(1) Daniel Harlow & Edger Shaghoulian, Global symmetry, Euclidean gravity, and the black hole information problem
(2) Yiming Chen & Henry W. Lin, Signatures of global symmetry vilation in relative entropies and replica wormholes
(3) Po-Shen Hsin, Luca V. Iliesiu and Zhenbin Yang, A violation of global symmetries from replica wormholes and the fate of black hole remnants
Ps. 感謝一起討論的Yang An遭笋。

這三篇文章緊密相連艾少，回答了我之前的一些疑問： Island formula或者replica wormhole 還能給我們什么其他的啟示？換句話說节仿，如果我想把這些關(guān)于量子引力新的進(jìn)展變?yōu)橐环N自己的intuition冯遂，我應(yīng)該思考什么樣的問題或者怎樣思考？

如果看過Daniel Harlow 18年寫的關(guān)于global symmetry的文章薪夕，那么就能很容易把island和那篇文章的一些argument 聯(lián)系起來。雖然18年的文章我看過了酷誓，還和朋友討論過披坏，不過很遺憾并沒有把兩者聯(lián)系起來⊙问可能缺少的一環(huán)就是關(guān)于entanglement wedge 概念的理解上棒拂。

理論本身的自洽性會對理論可以具有的對稱性是有一些限制的。比如Coleman-Mandula no-go theorem玫氢，理論的global symmetry只能是Poincare symmetry 直乘 一個 internal symmetry帚屉，換句話說 “時空對稱性與內(nèi)部對稱性只能平凡的結(jié)合”。
關(guān)于量子引力漾峡，一個conjecture 是 量子引力是根本不允許有內(nèi)部的global symmetry的攻旦。

Argument 1

最初的argument 是來源于霍金對黑洞的研究。
因為黑洞的 no-hair theorem生逸， 所以黑洞的宏觀狀態(tài)并不依賴與其攜帶的global symmetry charge的信息牢屋。和 information paradox 一樣，當(dāng)黑洞蒸發(fā)后槽袄，所有有關(guān)global charge的信息也將丟失烙无，也是說global charge的守恒律也將被違反。這個argument的loophole就是假設(shè)了蒸發(fā)后期遍尺，還是可以用半經(jīng)典的近似皱炉。如果黑洞并不蒸發(fā)完全，而是剩下一個remnant的話狮鸭，理論上remnant可以攜帶信息。

Argument 2

如果我們假設(shè)黑洞的coarse grained entropy 正比與視界面的話多搀，那么remnant 的loophole 可以部分補上歧蕉。因為對于一個有限溫度的黑洞他能儲存的信息是有限的，而對于具有無窮多個不可約表示的global symmetry康铭，有限多的黑洞微觀態(tài)是不足與編碼有關(guān)global symmetry的全部信息的惯退。這個argument 的一個loophole是，有些global symmetry 可能只有有限多個不可約表示从藤，所以不需要無窮多個微觀態(tài)來編碼催跪？那么這樣的global symmetry，如某些離散的symmetry夷野，可以存在嗎懊蒸？

Argument 3

在18年Harlow的文章中指出，如果假設(shè)AdS/CFT的話悯搔，所有的global symmetry包括離散的情況都是不會存在骑丸。在文章（1）中，Harlow 把這個AdS/CFT的假設(shè)換成了一個弱一些的假設(shè)：如果量子引力理論存在黑洞，且黑洞蒸發(fā)的過程是unitary的通危。
另外一個假設(shè)铸豁，global symmetry 的作用是local的。然后主要用到的結(jié)論是entanglement wedge reconstruction菊碟。我可以把boundary 分成很多小份节芥，所有這些小份的entanglement wedge的集合并不會cover 整個bulk區(qū)域。所以如果在沒被cover的區(qū)域里存在一個帶有g(shù)lobal charge 的operator逆害，因為charge不為0头镊，那么對稱操作是應(yīng)該有non-trivial的作用的。但是在AdS/CFT下忍燥，理論上這個bulk 里對稱操作應(yīng)該由boundary上的操作構(gòu)造出來的拧晕，但是這個bulk operator并不在任何一個entanglement wedge里面，所以這個bulk 對稱操作一定是trivial 的梅垄，也就是說bulk里并不存在帶有charge 的operator厂捞。
在黑洞蒸發(fā)過程是unitary的假設(shè)里，我們知道unitary是通過引入island 來實現(xiàn)的队丝。那么我們可以這樣想靡馁，對于整個radiation的區(qū)域是可以有對應(yīng)的island的。但是我們把radiation的區(qū)域分成很多小份机久，以至于每一小份都不會有island臭墨，那么存在根據(jù)上面同樣的假設(shè)，island里面的operator也不會帶有charge膘盖。
或者這樣想胧弛，本來我們以為黑洞內(nèi)部的信息，我們是提取不出來的侠畔。但是其實因為有island 這部分信息是可以被提取的结缚，也就是說當(dāng)你再黑洞外部選取合適的區(qū)域的時候，這個區(qū)域的entanglement wedge 是可以包括黑洞內(nèi)部的软棺。這時我們就可以用Harlow之前的argument了红竭。一個關(guān)鍵的假設(shè)還是，可以把區(qū)域分成很多小份喘落，然后每一小份不會有island茵宪。
總的來說Harlow這個argument比較反直覺的地方是，為什么global symmetry的信息是特殊的瘦棋？或者如果我們黑洞想象成一個量子計算機的話稀火，為什么有關(guān)global symmetry的信息不能被編碼∈尴粒或者我可以反過來問憾股，如果我假設(shè)理論有g(shù)lobal symmetry鹿蜀，那么這個symmetry是如何被破壞的。我們能通過什么樣的量來發(fā)現(xiàn)global symmetry的破壞服球？

