線性代數(shù)總結(jié)
線性代數(shù)知識(shí)學(xué)的時(shí)候不以為然碟刺，甚至覺(jué)得無(wú)非就是在一個(gè)框框里算算術(shù)而已沒(méi)意思。現(xiàn)在慢慢領(lǐng)悟線性代數(shù)薯酝，尤其是矩陣的性質(zhì)實(shí)在是太半沽！重！要吴菠！了者填！本文專門對(duì)基本常用概念做記錄，并且隨著遇到新矩陣問(wèn)題不斷更新做葵。
行列式總結(jié):
- 行列式一定是正方形的占哟；
- 對(duì)換行列式的兩行，行列式結(jié)果要變號(hào)蜂挪；
- 代數(shù)余子式：在n階行列式中重挑，把(i,j)元
所在的第i行和第j列劃去后嗓化，留下來(lái)的n-1階行列式叫做
(就是原行列式簡(jiǎn)單的劃掉一行和一列后剩下的東西)。元
刺覆。代數(shù)余子式和余子式之間的關(guān)系為：
矩陣總結(jié)
（1）基本內(nèi)容：
- 矩陣很多特殊操作严肪，尤其是牽扯到相應(yīng)行列式時(shí)，這個(gè)矩陣都是正方形的谦屑；
- 矩陣A的伴隨矩陣：矩陣A的各個(gè)元素位置由元素對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式代替驳糯，并做一次轉(zhuǎn)置后得到：
- 矩陣可逆判斷(充要條件1)：
；可逆矩陣 = 非奇異矩陣氢橙；逆矩陣求法：
克拉默法則：n個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)的正方形方程組酝枢，如果正方形系數(shù)矩陣A的行列式值不為0，即
解線性方程組矩陣的3種初等變換：1. 對(duì)換兩行袍患；2. 某行元素整體乘個(gè)系數(shù)k；3. 把做完2步的那一行加到另一行去竣付。初等變換不改變方程的解９钛印！即始終同解古胆。與行列式變換不同Ｋ亮肌！
矩陣可逆判斷(充要條件2)：矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等變換后逸绎，可以變成單位矩陣E惹恃；
（2）矩陣與線性方程組：
對(duì)應(yīng)線性方程組：
，右端矩陣b不為0是"非齊次線性方程組"桶良，為0就是"齊次線性方程組"座舍。系數(shù)矩陣A可以是正方形也可以是長(zhǎng)方形。
矩陣A(任意形狀)的子式：在mxn矩陣A中陨帆，任取k行k列(k≤m, k≤n)曲秉，位于這些行列交叉處的
個(gè)元素，不改變它們?cè)贏中所處的相對(duì)位置而得到k階行列式疲牵，稱為矩陣A的k階(主)子式承二。注意：子式是一個(gè)行列式，也就是說(shuō)它是一個(gè)具體的數(shù)值纲爸；
矩陣(主)子式與順序主子式：主子式/子式就是上面說(shuō)的亥鸠，取的行和列是沒(méi)有規(guī)律、隨便取的识啦；順序主子式：必須是從左上角往右下角取這樣變化：
矩陣A(任意形狀)的秩：矩陣A的最高階非0子式所對(duì)應(yīng)的階數(shù)r负蚊，就是矩陣A的秩。秩可記做：
颓哮；范圍是：
家妆；
-
秩的深刻意義：
- 矩陣A(任意形狀)的初等變換、轉(zhuǎn)置不會(huì)改變矩陣的秩冕茅；
- 矩陣A做初等變換后得到的行階梯矩陣伤极，矩陣A的秩 = 行階梯矩陣非0行的行數(shù)！一般就是用行階梯來(lái)求秩的姨伤；
秩在n元解線性方程組中的意義：不論正方形還是長(zhǎng)方形方程組
哨坪，都可以用"秩"來(lái)判斷方程解的情況：
注意一點(diǎn)：長(zhǎng)方形矩陣因?yàn)?方程個(gè)數(shù)"和"未知數(shù)個(gè)數(shù)"不相同且轨，所以會(huì)導(dǎo)致上面3種解的情況出現(xiàn)攻礼。
