金融模型——AHP比較矩陣的最大特征值對應(yīng)的特征向量是權(quán)重向量的數(shù)學(xué)推導(dǎo)

簡介

最近在解決一些定性的問題啥辨，這些問題很難定量化巧勤，所以想到了層次分析法坑夯，在梳理層次分析法時划咐，發(fā)現(xiàn)了一個問題箱熬，幾乎所有的文檔都直接給出比較矩陣的特征向量就是權(quán)重向量,沒有在數(shù)學(xué)上給出證明，感覺這個結(jié)論很想當(dāng)然窄俏，本文在數(shù)學(xué)上對這個結(jié)論進(jìn)行推導(dǎo)蹂匹。

比較矩陣

我們在處理定性問題時，通常要考慮很多因素凹蜈，這些因素很難定量刻畫限寞，但是我們又需要知道每個因素對我們目標(biāo)的影響權(quán)重，這種情況下就可以使用層次分析法仰坦，定性問題定量化履植。

如果不使用層分析法，實(shí)際影響因素的權(quán)重是定性給出的悄晃，可能極不合理玫霎，所以，我們要用定量的方法（層次分析法）刻畫這個定性的過程妈橄，使在定性的過程中合情合理庶近，層次分析采用了兩兩因素之間比較重要性，構(gòu)造比較矩陣的方式眷蚓，使定性問題定量化鼻种。

比較矩陣的構(gòu)造

對一個比較矩陣A，其元素 $a_{i,j}$ 表示第i個因素比第j個因素的重要性沙热，其取值和對應(yīng)的意義如下：

數(shù)值	含義
1	兩個因素相比叉钥，具有相同的重要性
3	兩個因素相比，前面的因素比后面的因素稍微重要
5	兩個因素相比篙贸，前面的因素比后面的因素明顯重要
7	兩個因素相比沼侣，前面的因素比后面的因素強(qiáng)烈重要
9	兩個因素相比，前面的因素比后面的因素極端重要
2歉秫，4蛾洛，6，8	上面兩個相鄰判斷的中值
倒數(shù)	因素i和因素j的比較值為 $a_{i,j}$ ,那么因素j和因素i的比較值為 $1/ a_{i,j}$

比較矩陣的性質(zhì)

由上面的比較矩陣的構(gòu)造可以看出比較矩陣有如下性質(zhì)：
比較矩陣一定是正互反矩陣，即 $a_{i,j}=\frac{1}{a_{j,i}}$ ,其中 $a_{i,j}>0$ .

一致矩陣

一致矩陣的定義

對于矩陣A轧膘，如果 $a_{i,j}>0$ , 且 $a_{i,k}a_{k,j}=a_{i,j}$ ,則稱矩陣A為一致矩陣钞螟。

一致矩陣的性質(zhì)

由一致矩陣的定義可以得到以下性質(zhì)：
1、一致矩陣的對角線都是1.
2谎碍、一致矩陣的秩等于1.
3鳞滨、秩等于1的正互反矩陣一定是一致矩陣。
4蟆淀、一致矩陣一定是正互反矩陣拯啦。

對于以上性質(zhì)的證明用到以下定律：
A為一致性矩陣的充分必要條件是，存在正向量 $W=(w_1,w_2,w_3....w_n)$ 熔任，有 $a_{i,j}=\frac{w_i}{w_j}$ （其中 $w_j>0$ ）褒链，下面先對這個定理進(jìn)行證明。

證明：

充分性：若對于矩陣A疑苔，有 $a_{i,j}=\frac{w_i}{w_j}$ （其中 $w_j>0$ ）甫匹。則：

$a_{i,k}a_{k,j}=\frac{w_i}{w_k}\frac{w_k}{w_j}=\frac{w_i}{w_j}=a_{i,j}$

所以A是一致性矩陣。

必要性：若A是一致性矩陣惦费，有 $a_{i,k} a_{k,j} = a_{i,j}$ ,取i=j,得到： $a_{i,i}=1$

所以對角線上元素為1兵迅。

又 $a_{i,k} = \frac{ a_{i,j}}{a_{k,j}}$

令i=j得到：
$a_{j,k}= \frac{ 1}{a_{k,j}}$

所以，一致矩陣是正互反矩陣薪贫。

又 $a_{i,j}=a_{i,k} a_{k,j}$ 恍箭，所以：

$a_{i,j}=\frac{a_{i,k}} {a_{j,k}}$

取k=1,有：
$a_{i,j}=\frac{a_{i,1}} {a_{j,1}}$

所有取 $W=(a_{1,1},a_{2,1}，a_{3,1}瞧省，...a_{n,1})$ ,且有：
$W^TW_1=A$

其中 $W_1=(\frac{1}{ a_{1,1}},\frac{1}{ a_{2,1}}扯夭，\frac{1}{ a_{3,1}}，...\frac{1}{ a_{n,1}})$

所以必要性得到證明臀突。

所以上面的性質(zhì)1,2,3,4得到證明勉抓。

比較矩陣的特征向量是權(quán)重向量的數(shù)學(xué)推導(dǎo)

一致性矩陣下面的證明

我們從問題出發(fā)贾漏，我們現(xiàn)在想要得到的是候学，各因素對目標(biāo)影響的權(quán)重向量。設(shè)這個向量為 $W=(w_1,w_2,w_3....w_n)$

先來看看這個向量的含義纵散，這個向量中每個元素含義是對應(yīng)于每個因素對目標(biāo)的影響權(quán)重.

