WolframAlpha (WA) 是一個計算知識引擎，這是一種非常奇特的方式羊壹，可也以說 WolframAlpha 是一個可以回答你問題的平臺。 WolframAlpha 以其數(shù)學(xué)能力而聞名有序，它可以成為一個非常強(qiáng)大的工具來幫助你進(jìn)行計算跛十。
訪問 WolframAlpha
WolframAlpha 的知識引擎可以通過 wolframalpha.com 在線訪問，但如果你可以通過你的大學(xué) / 研究中心 / 公司訪問許可證浅浮，你可能需要安裝 Wolfram Mathematica 沫浆，“跨越大多數(shù)技術(shù)計算領(lǐng)域的現(xiàn)代技術(shù)計算系統(tǒng) - 包括神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，機(jī)器學(xué)習(xí)滚秩，圖像處理专执，幾何，數(shù)據(jù)科學(xué)郁油，可視化等 “本股。
WolframAlpha 的數(shù)學(xué)能力
這本小指南將重點介紹 WA 的一些數(shù)學(xué)能力。請記住桐腌，還有更多可以做的事情拄显！這是我們將要涉及的內(nèi)容：
每當(dāng)你向 WA 輸入內(nèi)容時，你都會獲得查詢的鏈接案站，這樣你就可以非常輕松地分享你提出的問題和答案躬审。例如，在 此鏈接 之后蟆盐，當(dāng)我問他美國總統(tǒng)是誰時承边，你可以看到 WA 告訴我的內(nèi)容。通過本指南石挂，帶有灰色背景的藍(lán)色字母提供了 WA 查詢的鏈接博助。所以如果你點擊這個 - > pi 的第 345 個小數(shù)位是什么？ 當(dāng)我要求 pi 的第 345 個小數(shù)位(順便說一下痹愚，它是 5) 時翔始，你會看到 WA 回答我的內(nèi)容。
另一個需要注意的重要事項是里伯，在向 WA 詢問事物時城瞎，你不必遵循嚴(yán)格的語法，你可以越多地促進(jìn) WA 的生活越好疾瓮。
另請注意脖镀，Mathematica - 由 WA 的創(chuàng)建者開發(fā)的語言 - 使用 [] 進(jìn)行函數(shù)調(diào)用，而不是 ()，并且所有函數(shù)名都是大寫的蜒灰，所以 Sqrt[n] 會給你通常的平方根函數(shù)弦蹂，在許多語言中可能用作 sqrt(n)。這是相關(guān)的强窖，因為 WA 支持 Mathematica 函數(shù)的子集凸椿。
最后一個 非常重要的 提示是，如果你有 Mathematica翅溺，你可以通過用 == 開始命令來獲得極限脑漫，積分和求導(dǎo)(僅舉幾例) 的逐步解決方案。
基本計算
當(dāng)然咙崎，WolframAlpha 可以用作非常先進(jìn)的計算器优幸。輸入 2^100 將為你提供 1267650600228229401496703205376 的眾所周知的答案。一些有用的操作需要知道：
- 通常加法
+褪猛，減法-网杆，乘法*和除法/ - 冪運(yùn)算符
^，用作x^y伊滋，也可以用作Power[x碳却，y] - 要找到除法的余數(shù)，可以輸入
x mod m或使用Mod[x笑旺，y] - 平方根是
Sqrt[x]昼浦，x的第 n 個根由Root[x，n]給出燥撞，所以通過鍵入來找到 8 的立方根座柱。 Root[8,3] - 階乘運(yùn)算符可以寫成
n!或Factorial[n] - 對數(shù)和指數(shù)函數(shù)分別寫為
Log[x]和Exp[x] - 三角函數(shù)具有通常的名稱，但是大寫; 例如物舒，
Tan[x]色洞，Sin[x]，ArcCos[x]分別是正切冠胯，正弦和反余弦函數(shù)
繪圖函數(shù)
你可以要求 WA 做幾種不同類型的情節(jié)火诸，但也許最基本的情節(jié)是繪制從實數(shù)到實數(shù)的簡單函數(shù)，像 plotting x^2 荠察，可以通過輸入 plot x^2 或 plot Power[x置蜀，2] 來完成。
