上一章的梳理中，我們已經(jīng)提到檐涝，當(dāng)人類在牙牙學(xué)語時就出現(xiàn)了符號遏匆。而當(dāng)人類在巖壁上、動物骨骸中刻痕時谁榜，就有了對符號的記錄幅聘。在數(shù)學(xué)上，最重要而又最基礎(chǔ)的符號無疑就是阿拉伯?dāng)?shù)字窃植，在人類歷史上帝蒿，從最初計(jì)數(shù)符號的產(chǎn)生到現(xiàn)今阿拉伯?dāng)?shù)字的“一統(tǒng)天下”經(jīng)過了數(shù)千年。今天巷怜，我們來講講為什么是十進(jìn)制“一統(tǒng)天下”葛超。
一暴氏、什么是十進(jìn)制？
十進(jìn)制全稱應(yīng)該是“十進(jìn)位值制”绣张，其中的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：其一就是“滿十進(jìn)一”答渔，“滿十進(jìn)一”就是在某位上滿10之后，要向高一位進(jìn)1胖替；其二是“位值制”研儒，“位值制”則是數(shù)字在不同的數(shù)位上代表的數(shù)值是不一樣的。十進(jìn)制需要的數(shù)字符號就是從0到9這10個數(shù)字独令，通過這10個數(shù)字（可重復(fù)可遺漏）分布在不同的數(shù)位中端朵，表示出所有的自然數(shù)。比如1234就表示1個千燃箭、2個百冲呢、3個十及4個一組成的自然數(shù)。
以上是計(jì)數(shù)的規(guī)則招狸，我們再來考察自然數(shù)之間計(jì)算的規(guī)則敬拓。加法的基礎(chǔ)是什么？加法的基礎(chǔ)是加法表（加法表中的加法源于直觀）裙戏，在十進(jìn)制下乘凸，加法表是這樣的：
這是一個完整的十進(jìn)制下的加法表（包含0，不考慮加法交換律）累榜。從中我們可以看到营勤，十進(jìn)制下的加法表一共有100（10×10）條加法組成，也就是說壹罚，我們只要記住了這100條加法葛作，加上熟練運(yùn)用“滿十進(jìn)一”的原則，就可以計(jì)算所有的自然數(shù)加猖凛、減法了赂蠢。
其實(shí)，有加法表和“滿十進(jìn)一”的原則辨泳，我們也可以計(jì)算所有的自然數(shù)乘虱岂、除法了，只要不嫌麻煩地慢慢去加漠吻。人類在探索乘法的過程中量瓜，也形成了一個表格，就是我們非常熟悉的九九乘法表（乘法表中的乘法源于加法）途乃。在十進(jìn)制下，完整的九九乘法表是這樣的：
有了乘法表和“滿十進(jìn)一”的原則扔傅，我們就可以就可以計(jì)算所有的自然數(shù)乘耍共、除法了烫饼，而且比利用加法表來計(jì)算，大為便利试读。這也是我們要求二年級孩子背誦九九乘法表的價值所在杠纵，但哪怕去除了含0的乘法（19條），去除了加法交換律下重復(fù)的36條钩骇，仍然有45條比藻，背誦的難度仍然不小。慶幸的是倘屹，因?yàn)檎Z言發(fā)音的原因银亲，普通話背景下的九九乘法表朗朗上口，背誦難度大大降低（歐美的學(xué)生已經(jīng)哭暈在廁所里）纽匙，這也是我們的孩子計(jì)算能力遙遙領(lǐng)先的一個重要原因务蝠。
二、其他進(jìn)制又是怎樣的烛缔？
痛恨九九乘法表的小朋友可能會很喜歡二進(jìn)制馏段，二進(jìn)制的加法表和乘法表是這樣的：
