日經(jīng)題

函數(shù)

f(x)
在
[0,1]
上一階可導(dǎo),
f(0)=f(1)=0
. 證明
\int_{0}^1f^2(x)\textqmbuqh8x\leqslant c\int_0^{1}f'^2(x)\text2rccywcx.

其中
c
分別為
\dfrac{1}{2},\;\dfrac{1}{4},\;\dfrac{1}{8}

Sol:
因?yàn)?

f(0)=0

因此
f(x)=\displaystyle\int_0^xf'(x)\textrvvrrx7x
.
\begin{aligned} f^2(x)=&\Bigg(\int_0^xf'(t)\textauietrwt\Bigg)^2\\ \leqslant& x\int_0^{x}f'^2(t)\texttlhwwjat\quad(Cauchy-Schwarz)\\ \leqslant& x\int_0^1f'^2(t)\texttppawv3t\quad(x\in(0,1))\\ \end{aligned}

因此
\begin{aligned} \int_0^1f^2(x)\text2ufbqv6x\leqslant&\int_0^1x\textzzkggq1x\cdot\int_0^1f'^2(t)\text2fjjjput=\dfrac{1}{2}\int_0^1f'^2(t)\texttqaws21t \end{aligned}

由此證明了
c=\dfrac{1}{2}
的情況.

又有

\begin{aligned} f^2(x)=\Bigg(\int_x^1f'(t)\textkrryypft\Bigg)^2\leqslant(1-x)\int_x^1f'^2(t)\textfmxxbkat\leqslant(1-x)\int_0^1f'^2(t)\textdpwdsx6t\quad(x\in(0,1)) \end{aligned}

因此

\begin{aligned} \int_0^1f^2(x)\text7gvzjqrx=&\int_0^{\frac{1}{2}}f^2(x)\textxpepprhx+\int_{\frac{1}{2}}^1f^2(x)\textx7ysw21x\\ \leqslant&\int_0^{\frac{1}{2}}x\textzkvzzm7x\cdot\int_0^{1}f'^2(t)\textqbfmmh6t+\int_{\frac{1}{2}}^1(1-x)\textishlwfvx\cdot\int_0^{1}f'^2(t)\text8jiimo6t\\ =&\dfrac{1}{8}\int_0^{1}f'^2(t)\textjryyja2t+\dfrac{1}{8}\int_0^{1}f'^2(t)\textgsosouut=\dfrac{1}{4}\int_0^{1}f'^2(t)\textyycgbimt \end{aligned}

由此證明了
c=\dfrac{1}{4}
的情況. 微調(diào)上面的兩個(gè)不等式得
\displaystyle f^2(x)\leqslant x\int_0^{\frac{1}{2}}f'^2(t)\textzossce7t\quad(x\in(0,\frac{1}{2})),\quad\quad

\displaystyle f^2(x)\leqslant (1-x)\int_{\frac{1}{2}}^1f'^2(t)\textghlhhuat\quad(x\in(\frac{1}{2},1))

由此得
\begin{aligned} \int_0^1f^2(x)\textswsooqwx=&\int_0^{\frac{1}{2}}f^2(x)\textooosoblx+\int_{\frac{1}{2}}^1f^2(x)\textdvgrgm7x\\ \leqslant&\int_0^{\frac{1}{2}}x\text2tlaan7x\cdot\int_0^{\frac{1}{2}}f'^2(t)\textdddddj8t+\int_{\frac{1}{2}}^1(1-x)\textddookm7x\cdot\int_\frac{1}{2}^{1}f'^2(t)\text2ycncput\\ =&\dfrac{1}{8}\int_0^{\frac{1}{2}}f'^2(t)\textvalwhf7t+\dfrac{1}{8}\int_{\frac{1}{2}}^{1}f'^2(t)\textzkvoobjt\\ =&\dfrac{1}{8}\int_0^{1}f'^2(t)\texttjffqh8t \end{aligned}

由此證明了
c=\dfrac{1}{8}
的情況.

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