在繪制函數(shù)時悉盆，我們并不總是想要 WA 建議的范圍盯荤，所以plot x^2 from -5 to 1 會將范圍從默認(rèn)值更改為 - 5 到 1 之間的范圍。
對于更簡單的圖焕盟，用簡單的英文寫我們想要的工作就好了秋秤，但是對于更復(fù)雜或復(fù)雜的圖，我們將更好地使用 Mathematica 語法。所以像 plot x^2 from -5 to 1 的常規(guī)情節(jié)變成了Plot[x^2, {x, -5, 1}]灼卢，其中函數(shù) Plot[] 用于表示我們想要一個 plot绍哎，第一個參數(shù) x ^ 2 是我們想要繪制的函數(shù)，第二個參數(shù) {x鞋真，-5,1} 是一個列表(Mathematica 中的列表用 {} 表示) 和變量崇堰，左極限和右極限。所以Plot[x^2, {x, -5, 1}] 產(chǎn)生與以前相同的圖涩咖。
要繪制多個函數(shù)海诲，我們可以將函數(shù)列表作為第一個參數(shù)躬络，而不僅僅是函數(shù)层亿。例如，Plot[ {x^2, x^3, x^4}, {x, 1, 5} ] 將繪制三個不同的多項式，從 1 到 5盾似。
為了繪制兩個變量的函數(shù)，我們可以使用函數(shù) Plot3D 雪标，所以如果我們輸入 Plot3D[x^2 + y^2 + x*y, {x, -2, 2}, {y, -2, 0}]當(dāng)x 在 - 2 和 2 之間以及當(dāng) y 在 - 2 和 0 之間變化時零院，我們將繪制函數(shù) x^2 + y^2 + xy 。
求解方程
可以非常容易地解方程村刨。事實上告抄，只需鍵入 solve x^2 + x - 1 = 0 for x 為你提供你所期望的。使用 Mathematica 表示法嵌牺，你可以輸入 Solve[x^2 + x - 1 == 0, x]打洼。
WA 和 Mathematica 的一個好處是它們能夠進(jìn)行符號計算，這也意味著你的方程可以有參數(shù)或其他未知數(shù)逆粹，WA 將嘗試根據(jù)這些參數(shù)給出答案募疮。例如，我們可以向 WA 請求通用公式求解度為 4 的多項式方程 Solve[x^4 + b*x^3 + c*x^2 + d*x + e == 0, x] 返回令人討厭的公式僻弹。
你想要解的方程不需要是多項式的阿浓！例如，Solve[Log[x] + Exp[x] == 1, x] 解給出方程 Log[x] + Exp[x] == 1 的數(shù)字 x 的值蹋绽。
方程組也可以求解芭毙。就像你給Plot[] 給出一個函數(shù)列表一樣，現(xiàn)在我們給 Solve[] 一個方程列表卸耘。例如退敦，我們想要解兩個方程 Log[x] + y == 1 和 Log[x] + Log[y] == 2，我們通過輸入 Solve[ {Log[x] + y == 1, Log[y] + Log[x] == 2}, {x,y} ] 蚣抗。這里有兩個 重要 的事情要注意侈百！首先，WA 給出的結(jié)果包括大多數(shù)人不會知道的函數(shù) W; WA 通過略微向右寫入解的每個組件來幫助人們，因此 WA 實際上在這里說“W(z) 是乘積對數(shù)函數(shù)(product log function)”设哗，然后我們可以谷歌搜索唱捣。其次，請注意 Solve[] 的第二個參數(shù)是 {x网梢，y} 不是 x 震缭！我們需要告訴 WA 我們擁有的所有變量; 如果我們只寫 x，那么 WA 正試圖解另一個問題：Solve[ {Log[x] + y == 1, Log[y] + Log[x] == 2}, x ]
解不等式
