bc \neq 0$ 拭抬，則 $\boldsymbol{A}$ 可逆且 $\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}$ 部默；若 $ad-bc = 0$ ，則 $\boldsymbol{A}$ 不可逆造虎。
證明：設 $\boldsymbol{A}^{-1}=\begin{bmatrix}x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4\end{bmatrix}$ 傅蹂，則有 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{-1}=\begin{bmatrix}ax_1+bx_3 & ax_2+bx_4 \\ cx_1+dx_3 & cx_2+dx_4\end{bmatrix}=\boldsymbol{I}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ ，即有 $\begin{cases}ax_1 + bx_3 = 1\\ ax_2 + bx_4 = 0\\ cx_1 + dx_3 = 0 \\ cx_2 + dx_4 = 1\end{cases}$ 算凿，對應的增廣矩陣為 $\begin{bmatrix}a & 0 & b & 0 & 1\\ 0 & a & 0 & b & 0 \\ c & 0 & d & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 & d & 1 \end{bmatrix}$
對增廣矩陣進行行化簡份蝴，得：
$\begin{bmatrix}a & 0 & b & 0 & 1\\ 0 & a & 0 & b & 0 \\ c & 0 & d & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 & d & 1 \end{bmatrix}$ ～ $\begin{bmatrix}ac & 0 & bc & 0 & c\\ 0 & ac & 0 & bc & 0 \\ 0 & 0 & ad - bc & 0 & -c \\ 0 & 0 & 0 & ad - bc & a\end{bmatrix}$
若 $ad-bc = 0$ ，則 $a=0,c=0$ 氓轰。 $\boldsymbol{A}$ 的第一列為零向量搞乏，任何矩陣 $\boldsymbol{B}$ 乘 $\boldsymbol{A}$ 的第一列（零向量）得到的第一列都是零向量。故若 $\boldsymbol{A}$ 可逆戒努， $ad-bc \neq 0$ 请敦。
若 $ad-bc \neq 0$ ，繼續(xù)行化簡增廣矩陣為： $\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & \fraccc2qyi9{ad-bc}\\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{-b}{ad-bc} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{-c}{ad-bc} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{a}{ad-bc}\end{bmatrix}$ 储玫。其通解為： $\begin{cases} x_1=\fracj520pg9{ad-bc} \\ x_2 = \frac{-c}{ad-bc} \\ x_3 = \frac{-c}{ad-bc} \\ x_4 = \frac{a}{ad-bc}\end{cases}$ 侍筛，即 $\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}$ 。
數(shù) $ad-bc$ 稱為 $\boldsymbol{A}$ 的行列式撒穷，即為 $det \boldsymbol{A}=ad-bc$ 匣椰。

求 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}3 & 4 \\ 5 & 6\end{bmatrix}$ 的逆。
解：因為 $det \boldsymbol{A}=3 \times 6 - 4 \times 5=-2 \neq 0$ 端礼，所有 $\boldsymbol{A}$ 可逆且 $\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{bmatrix}6 & -4 \\ -5 & 3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3 & 2 \\ \frac{5}{2} & -\frac{3}{2}\end{bmatrix}$

定理5 $\;$ 若 $\boldsymbol{A}$ 是可逆 $n \times n$ 矩陣禽笑，則對每一 $\mathbb{R}^{n}$ 中的 $\boldsymbol$ 蛤奥，方程 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol佳镜$ 有唯一解 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol$ 凡桥。

定理6
$a.\;$ 若 $\boldsymbol{A}$ 是可逆矩陣蟀伸，則 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 也可逆而且 $(\boldsymbol{A}^{-1})^{-1}=\boldsymbol{A}$ 。
$b.\;$ 若 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 都是 $n \times n$ 可逆矩陣缅刽，則 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 也可逆啊掏，且其逆是 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 的逆矩陣按相反順序的乘積，即 $(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})^{-1}=\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{A}^{-1}$ 衰猛。
$c.\;$ 若 $\boldsymbol{A}$ 可逆迟蜜，則 $\boldsymbol{A}^{T}$ 也可逆，且其逆是 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的轉(zhuǎn)置啡省，即 $(\boldsymbol{A}^{T})^{-1}=(\boldsymbol{A}^{-1})^{T}$ 娜睛。

