一烹骨、曲線函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)
從參數(shù)方程形式引入“曲線的導(dǎo)數(shù)”更加容易。
空間中的一個(gè)曲線可以表示成參數(shù)方程：
若把上面的方程組寫成向量形式吨岭，就叫做一元向量值函數(shù)。
是假設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿著曲線運(yùn)動(dòng)的位置軌跡辣辫，即曲線本身魁巩。其導(dǎo)數(shù)有以下
：
是質(zhì)點(diǎn)M的速度向量，其方向與曲線相切
是質(zhì)點(diǎn)M的加速度向量
注意：在
可導(dǎo)的
是葬馋，
在三個(gè)分量函數(shù)
都在
可導(dǎo)肾扰。其導(dǎo)數(shù)為
二、曲線的切線和法平面
- 曲線在
的導(dǎo)數(shù)是
- 在
的切線方程是
- 經(jīng)過
曲線不僅可以用參數(shù)方程表示，還可以有更一般的表達(dá)蒋院，即
雖然有兩個(gè)變量条摸，但是聯(lián)立方程組會(huì)消去一個(gè)自由度，變成一個(gè)變量x钉蒲。或者理解為踏枣，當(dāng)x確定后(y,z)的方程組只有唯一解昌屉，即任意一個(gè)x對(duì)應(yīng)一個(gè)(y,z)茵瀑，因此只有一個(gè)變量x。
兩邊同時(shí)求導(dǎo)竞帽，并解出.這些內(nèi)容在筆記5中講過了鸿捧。
上述方程組可以轉(zhuǎn)化為。
- 因此其導(dǎo)數(shù)為
- 切線方程是
- 經(jīng)過
且垂直于切線的平面叫做法平面匙奴，其方程是
三、曲面的切平面和法線
曲面的函數(shù)為,或者寫成
- 切平面方程
- 法線方程
四谍肤、方向?qū)?shù)
偏導(dǎo)數(shù)的含義是函數(shù)沿坐標(biāo)軸方向的變化率哗伯。而方向?qū)?shù)可以求函數(shù)的變化率。
假設(shè)這個(gè)方向與X軸笋颤、y軸、z軸的夾角分別為
赋除，又叫方向角非凌。
- 假設(shè)有一個(gè)二元函數(shù)為
举农，它通過點(diǎn)
敞嗡。把它寫成參數(shù)形式
。
方向?qū)?shù)定義為
- 三元函數(shù)的方向?qū)?shù)為
五棱貌、梯度
某點(diǎn)的梯度方向等于該點(diǎn)$\color{red}{方向?qū)?shù)取最大值的方向}箕肃。
梯度的模等于方向?qū)?shù)的最大值。
計(jì)算方法是
梯度又叫向量微分算子，或者Nabla算子错森。
六篮洁、條件極值——拉格朗日乘數(shù)法
輔助函數(shù)
有幾個(gè)條件，就寫幾個(gè)即可袁波。
分別求的一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0篷牌。
這里我雖然講的最少，但是卻是經(jīng)濟(jì)學(xué)中用的最多的。