為了解不等式战虏，你可以用與方程類似的方式來實現(xiàn)它拣宰，但是使用函數(shù) Reduce[]。作為一個例子烦感，我們通過輸入 Reduce[{x + y < 0, x y > 3}, {x,y}] 來解不等式組 xy> 3 和 x + y <0 巡社。Reduce[{x + y < 0, x y > 3}, {x,y}]
矩陣代數(shù)
矩陣被大量使用，有時我們只需要一些地方來檢查行列式手趣，矩陣的特征值或特征向量晌该，甚至可能將其求逆。你可能需要這樣做绿渣，當(dāng)你這樣做時朝群，WA 支持你。
在 WA 中中符，矩陣是列表的列表姜胖。外部列表是所有行的集合，內(nèi)部列表具有每行的元素淀散，因此維度 2 的單位矩陣將表示為 { {1, 0}, {0, 1} } (只需輸入矩陣 WA 就會自動為你提供大量有關(guān)矩陣) 右莱。
要找到矩陣的行列式或跡，你可以分別使用函數(shù) Det[] 和 Trace[] 档插，例如 Det[{{a, b}, {c, d}}] 給出了一般性的決定因素 2 乘 2 矩陣慢蜓，Trace[{{a, b}, {c, d}}] 給出其跡。
要查找反函數(shù)阀捅，可以使用 Inverse[{{a, b}, {c, d}}]胀瞪。
要求特征值(或特征向量) ，你可以輸入 Eigenvalues[{{a, b}, {c, d}}] (分別為 Eigenvectors[{{a, b}, {c, d}}])饲鄙，即使通常只求一個也給了另一個凄诞。
當(dāng)然，所有這些都可以用更大的矩陣和具有實際數(shù)字的矩陣來完成忍级，而不僅僅是參數(shù)帆谍！例如，我們可以計算一些 5 乘 5 矩陣的特征值轴咱，比如 Eigenvalues[{{1,2,3,4,5},{6,7,8,9,10},{11,12,13,14,15},{16,17,18,19,20},{21,22,23,24,25}}] 給出 0, 0, 0, -3.642, 68.64汛蝙。
可能與大學(xué)課程更相關(guān)烈涮，但 WA 也對矩陣進(jìn)行了對角化 / 找到了他們的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型(Jordan canonical form)。為此窖剑，使用 JordanDecomposition[{{1, 2}, {0, 3}}] 其也給出了相似矩陣和對角矩陣和若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型矩陣坚洽。
計算級數(shù)和總和
Wolfram Alpha 可以做的另一件事是計算總和和級數(shù); 具有已知值和未知值。例如西土，我從來不知道計算幾何級數(shù)的第一項之和的公式是什么讶舰，例如 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n。 WA 可以通過輸入 sum x^i with i from 0 to n 來幫助我需了，這給出了我永遠(yuǎn)忘記的公式跳昼！但話說回來，我們最好使用 Mathematica 的語法肋乍，對于 sums / series 來說鹅颊，它是通過函數(shù) Sum[]。第一個參數(shù)是要求求和的表達(dá)式墓造，第二個參數(shù)是虛擬變量的范圍堪伍！例如，Sum[x^i, {i, 0, n}] 給出與以前相同的結(jié)果滔岳。
例如杠娱，我們也可以計算 Sum[Factorial[n], {n, 1, 20}]將前 20 個階乘相加(順便給出 2561327494111820313) 挽牢。
無窮和谱煤，稱為序列，通過用 infty 替換虛擬變量的上限來計算禽拔。所以如果我們輸入Sum[1/n, {n, 1, infty}] 我們親愛的 WA 讓我們知道調(diào)和級數(shù)發(fā)散 刘离。
另一個有趣的例子是 Sum[1/n^2, {n, 1, infty}]，實際上給出了 pi^2/6睹栖。