這個文章（2）和（3）給出了一些想法茴恰？（2）建議我們可以計算relative entropy
,這個里是假設(shè)存在的對稱操作往枣，如果對稱性沒有被破壞的話，那么與將有同樣的信息，所以relative entropy為0坡椒。但是可能我們并不能直接算，因為我們沒有量子引力理論丈攒，但是我們借用island 的公式來算這個量

我們可以假設(shè)semi-classical的理論是有這個對稱性的，同時還要假設(shè)，對于半經(jīng)典或者exact的量子引力理論功咒，我們可以認(rèn)同區(qū)域并且假設(shè)是僅僅作用在這個區(qū)域里的榜旦。因為這個對稱操作只作用在radiation的部分不作用在island的部分澡屡，所以我們可以期待這個relative entropy不會為0而且還是order 1的。文章通過一個free fermion的例子驗證了這一點。最后這個relative entropy 會轉(zhuǎn)化成計算modular Hamiltonian的一些計算。
或者其實我們可以直接比較兩個density matrix腌逢。核心的一個假設(shè)還是

這樣才可以說明纳本，exact的理論是沒有對稱性的繁成。其實這里已經(jīng)是一個比較tricky的假設(shè)了面睛，因為有了這個假設(shè)后面的計算都是可以期待的。

文章（3）直接從replica wormhole 出發(fā)的然后計算的transition amplitude

這里和對應(yīng)兩個處在不同表示的兩個態(tài)幌墓，帶有的quantum number 不一樣胳施，如果對稱性存在的話焦辅，這個amplitude 應(yīng)該為0椿胯。但是因為wormhole存在的話筷登，在計算這個量的時候就會有非為0的貢獻(xiàn)。用之前replica wormhole的語言就是压状，一組完備正交基會變得不正交且overcomplete仆抵。
想法還是簡單的；如果我們認(rèn)為對應(yīng)了邊界條件的話种冬，那么邊界上的自由度的數(shù)目是等于bulk的里面的微觀態(tài)的個數(shù)的镣丑。但是bulk的微觀態(tài)的數(shù)目是由其coarse grained entropy來bound 的。那么當(dāng)邊界的自由度超過了這個bound的時候娱两，會發(fā)生什么呢莺匠？那么引力路徑積分就不能完全區(qū)別這些state了。如何具體來看出這一點呢十兢？

假如然后我們想用k 個微觀態(tài)來編碼任意一個量子態(tài)：

當(dāng)然可能這樣的linear combination 不存在趣竣，但是我們maximize 這個模擬的state 與真實state的overlap

關(guān)鍵就是我們要用replica trick來計算
當(dāng)k超過bound 的時候，這個replica的計算是被wormhole dominate的旱物，很容易發(fā)現(xiàn)這個saddle 的貢獻(xiàn)是(關(guān)于的部分正好cancel 掉了)遥缕。也就是說引力會認(rèn)為，不管什么樣的量子態(tài)宵呛，都可以用這 k 個量子態(tài)來編碼单匣，因為k的態(tài)能編碼的態(tài)的數(shù)量是有限的，所以對于很多state宝穗，引力都是無法區(qū)分的户秤。