《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)著作。又稱《原本》，它是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)陋守，被廣泛的認(rèn)為是歷史上最成功的教科書。在《幾何原本》中利赋，歐幾里得使用了公理化的方法水评。這一方法后來成了建立任何知識(shí)體系的典范，在差不多二千年間媚送，被奉為必須遵守的嚴(yán)密思維的范例中燥。這本著作是歐幾里得幾何的基礎(chǔ)，在西方是僅次于《圣經(jīng)》而流傳最廣的書籍塘偎。

《幾何原本》的第I卷幾何基礎(chǔ)由23個(gè)定義疗涉，5個(gè)公設(shè)和5個(gè)公理以及由定義、公設(shè)吟秩、公理出發(fā)咱扣，通過論證得出的48個(gè)命題組成。本次我們要導(dǎo)讀的是5個(gè)公設(shè)涵防。

公設(shè)（postulate）是無需證明即被認(rèn)為是正確的命題或者陳述闹伪。第I卷中的大部分公設(shè)都是關(guān)于構(gòu)造作圖的：比如公設(shè)I.1說的是過給定的兩點(diǎn)可以作一條直線；公設(shè)I.3說的是給定任意圓心和半徑可以作圓壮池。

公設(shè)I.1

To draw a straight line from any point to any point.

過給定的兩點(diǎn)可以作一條直線偏瓤。

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這是《原本》中的第一個(gè)公設(shè)，它說的是任給兩點(diǎn)（例如和）椰憋，可以使用直尺作一條直線(線段)使其以和為端點(diǎn)硼补。這里并沒有明確地說過兩點(diǎn)之間的直線是唯一的，但后面使用該公設(shè)時(shí)卻到了唯一性熏矿。由此我們可以推測(cè)該公設(shè)隱含了唯一性的假設(shè)已骇，《原本》應(yīng)當(dāng)對(duì)此做出明確的聲明离钝。

公設(shè)I.2

To produce a finite straight line continuously in a straight line.

線段可以繼續(xù)延長(zhǎng)。

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這里我們有了直尺作圖的第二個(gè)操作褪储，即延長(zhǎng)給定的直線（線段）得到直線卵渴。這里并沒有說直線可以延長(zhǎng)到哪里，有時(shí)候延長(zhǎng)的長(zhǎng)度是某條給定的線段的長(zhǎng)度鲤竹，有時(shí)候延長(zhǎng)的長(zhǎng)度是無限的浪读。

該公設(shè)也沒有說當(dāng)延長(zhǎng)直線時(shí)，延長(zhǎng)的部分仍然被包含在所討論的平面內(nèi)辛藻。命題XI.1說一條直線不能一部分在一個(gè)平面內(nèi)碘橘，但另一部分在另一個(gè)平面內(nèi)。證明該命題的核心步驟是：證明一條直線不能有兩種延長(zhǎng)方式吱肌，即一條直線只能有一種延長(zhǎng)方式痘拆，該命題的證明很難令人信服，因此該公設(shè)應(yīng)當(dāng)包含與之相關(guān)的條款氮墨。

定義I.3

To describe a circle with any center and radius.

給定任意圓心和半徑可以作圓纺蛆。

這是《原本》中的第三種作圖方式，它對(duì)應(yīng)的是使用圓規(guī)畫圓规揪。在定義I.15和定義I.16中桥氏，圓被定義為：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的平面圖形，定點(diǎn)被稱作圓心猛铅，定長(zhǎng)被稱作半徑字支。

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使用該公設(shè)時(shí)需要給定的數(shù)據(jù)有：

1. 作為圓心的點(diǎn)；
2. 圓周上的另一個(gè)點(diǎn)奸忽；
3. 包含這兩個(gè)點(diǎn)的平面堕伪。

在《原本》的前幾卷，因?yàn)榭紤]的是平面幾何月杉，因此不需要指明平面刃跛；但《原本》的最后幾卷考慮的是立體幾何抠艾，必須指明平面苛萎。

從字面上來看，公設(shè)I.3并不允許傳遞距離检号；即不允許使用圓規(guī)量取給定線段的長(zhǎng)度腌歉，并以量取的長(zhǎng)度在任意地方畫圓。然而齐苛，命題I.3的證明使用圓規(guī)傳遞了距離翘盖。因此，公設(shè)I.3暗含了可以傳遞距離這一假設(shè)凹蜂。

公設(shè)I.4

That all right angles equal one another.

所有的直角彼此相等

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在直角的定義中馍驯，以垂線的垂足為頂點(diǎn)的的兩個(gè)角是相等的（例如和）是相等的阁危。該公設(shè)是說，以某個(gè)垂線的垂足為頂點(diǎn)的角（例如汰瘫，）的大小等于以任何其它垂線的垂足為頂點(diǎn)的角（例如狂打，）。

《原本》中關(guān)于角的大小的例子基本上都和直角有關(guān)混弥，例如趴乡，在命題I.17說三角形中任意兩角的和小于兩個(gè)直角；在命題II.9的證明中蝗拿，使用了兩個(gè)角的大小都是直角的一半得出那兩個(gè)角相等的結(jié)論晾捏。

該公設(shè)的第一次運(yùn)用是在命題I.14中。

公設(shè)I.5

That, if a straight line falling on two straight lines makes the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles.

(同一平面內(nèi))一條直線和另外兩條直線相交哀托，若在直線某一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角之和小于兩個(gè)直角的和惦辛，則這兩條直線經(jīng)無限延長(zhǎng)后在這一側(cè)一定相交。

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如圖所示萤捆，若加上小于兩個(gè)直角（180°）裙品，則直線和沿和方向延伸時(shí)， 它們將相交俗或。

因?yàn)榭梢杂脕碜C明平行線的性質(zhì), 第五公設(shè)也被稱為平行公設(shè)市怎。第五公設(shè)不像其他公設(shè)那么顯然并且顯得有些繁瑣，因此從古希臘到19世紀(jì)初辛慰，幾何學(xué)家們一直試圖證明該公設(shè)可以從其它的公設(shè)和公理推導(dǎo)出來区匠。這些嘗試最終都以失敗告終，直到19世紀(jì)帅腌，德國數(shù)學(xué)家高斯驰弄、俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基、匈牙利數(shù)學(xué)家波爾約等人各自獨(dú)立地認(rèn)識(shí)到這種證明是不可能的速客。也就是說戚篙，第五公設(shè)是獨(dú)立于其他公設(shè)和公理的，并且可以用不同的“平行公設(shè)”去替代它溺职，這導(dǎo)致了非歐幾何的發(fā)現(xiàn)岔擂。

直到命題I.29，第五公設(shè)才被第一次使用浪耘，但第I卷余下的部分幾乎全都依賴于該公設(shè)乱灵。

參考文獻(xiàn)

1. Euclid’s Elements, David E. Joyce.
2. 《歐幾里得幾何原本》，蘭紀(jì)正七冲，朱恩寬譯痛倚。

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