加法表去掉含0的之后，只有一條：1+1=10践瓷。乘法表去掉含0的后院喜，只有一條1×1=1（ps：遇到學(xué)二進(jìn)制的孩子，老師還會讓他背乘法表嗎晕翠？）喷舀。可以說崖面，二進(jìn)制為加減乘除四則運(yùn)算提供了極大的便利元咙，但二進(jìn)制除了作為電腦的基石而被應(yīng)用外，在其他地方很少被采用巫员，這是為什么呢庶香？
其實(shí)，二進(jìn)制也是在位值制基礎(chǔ)下的简识，也就是說它的計(jì)數(shù)原理仍然是兩個字符（0和1）分別在不同的數(shù)位上來表征不同的數(shù)的赶掖。在十進(jìn)制下的99，二進(jìn)制下應(yīng)該表示為1100011七扰，位數(shù)將從原來的兩位數(shù)擴(kuò)大到七位數(shù)奢赂，而瑞安市常住人口141.92萬人在二進(jìn)制下應(yīng)該表示為101011010011111000000，足足21位數(shù)颈走。如此膳灶，估計(jì)一篇十進(jìn)制下幾千字的論文，在二進(jìn)制下會冗長到上萬字了，寫論文的數(shù)學(xué)家倒是賺錢了轧钓，但估計(jì)數(shù)學(xué)雜志都得改成大部頭書籍序厉。
當(dāng)然，要說數(shù)位的短小精悍毕箍，十進(jìn)制自然不是最短小精悍的弛房。n進(jìn)制的n越大，數(shù)位就將只減不增而柑。比如說剛剛的141.92萬在十六進(jìn)制下應(yīng)該表示為15a7c0（用a文捶、b、c媒咳、d粹排、e、f代替十進(jìn)制中的11伟葫、12恨搓、13、14筏养、15）斧抱，而在六十二進(jìn)制（數(shù)字+小寫字母+大寫字母）下，更只有四位數(shù)（5Xck）渐溶。
但是辉浦，話又說回來，數(shù)位雖然少了茎辐，計(jì)算卻變得麻煩無比宪郊。我們來看一下十六進(jìn)制下的乘法表：
這樣一來，一個乘法表需要記住的乘法（去掉含0的拖陆，去掉乘法交換律之下相同的）有足足120條弛槐，任你口訣編得再朗朗上口，也夠搓掉學(xué)生的一層皮了依啰。
三乎串、為什么是十進(jìn)制？
這樣一對比速警，我們發(fā)現(xiàn)叹誉，選擇幾進(jìn)制實(shí)際上是一個權(quán)衡的結(jié)果。合理的進(jìn)制既不能讓數(shù)位太冗長（像二進(jìn)制）闷旧，也不能讓后面的加法表和乘法表過于“龐大”（十六進(jìn)制下的加法表和乘法表就足夠嚇人了）长豁。所以，你看忙灼，n進(jìn)制中的這個n既不能太大匠襟，也不能太小。
十進(jìn)制無疑就是這樣的一個合理的進(jìn)制，數(shù)位長度在合理的范圍以內(nèi)宅此，加法表和乘法表也不至于太龐大（容易記憶）机错。但是爬范，難道在這個權(quán)衡之下父腕，十進(jìn)制才是唯一合理的進(jìn)制嗎？自然不是青瀑，我相信八進(jìn)制和十二進(jìn)制同樣合理璧亮，那么為什么最后“一統(tǒng)天下”的是十進(jìn)制？
關(guān)于這個問題斥难，諸多的數(shù)學(xué)史上也嘗試做出過回答枝嘶，但是沒有一個確鑿的證據(jù)，只是推測可能跟我們?nèi)祟愑?0個手指有關(guān)哑诊。
其實(shí)群扶，在我看來，十進(jìn)制可能完全出于一次偶然镀裤。但如果不是十進(jìn)制竞阐，自然會有其他進(jìn)制最終“一統(tǒng)天下”。與其問：為什么是“十進(jìn)制”暑劝？不如問：為什么不能是“十進(jìn)制”骆莹？