有限 / 無窮乘積以相同的方式工作硫惕，除了我們使用函數(shù) Product[]。例如野来，有一個有趣的乘積公式給出了 pi/2恼除，該乘積的前 100 項表明它是接近的：Product[(4i^2)/((2i-1)*(2i+1)), {i, 1, 100}] 接近 Pi/2 (此示例中的更多關(guān)于極限部分)。
求導(dǎo)
函數(shù)求導(dǎo)可能會變得非常討厭曼氛。值得慶幸的是豁辉，WA 為我們付出的努力！我們可以用 differentiate cos(sin(x)) wrt x 舀患。等效的 Mathematica 命令是 D[Cos[Sin[x]], x] 徽级，其中 D 代表求導(dǎo)。請注意聊浅，第一個參數(shù)是你要求導(dǎo)的函數(shù)餐抢，第二個參數(shù)是你要求導(dǎo)的變量现使。
高階導(dǎo)數(shù)可以通過指定變量和順序來完成：D[x^5, {x, 5}] 給出函數(shù) x^5 的五階導(dǎo)數(shù)。
幾個變量的函數(shù)也可以很容易地求導(dǎo)旷痕，因為 WA 和 Mathematica 將把所有不是指定變量的東西視為常量碳锈。例如，D[x^2 + y^2, x] 顯然給出了 2x欺抗。
要找到混合偏導(dǎo)數(shù)殴胧，只需將函數(shù)作為第一個參數(shù)，然后按順序?qū)⑺幸直娴淖兞糠旁谝黄鹋宄佟＠缤爬模绻阆胝业?f 相對于a 的混合偏導(dǎo)數(shù)，那么 b报强，然后 c灸姊，做 D[f[a,b,c], a, b, c] 。請注意秉溉，對于最后一個力惯，WA 返回符號表達(dá)式，因為 f 只是一些泛型函數(shù)召嘶。這意味著我們也可以讓 WA 告訴我們求導(dǎo)的規(guī)則父晶。例如，我們可以要求 WA 乘積求導(dǎo) f(x)g(x): D[f[x] * g[x], x] 給出乘積規(guī)則 (fg) '= f'g + fg'弄跌。
包含導(dǎo)數(shù)的(通常是標(biāo)量) 函數(shù)的典型運(yùn)算也可以用 WA 計算甲喝。在下面的列表中，我假設(shè)我們正在處理三個變量的函數(shù) f(x铛只，y埠胖，z)。變量的數(shù)量可以很容易地改變淳玩！
- f 的梯度可以用 [gradient f[x直撤，y，z]] 來計算(https://www.wolframalpha.com/input/?i=gradient+f%5Bx,y,z%5D ) 在 WA 和 Mathematica 中的 D[f[x蜕着，y谋竖，z]，{{x承匣，y蓖乘，z}}]
- 向量函數(shù) (f1(x,y,z), f2(x,y,z), f3(x,y,z)) 的發(fā)散可以用 divergence {f1[x,y,z], f2[x,y,z], f3[x,y,z]} 和 Mathematica 中的 Div[{f1[x, y, z], f2[x, y, z], f3[x, y, z]}, {x, y, z}]
- curl 是類似的，期望我們用 curl 替換 divergence 進(jìn)行 WA 計算并使用 Mathematica 中的函數(shù) Curl[]悄雅，而不是 Div
- f 的拉普拉斯算子可以在 WA 用 laplacian f[x驱敲，y，z] 和 Mathematica 中的 Laplacian[f[x宽闲，y众眨，z]握牧，{x，y娩梨，z}] 來計算沿腰。
計算積分
不幸的是，與 WolframAlpha 計算積分非常困難...... 不是狈定！它就像其他任何東西一樣工作颂龙。你只需在 WA 輸入它就可以得到一個答案：integrate exp(-x^2) with x from 0 to infinity 。 Mathematica 方式是 Integrate[ Exp[-x^2], {x, 0, infty}]纽什。