推廣
若干個 $n \times n$ 可逆矩陣的積也是可逆的髓霞，其逆等于這些矩陣的逆按相反順序的乘積。

** 初等矩陣**
把單位矩陣進行一次初等行變換微姊，就得到初等矩陣酸茴。
設 $\boldsymbol{E}_1=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -4 & 0 & 1\end{bmatrix}, \boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$ 分预，計算 $\boldsymbol{E}_1\boldsymbol{A}$ 兢交。
解： $\begin{aligned}\boldsymbol{E}_1\boldsymbol{A} &=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -4 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ -4a+g & -4b +h & -4c +i \end{bmatrix}\end{aligned}$
若我們把 $\boldsymbol{I}_3$ 的第1行的 $-4$ 倍加到第3行，可得 $\boldsymbol{E}_1$
若我們把 $\boldsymbol{A}$ 的第1行的 $-4$ 倍加到第3行也可得 $\boldsymbol{E}_1\boldsymbol{A}$
若對 $m \times n$ 矩陣 $\boldsymbol{A}$ 進行某種初等行變換笼痹，所得矩陣可寫成 $\boldsymbol{E}\boldsymbol{A}$ 配喳，其中 $E$ 是 $m \times m$ 矩陣，是由 $\boldsymbol{I}_m$ 進行同一行變換所得凳干。

因為行變換是可逆的晴裹，故初等矩陣也是可逆的。若 $\boldsymbol{E}$ 是由 $\boldsymbol{I}$ 進行行變換所得救赐，則有同一類型的另一行變換把 $\boldsymbol{E}$ 變回 $\boldsymbol{I}$ 涧团。因此，有初等矩陣 $\boldsymbol{F}$ 使 $\boldsymbol{FE}=\boldsymbol{I}$ 经磅。
每個初等矩陣 $\boldsymbol{E}$ 是可逆的泌绣， $\boldsymbol{F}$ 的逆是一個同類型的初等矩陣，它把 $\boldsymbol{F}$ 變回 $\boldsymbol{I}$
求 $\boldsymbol{E}_1=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -4 & 0 & 1\end{bmatrix}$ 的逆预厌。
解：為把 $\boldsymbol{E}_1$ 變成 $\boldsymbol{I}$ 阿迈，需把第1行的4倍加到第3行。所以 $(\boldsymbol{E}_1)^{-1}$ 的逆就等于 $\boldsymbol{I}$ 的第1行加到第3行轧叽，即 $(\boldsymbol{E}_1)^{-1}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 1\end{bmatrix}$

定理7 $\;n \times n$ 矩陣 $\boldsymbol{A}$ 是可逆的苗沧，當且僅當 $\boldsymbol{A}$ 行等價于 $\boldsymbol{I}_n$ ，這時炭晒，把 $\boldsymbol{A}$ 化簡為 $\boldsymbol{I}_n$ 的一系列初等行變換同時把 $\boldsymbol{I}_n$ 變成 $\boldsymbol{A}^{-1}$

求 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的算法

把增廣矩陣 $\begin{bmatrix}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{I}\end{bmatrix}$ 進行行化簡待逞，若 $\boldsymbol{A}$ 行等價于 $\boldsymbol{I}$ ，則 $\begin{bmatrix}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{I}\end{bmatrix}$ 行等價于 $\begin{bmatrix}\boldsymbol{I} & \boldsymbol{A}^{-1}\end{bmatrix}$ 网严，否則 $\boldsymbol{A}$ 不可逆飒焦。
求矩陣 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 3\\ 4 & -3 & 8\end{bmatrix}$ 的逆，若存在屿笼。
解： $\begin{bmatrix}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{I}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0\\ 4 & -3 & 8 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & -3 & 8 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ ～
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & -4 & 0 & -4 & 1 \end{bmatrix}$ ～
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 3 & -4 & 1 \end{bmatrix}$ ～
$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -\frac{9}{2} & 7 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -2 & -4 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{2} & -2 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$
因為 $\boldsymbol{A}$ ～ $\boldsymbol{I}$ 牺荠，由定理7知 $\boldsymbol{A}$ 可逆，且 $\boldsymbol{A}^{-1}=\begin{bmatrix}-\frac{9}{2} & 7 & -\frac{3}{2} \\ -2 & -4 & -1 \\ \frac{3}{2} & -2 & \frac{1}{2}\end{bmatrix}$

