Contents
- Viscous Damping
- Underdamped Motion
- Overdamped Motion
- Critically Damped Motion
0-Concepts
- undamped single-degree-of-freedom system
- viscous damping
- damping coefficient
- Characteristic equation
- critical damping coefficient
- the damping ratio
- Underdamped Motion
- Overdamped Motion
- Critically Damped Motion
- the damped natural frequency
1-Viscous Damping
如上圖所示的的系統(tǒng)皱埠，在一些假設(shè)之下列出了其線性微分方程龄章。這些系統(tǒng)都沒有計(jì)算阻尼的影響，因此可稱它們?yōu)閱巫杂啥葻o(wú)阻尼系統(tǒng)局劲。
如果考慮阻尼的影響呢咕娄？在這里我們只考慮粘性阻尼（Viscous Damping）影響甜滨。那么什么是Viscous Damping找默？讓我們來(lái)看看下面這張圖坛芽。
上圖的結(jié)構(gòu)可看作是汽車減震器的圖解結(jié)構(gòu)。中間容器中注滿某種油态秧，活塞部分有小孔口董虱。當(dāng)左右兩邊有位移變化，產(chǎn)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)申鱼，活塞就會(huì)有左右的移動(dòng)愤诱，移動(dòng)時(shí)，油液通過(guò)活塞上的油孔緩慢流動(dòng)润讥，從而產(chǎn)生阻力转锈。（如果沒有油液的話，活塞基本不會(huì)受到阻力楚殿。）油液產(chǎn)生的阻力與活塞的速度成正比關(guān)系：
其中 c 是油液粘性相關(guān)的比例常數(shù)撮慨，稱為 阻尼系數(shù)（Damping coefficient）[1]。（油液產(chǎn)生阻力與油液粘性有關(guān)脆粥，有沒有見過(guò)一般的食用油砌溺，你看它們是不是比自來(lái)水更粘稠，這種粘稠是因?yàn)橛鸵旱恼承员人蠛芏啾涓簟＃┮驗(yàn)橛鸵赫承远a(chǎn)生與物體速度成正比關(guān)系的阻尼力规伐，所以稱油液的此種阻尼為粘性阻尼（Viscous Damping）。
若單自由度系統(tǒng)考慮阻尼影響匣缘，如下圖所示猖闪。
那么其運(yùn)動(dòng)方程需改為
其初始條件為：
- 初始位移 x(0) = x0
- 初始速度 x'(0) = v0
解系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程（線性微分方程），令x(t)為
帶入系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程可得到特征方程 (Characteristic equation)：
解方程可到：
觀察特征方程的特征根肌厨，其中的判別式（the discriminant）c^2-4km 是影響運(yùn)動(dòng)方程的關(guān)鍵培慌，所以這里要分三種情況。
- c^2 - 4km = 0 (critially damped)
- c^2 - 4km < 0 (underdamped)
- c^2 - 4km > 0 (overdamped)
c^2 - 4km = 0 時(shí)柑爸，定義c_cr 為 critical damping coefficient（臨界阻尼系數(shù)）：
其中 wn為系統(tǒng)無(wú)阻尼時(shí)的固有頻率（rad/s）吵护，有時(shí)也用w0 來(lái)表示。
我們也可以定義 the damping ratio（阻尼比）為：
如此表鳍，式（1.28）的解表示成：
下面就是討論 阻尼系數(shù)的情況馅而，分為三種情況。
- c < c_cr, underdamped motion
- c > c_cr, overdamped motion
- c = c_cr, critically damped motion
2-Underdamped motion
在underdamped motion （欠阻尼運(yùn)動(dòng)）中譬圣，系統(tǒng)阻尼系數(shù) c < c_cr瓮恭，阻尼比 ξ 小于1（0 < ξ < 1）. 那么
兩個(gè)特征根為：
運(yùn)動(dòng)微分方程解為：
其中，wd 為 the damped natural frequency（有阻尼固有頻率）厘熟。
如此偎血，系統(tǒng)的速度為
可得到相位
因此幅值A(chǔ)和相位為
既然得到系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的解诸衔，那么我們一起來(lái)看看某個(gè) underdamped system 的響應(yīng)（位移）盯漂，其為一個(gè)振蕩運(yùn)動(dòng)颇玷，到系統(tǒng)振動(dòng)不斷衰減為0。
3-Overdamped motion
要是 阻尼比 ξ > 1 呢就缆？ 判別式就為正帖渠，特征方程的根為
可解得，
系數(shù)a1和a2為竭宰，
某個(gè) overdamped system 的響應(yīng)曲線如圖所示
觀察曲線空郊，可以發(fā)現(xiàn) 過(guò)阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)不是振蕩運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)響應(yīng)不經(jīng)過(guò)振蕩就不斷衰減為0（除了第2種情況切揭，先有一段振幅到最大狞甚，最后不斷衰減，從初始條件可以看出廓旬，第2種情況下哼审，物體正好經(jīng)過(guò)平衡位置,位移為0，速度最大孕豹，所以要到幅值最大處再衰減）涩盾。
4- Critically Damped motion
現(xiàn)在只剩下 critically damped motion，此時(shí) c = c_cr, ξ = 1. 特征根為
由初始條件可以得到
響應(yīng)曲線如圖所示励背。
可以看出春霍，系統(tǒng)的響應(yīng)也沒有出現(xiàn) underdamped motion 中出現(xiàn)的振蕩運(yùn)動(dòng)。
5-A standard form
單自由度有阻尼系統(tǒng)的一般方程可寫為
化為更一般的形式：
這樣一些叶眉， 是不是清晰址儒？！
OK衅疙，以上就是系統(tǒng)在有阻尼情況下的自由響應(yīng)莲趣。實(shí)際可沒有那么簡(jiǎn)單，這里是一種簡(jiǎn)化理解實(shí)際中的振動(dòng)情況炼蛤。
Reference
[1] Inman D J, Singh R C. Engineering vibration[M]. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2014.
Log
@安然Anifacc
2017-01-06 10:27:07 wirte 1-4
2017-01-06 11:19:37 add 5