當(dāng)然措嵌，積分變量可以是任何變量，邊界也可以改變芦缰，它們可以包括正負(fù)無限企巢。
要查找原函數(shù)，只需省略變量的邊界即可让蕾。例如浪规，要找到 cos(sin(x))tan(x) 的原函數(shù)，我們可以輸入 Integrate[Cos[Sin[x]]Tan[x], x] 我們得到一個很長的答案探孝。有時 WA 找不到原函數(shù)笋婿，它會讓你知道。
如果我們只需要一個(精確的) 數(shù)值顿颅，并且我們不需要 WA 給出確切的答案(它將盡可能地給出它們) 缸濒，我們可以明確地使用函數(shù) NIntegrate[] 而不是 Integrate: NIntegrate[Cos[1/x + Pi/2]^5, {x,1,infty}] 。
作為最后的評論元镀，請注意绍填，如果你使用 WA / Mathematica 檢查你是否正確地進(jìn)行了原函數(shù)，請記住有時一個函數(shù)有多個原函數(shù)栖疑。如果你試圖找到一個函數(shù) h 的原函數(shù)并且到達(dá)某個函數(shù) f 但是 WA 得到了一個不同的函數(shù) g，它并不一定意味著你弄錯了滔驶！只是嘗試推導(dǎo)你的函數(shù) f遇革，看看是否給它h，它應(yīng)該揭糕！
求極限
要找到表達(dá)式或函數(shù)的極限萝快，只需按照你的預(yù)期輸入：limit of 1/x as x goes to -infty 。這里可能想要使用的函數(shù)是 Limit[]著角。它就像我們見過的幾乎所有其他函數(shù)一樣揪漩。第一個參數(shù)是表達(dá)式，第二個參數(shù)是變量; 這里唯一需要注意的是我們告訴 WA 變量收斂的方式吏口。前面的例子將寫成 Limit[1/x, x -> -infty]奄容。
定義變量接近極限值的方向通常也很有用冰更。例如，我們知道 x 變?yōu)?0 時的 1/x 的極限隨著 x從左邊或右邊接近 0 而改變昂勒。所以我們實際上可以檢查 Limit[1/x, x -> 0^+] 不同于Limit[1/x, x -> 0^-] 其中指數(shù)符號 0^+ 和 0^- 用于定義我們在這里接近 0 的一側(cè)蜀细。
此外，在 計算級數(shù)和總和 中我提到某個乘積可用于計算 pi/2戈盈。我所說的乘積是 Product[(4i^2)/((2i-1)*(2i+1)), {i, 1, infty}] 如果你遵循鏈接你會看到 WA 實際上不能給你確切的值奠衔。相反，它給了我乘積的值塘娶，如果我只達(dá)到 5 個項归斤，它給了我一個 接近 公式的乘積到n：Product[(4i^2)/((2i-1)*(2i+1)), {i, 1, n}] 。現(xiàn)在我將使用 Limit[] 函數(shù)來證明我實際上不是在撒謊刁岸！如果我把那個接近的公式放在 Limit 函數(shù)中并讓n 像這樣去無窮大：Limit[(Pi Gamma[1 + n]^2)/(2 Gamma[1/2 + n] Gamma[3/2 + n]), n -> infty]官册，我們得到所需的 pi/2。
其他
要查找數(shù)字是否為素數(shù)难捌，可以使用函數(shù) PrimeQ[]膝宁，例如鍵入 PrimeQ[4234523457] 得出結(jié)論 4234523457 不是質(zhì)數(shù)，因為 4234523457 = 3×53×97×463×593根吁。
類似地员淫，使用函數(shù) Prime[] 找出第 n 個素數(shù)。例如击敌，鍵入 Prime[4234523457] 以查明 4234523457th prime 是 “102951556637”介返。
由 Mathspp Blog ，RojerGS 的編輯帶給你沃斤。
原文：https://github.com/clone95/Virgilio/blob/master/zh-CN/Tools/WolframAlpha.md