?著作權(quán)歸作者所有,轉(zhuǎn)載或內(nèi)容合作請聯(lián)系作者

人面猴
序言：七十年代末驴一，一起剝皮案震驚了整個濱河市休雌，隨后出現(xiàn)的幾起案子，更是在濱河造成了極大的恐慌肝断，老刑警劉巖杈曲，帶你破解...
沈念sama閱讀 206,378評論 6贊 481
死咒
序言：濱河連續(xù)發(fā)生了三起死亡事件驰凛，死亡現(xiàn)場離奇詭異，居然都是意外死亡担扑，警方通過查閱死者的電腦和手機恰响，發(fā)現(xiàn)死者居然都...
沈念sama閱讀 88,356評論 2贊 382
救了他兩次的神仙讓他今天三更去死
文/潘曉璐我一進店門，熙熙樓的掌柜王于貴愁眉苦臉地迎上來涌献，“玉大人胚宦，你說我怎么就攤上這事⊙嗬” “怎么了枢劝？”我有些...
開封第一講書人閱讀 152,702評論 0贊 342
道士緝兇錄：失蹤的賣姜人
文/不壞的土叔我叫張陵，是天一觀的道長卜壕。經(jīng)常有香客問我您旁，道長，這世上最難降的妖魔是什么轴捎？我笑而不...
開封第一講書人閱讀 55,259評論 1贊 279
?港島之戀（遺憾婚禮）
正文為了忘掉前任鹤盒，我火速辦了婚禮，結(jié)果婚禮上侦副，老公的妹妹穿的比我還像新娘侦锯。我一直安慰自己，他們只是感情好跃洛，可當我...
茶點故事閱讀 64,263評論 5贊 371
惡毒庶女頂嫁案：這布局不是一般人想出來的
文/花漫我一把揭開白布率触。她就那樣靜靜地躺著，像睡著了一般汇竭。火紅的嫁衣襯著肌膚如雪葱蝗。梳的紋絲不亂的頭發(fā)上，一...
開封第一講書人閱讀 49,036評論 1贊 285
城市分裂傳說
那天细燎，我揣著相機與錄音两曼，去河邊找鬼。笑死玻驻，一個胖子當著我的面吹牛悼凑，可吹牛的內(nèi)容都是我干的。我是一名探鬼主播璧瞬，決...
沈念sama閱讀 38,349評論 3贊 400
雙鴛鴦連環(huán)套：你想象不到人心有多黑
文/蒼蘭香墨我猛地睜開眼户辫，長吁一口氣：“原來是場噩夢啊……” “哼！你這毒婦竟也來了嗤锉？” 一聲冷哼從身側(cè)響起渔欢，我...
開封第一講書人閱讀 36,979評論 0贊 259
萬榮殺人案實錄
序言：老撾萬榮一對情侶失蹤，失蹤者是張志新（化名）和其女友劉穎瘟忱，沒想到半個月后奥额，有當?shù)厝嗽跇淞掷锇l(fā)現(xiàn)了一具尸體苫幢，經(jīng)...
沈念sama閱讀 43,469評論 1贊 300
?護林員之死
正文獨居荒郊野嶺守林人離奇死亡，尸身上長有42處帶血的膿包…… 初始之章·張勛以下內(nèi)容為張勛視角年9月15日...
茶點故事閱讀 35,938評論 2贊 323
?白月光啟示錄
正文我和宋清朗相戀三年垫挨，在試婚紗的時候發(fā)現(xiàn)自己被綠了韩肝。大學時的朋友給我發(fā)了我未婚夫和他白月光在一起吃飯的照片。...
茶點故事閱讀 38,059評論 1贊 333
活死人
序言：一個原本活蹦亂跳的男人離奇死亡九榔，死狀恐怖哀峻，靈堂內(nèi)的尸體忽然破棺而出，到底是詐尸還是另有隱情帚屉，我是刑警寧澤谜诫，帶...
沈念sama閱讀 33,703評論 4贊 323
?日本核電站爆炸內(nèi)幕
正文年R本政府宣布漾峡，位于F島的核電站攻旦，受9級特大地震影響，放射性物質(zhì)發(fā)生泄漏生逸。R本人自食惡果不足惜牢屋，卻給世界環(huán)境...
茶點故事閱讀 39,257評論 3贊 307
男人毒藥：我在死后第九天來索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一處隱蔽的房頂上張望槽袄。院中可真熱鬧烙无，春花似錦、人聲如沸遍尺。這莊子的主人今日做“春日...
開封第一講書人閱讀 30,262評論 0贊 19
一樁弒父案，背后竟有這般陰謀
文/蒼蘭香墨我抬頭看了看天上的太陽乾戏。三九已至迂苛，卻和暖如春，著一層夾襖步出監(jiān)牢的瞬間鼓择，已是汗流浹背三幻。一陣腳步聲響...
開封第一講書人閱讀 31,485評論 1贊 262
情欲美人皮
我被黑心中介騙來泰國打工，沒想到剛下飛機就差點兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留呐能，地道東北人念搬。一個月前我還...
沈念sama閱讀 45,501評論 2贊 354
代替公主和親
正文我出身青樓，卻偏偏與公主長得像摆出，于是被迫代替她去往敵國和親朗徊。傳聞我的和親對象是個殘疾皇子，可洞房花燭夜當晚...
茶點故事閱讀 42,792評論 2贊 345

矩陣代數(shù)（二）- 矩陣的逆

小結(jié)

矩陣的逆

求的算法

推薦閱讀更多精彩內(nèi)容

求 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的算法