如果1加1等于1乎婿，2加2等于幾测僵？
自然數(shù)集是一個以1為初始元素，按+1運算定義后繼元素的無窮集合，每一個自然數(shù)n都存在一個后繼元素n+1, 例如捍靠，1的后繼是2沐旨，2的后繼是3，...
當1+1=1時榨婆，1的后繼元素變?yōu)樗约捍判?在內(nèi)的所有大于1的自然數(shù)都不再存在，于是良风，2+2這一運算無意義谊迄。
然而，當所有大于1的元素都被悉數(shù)摧毀烟央，從僅剩一個孤零零的1的自然數(shù)集這一冰冷寂寥的系統(tǒng)中實在難以生長出有趣的故事來统诺。
下面，我們嘗試換一種角度來解讀1+1=1這一假設(shè)：這一假設(shè)并不改變自然數(shù)的后繼關(guān)系定義疑俭，而是定義了一種新的加法運算篙议。
以示區(qū)別，新的加法運算用⊕表示怠硼，普通加法運算用+表示。于是移怯，1⊕1=1香璃， 2⊕2=3，3⊕3=5舟误，...
這種新的加法運算有什么用呢葡秒？在基本樂理中，一度音程表示同音反復嵌溢，兩個二度音程相加為一個三度音程眯牧，兩個三度音程相加為一個五度音程。由于這種新的加法運算正好可以描述音程的相加關(guān)系赖草，我將它命名為"音程加法"学少。
音程加法服從交換律
證明：
a⊕b
= a+b-1
= b+a-1
= b⊕a
音程加法服從結(jié)合律
證明：
a⊕b⊕c
= (a+b-1)⊕c
= a+b-1+c-1
= a+(b+c-1)-1
= a+(b⊕c)-1
= a⊕(b⊕c)
在音程加法的基礎(chǔ)上，可以定義音程乘法a?b為b個a相⊕秧骑，由
a?2 = a⊕a = a+a-1 = 2a-1
a?3 = a⊕a⊕a = (2a-1)⊕a
= (2a-1+a)-1 = 3a-2
猜想: a?b = ba - (b-1)
證明:
當b=1時版确，a?1=a, 猜想成立。
假設(shè)當b=n時猜想成立乎折，即a?n = na - (n-1)
當b=n+1時绒疗，
a?(n+1)
= a?n⊕a
= (na-(n-1))⊕a
= (na-(n-1)+a)-1
= (n+1)a - n
= (n+1)a - ((n+1)-1)，
猜想也成立骂澄，由歸納法可知猜想對一切自然數(shù)成立吓蘑。
音程乘法不服從交換律
證明:
3?2=5
2?3=4
3?2不等于2?3。
音程乘法不服從結(jié)合律
證明:
2?2?3=3?3=7
2?(2?3)=2?5=6
2?2?3不等于2?(2?3)坟冲。
最后磨镶，我們來證明音程加法和音程乘法服從分配律:
(a⊕b)?c
= (a+b-1)?c
= (a+b-1)c - (c-1)
= ac+bc-2c+1
= ac-(c-1)+bc-c
= a?c + bc-(c-1) -1
= a?c + b?c -1
= a?c⊕b?c