所以梳码，我們可以直接從這個權(quán)重向量來構(gòu)造比較矩陣。顯然第i個因素對第j個因素的比較值為 $\frac{w_i}{w_j}$

所以比較矩陣為 $A=(\frac{w_i}{w_j})_{nxn}$

所以我們只需要證明伍掀，A的特征向量就是W掰茶。

證明：
$AW=(\frac{w_i}{w_j})_{nxn}(w_1,w_2,...w_n)^T=nW$

所以，W是A的屬于特征值n的特征向量蜜笤，因?yàn)锳的秩為1濒蒋，所以A只有一個特征值，所以，比較矩陣的特征向量就是權(quán)重向量沪伙。

上面只證明了完全一致性矩陣的情況瓮顽。對于有滿意的一致性的矩陣的情況，我們只需證明正互反矩陣可以唯一分解成標(biāo)準(zhǔn)形和一致矩陣的 hadamard乘積即可围橡。有下面定理暖混。

有滿意的一致性的非一致矩陣的證明

hadamard乘積定義

設(shè) $A=(a_{i,j})_{nxn},B=(b_{i,j})_{nxn}$ ,定義 $A○B(yǎng)=(a_{i,j}·b_{i,j})_{nxn}$ ，為矩陣A與矩陣B的hadamard乘積定義翁授。

標(biāo)準(zhǔn)型定義

標(biāo)準(zhǔn)型I：如E是一個正互反矩陣拣播，如果對任意的i,k 有 $\sum_{j=1}^ne_{i,j}=\sum_{j=1}^ne_{k,j}$ 。

譜半徑定義

對于一個矩陣A收擦，譜半徑 $\rho(A)$ 定義為所有特征值的模的最大值贮配。

hadamard分解定理

對任意的正互反矩陣A，有唯一的hadamard分解炬守，即 $A=W_1oE_1$ ,其中 $W_1=(\frac{w_i}{w_j})_{nxn}$ 為一致矩陣牧嫉。 $E_1$ 為標(biāo)準(zhǔn)型I. $w_i$ 為一致性矩陣 $W_1$ 的特征向量, $\sum w_i=1$

證明：設(shè)A的屬于特征值 $\lambda$ 的歸一化后的特征向量為 $w=(w_1,w_2,....w_n)$

因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=a_%7Bi%2Cj%7D%3D%5Cfrac%7Bw_i%7D%7Bw_j%7D%5Cfrac%7Bw_j%7D%7Bw_j%7D%20a_%7Bi%2Cj%7D" alt="a_{i,j}=\frac{w_i}{w_j}\frac{w_j}{w_j} a_{i,j}" mathimg="1">

所以
$A=(\frac{w_i}{w_j})_{nxn}o (\frac{w_j}{w_i} a_{i,j})_{nxn}$

令 $W_1=(\frac{w_i}{w_j})_{nxn} ,E_1 =(\frac{w_j}{w_i} a_{i,j})_{nxn}$

對于 $W_1$ , $w=(w_1,w_2,....w_n)$ 剛好是其特征向量，且是一致矩陣减途。（上面已經(jīng)證明）

對于矩陣 $E_1$ 酣藻，設(shè) $e_{i,j}=\frac{w_j}{w_i} a_{i,j}$ ,則：

$e_{i,j}=\frac{w_j}{w_i} a_{i,j}= \frac{w_j}{w_ia_{j,i} } =\frac{1}{e_{j,i}}$

所以 $E_1$ 也是一個正互反矩陣。

且有： $A=diag(w_1,w_2...w_n)E_1 diag(w_1,w_2...w_n)^{-1}$

所以鳍置，A與 $E_1$ 相似辽剧。所以A與 $E_1$ 有相同的特征值。

對于 $\sum_{j=1}^n\frac{w_j}{w_i} a_{i,j}與\sum_{j=1}^n\frac{w_j}{w_k} a_{k,j}$

因?yàn)锳的屬于特征值 $\lambda$ 的特征向量為 $w=(w_1,w_2,....w_n)$

所以：
$\sum_{j=1}^n\frac{w_j}{w_i} a_{i,j}=\frac{\sum_{j=1}^n w_j a_{i,j} }{w_i} = \lambda \frac{w_i}{w_i}=\lambda$

所以：
$\sum_{j=1}^n\frac{w_j}{w_i} a_{i,j}=\sum_{j=1}^n\frac{w_j}{w_k} a_{k,j}=\lambda$