- 矩陣可逆判斷(充要條件3)：可逆矩陣的秩 = 階數(shù)，即為"滿秩矩陣"族壳；
（3）特殊矩陣類：都是方陣
- 正交矩陣(n階方陣)：如果n階方陣A滿足下面式子徒溪，則稱方陣A為正交矩陣：
-
正交矩陣的2條性質(zhì)：
- 若A為正交陣忿偷，則
和
都是正交矩陣(其實(shí)兩者相等)拧篮！并且正交矩陣的行列式為1，即
牵舱；
- 兩個(gè)正交陣相乘串绩，還是正交陣；
- 若A為正交陣忿偷，則
方陣特征值：設(shè)A為n階方陣芜壁，如果數(shù)
和n行非0列向量x滿足如下關(guān)系式礁凡，則稱數(shù)
要想求解"特征值"慧妄，就是求：這個(gè)1元n次方程顷牌；
-
方陣特征值的3條性質(zhì)：
- 所有特征值之和 = 矩陣A對(duì)角元素之和；
- 所有特征值乘積 = 矩陣A行列式的值塞淹；
- 若
的特征值窟蓝，則
是
特征值，
是
矩陣可逆判斷(充要條件4)：n個(gè)特征值全 ≠ 0运挫；
相似矩陣(2個(gè)n階方陣)：設(shè)
都是n階方陣套耕，若有可逆矩陣P谁帕，使得
稱為把
-
相似矩陣的2條性質(zhì)：
- 若
- 矩陣
康愤，若想滿足
儡循，即矩陣
- 若
-
實(shí)對(duì)稱矩陣性質(zhì)：
- 一定可以對(duì)角化择膝，對(duì)角陣元素為n個(gè)互不相等的特征值；
-
正定陣：特征值全為正的對(duì)稱陣调榄；或：各階"順序主子式"都>0的對(duì)稱陣踊赠；
-
正定矩陣3條性質(zhì)：
- (對(duì)稱)正定陣特征值都是正數(shù)筐带；
- (對(duì)稱)正定陣主元都是正數(shù)今穿；
-
；
（4）矩陣雜項(xiàng)類：
- 對(duì)角陣伦籍、上三角陣蓝晒、下三角陣腮出，行列式值都是對(duì)角元素乘積；
- 嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣：每一行中對(duì)角元素的值的模 > 其余元素值的模之和芝薇！即：
弱對(duì)角占優(yōu)矩陣：上面公式取
號(hào)胚嘲；
-
嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣的4條性質(zhì)：
- 若系數(shù)矩陣A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，則關(guān)于它的線性代數(shù)方程組有解洛二；
- 若系數(shù)矩陣A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣馋劈，則A為非奇異矩陣；
- 若系數(shù)矩陣A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣晾嘶，各階順序主子式必不為0妓雾；
- 若系數(shù)矩陣A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，雅克比迭代法垒迂、高斯-賽德?tīng)柕ê?<ω≤1的超松弛迭代法均收斂械姻。
共軛/Hermite矩陣：如果
，則稱矩陣為"對(duì)稱矩陣"机断；如果
楷拳，則稱矩陣為"共軛/Hermite矩陣"±艏椋可以看出兩者其實(shí)差別不大：實(shí)數(shù)域?qū)ΨQ矩陣與共軛矩陣是一回事唯竹。
第1次補(bǔ)充：
- 對(duì)于線性方程組
- 行之間對(duì)換：b要隨著一起變動(dòng)苦丁，x不用動(dòng)浸颓；
- 列之間對(duì)換：x要隨之一起變動(dòng)(例：A中2和3列互換, x中2和3行要一起變)，b不用動(dòng)旺拉。變完后的解x产上，順序與原方程是不一致的，要記得調(diào)換一下蛾狗！