所以税产， $E_1$ 時標(biāo)準(zhǔn)型I怕轿。

再證唯一性。

這里只需要證明辟拷， $\lambda$ 是A的最大特征值撞羽，且是A的單特征根，加上 $w$ 是歸一化之后的衫冻，我們就可以唯一的確定 $w$ 诀紊，從而唯一的確定 $W_1$ ,從而唯一的確定hadamard分解。

前面我們證明了隅俘，A和 $E_1$ 是相似的邻奠， $E_1$ 也是正互反矩陣，我們只要證明 $E_1$ 的最大特征值是 $\lambda$ 即可为居。

對于一個正矩陣 $B=(b_{i,j})_{nxn}$ 碌宴，有其下性質(zhì)（這里不給出證明）：
1、最大特征值一定為正,且一定是單特征根蒙畴。
2贰镣、其譜半徑 $\rho(A)$ 的范圍如下：
$\min_i \sum_{j=1}^nb_{i,j} \le \rho(B) \le \max_i \sum_{j=1}^nb_{i,j}$

由上面正矩陣的性質(zhì)，我們得到：
$\lambda=\min_i \sum_{j=1}^nb_{i,j} \le \rho(A) \le \max_i \sum_{j=1}^nb_{i,j} =\lambda$

所以， $\rho(A)=\lambda$

所以 $\lambda$ 是A的最大特征值碑隆，且是A的單特征根董朝。

所以分解式是唯一的。所以定理得到證明干跛。

我們證明了hadamard分解定理子姜，但是并沒有結(jié)束，因?yàn)槲覀冞€沒有得到想要的結(jié)論：非一致的比較矩陣的最大特征值對應(yīng)的特征向量就是我們想要的權(quán)重向量楼入。有了上面的準(zhǔn)備工作哥捕，下面給出這個結(jié)論的證明。

證明：
由上面的hadamard分解定理嘉熊，我們得到一個非一致的矩陣遥赚，我們可以唯一分解為一個一致矩陣和一個標(biāo)準(zhǔn)型I。而這個標(biāo)準(zhǔn)型I只能進(jìn)行如下分解：
$E_1=(1)_{nxn}oE_1$

所以阐肤，我們把一個非一致的比較矩陣分成了兩部分凫佛，一個一致矩陣和一個標(biāo)準(zhǔn)型。

這個標(biāo)準(zhǔn)型可以理解為孕惜，我們在構(gòu)造比較矩陣時引入的噪音和不確定性愧薛，我們是不需要考慮的，我們只需要考慮一致矩陣 $W_1$ ,而 $W_1$ 是一致的衫画，其特征向量剛好就是原矩陣A的屬于最大特征值 $\lambda$ 的特征向量毫炉。

所以非一致的比較矩陣的最大特征值對應(yīng)的特征向量就是我們想要的權(quán)重向量。

最后

在得到我們想要的結(jié)論后削罩，我們自然而然的會產(chǎn)生一個問題瞄勾，那就是被分離出來的 $E_1$ 被我們忽略了，但是當(dāng) $E_1$ 影響很大時弥激，我們就不能忽略进陡。所以在AHP的做法里面，構(gòu)造CI指標(biāo)微服，要對原比較矩陣做一致性檢驗(yàn)趾疚，對原矩陣做一致性檢驗(yàn)，就是對 $E_1$ 做一致性檢驗(yàn)职辨。

為什么比較矩陣的最大特征值一定大于等于n(矩陣階數(shù))盗蟆。

證明：根據(jù)Perron-Frobenius定理戈二，對于比較矩陣A 有一下不等式舒裤。

$\rho(A) \ge \sum_{\lambda \in spec(A)} \frac{|\lambda|}{n} \ge \frac{tr(A)}{n}\ge 0$

反證發(fā)，若 $\rho(A)<n$

則：
$\sum_{\lambda \in spec(A)} \frac{|\lambda|}{n} \le 1$

這與 $\sum_{\lambda \in spec(A)} \frac{|\lambda|}{n}\ge \frac{tr(A)}{n}=1$ 矛盾觉吭。

所以腾供，比較矩陣的最大特征值一定大于等于n(矩陣階數(shù))。

金融模型——AHP比較矩陣的最大特征值對應(yīng)的特征向量是權(quán)重向量的數(shù)學(xué)推導(dǎo)

金融模型——AHP比較矩陣的最大特征值對應(yīng)的特征向量是權(quán)重向量的數(shù)學(xué)推導(dǎo)

目錄

簡介

比較矩陣

一致矩陣及其性質(zhì)

比較矩陣的最大特征值對應(yīng)的特征向量是權(quán)重向量的數(shù)學(xué)推導(dǎo)

簡介

比較矩陣

比較矩陣的構(gòu)造

比較矩陣的性質(zhì)

一致矩陣

一致矩陣的定義

一致矩陣的性質(zhì)

比較矩陣的特征向量是權(quán)重向量的數(shù)學(xué)推導(dǎo)

一致性矩陣下面的證明

有滿意的一致性的非一致矩陣的證明

hadamard乘積定義

標(biāo)準(zhǔn)型定義

譜半徑定義

hadamard分解定理

最后