2016年的諾貝爾獎頒發(fā)給了拓撲凝聚態(tài)物理纯陨，拓撲一時風靡全國政溃，各種拓撲概念炙手可熱趾访。拓撲中最為常見、也是最為強有力的理論工具當同調代數(shù)莫屬董虱。神圣網格問題的基本拓撲工具既包括微分拓撲中子流形的光滑浸入理論扼鞋、又包括代數(shù)拓撲中的同調理論。
一百多年以前愤诱，在龐加萊發(fā)明同調論的時候云头，世上沒有計算機，沒有有限元理論淫半，更遑論神圣網格問題溃槐。但是同調論的核心思想恰恰正好契合了神圣網格的核心問題，其恰切程度往往令人覺得同調論的發(fā)明正是為了解決神圣網格問題科吭。歷史如此驚人的巧合昏滴，再度驗證了抽象數(shù)學不可思議的普適性和實用性。今年的諾貝爾生理醫(yī)學獎得主大隅良典有一句名言：“科學并不從屬于技術”砌溺，另一方面影涉，技術的發(fā)展更應該以科學為指導，順應科學规伐。
同調論的觀點
十九世紀末葉蟹倾，在美麗的法國南錫，數(shù)學家拓撲學之父龐加萊思索著這樣一個問題：假如有一只具有高度智慧的螞蟻猖闪，生活在一張曲面之上鲜棠。因為螞蟻生活的空間是二維的，它也無法跳躍培慌，因此也沒有三維概念豁陆。那么這只螞蟻是否能夠判斷它生活的空間更像是一個蘋果（sphere）的表面，還是一個甜甜圈（torus）的表面吵护？對于生活在三維空間中的人類而言盒音，這一問題顯而易見，因為人類可以看到甜甜圈中間的“洞”馅而，或稱之為“環(huán)柄”祥诽，而蘋果沒有環(huán)柄。但是螞蟻無法跳離曲面瓮恭，因此看不到環(huán)柄雄坪。
龐加萊的問題可以如下理解：人類對照輪胎曲面和背景空間，看到了“洞”屯蹦，這是否意味著輪胎（torus）曲面的環(huán)柄（洞）和輪胎在三維背景空間中的嵌入方式有關维哈，而并非由輪胎曲面本身所內蘊決定绳姨？如果這樣，那么螞蟻只能觀測到曲面的內蘊信息阔挠，因此無法判定環(huán)柄的存在飘庄。
圖2. 同調的基本思想：邊和圈的差別。
龐加萊的想法是考察曲面上的封閉曲線谒亦，即首尾相連的“圈”竭宰。曲面上的子區(qū)域的邊界我們稱為“邊”空郊，所有的“邊”必然是“圈”份招，但是有些“圈”未必是“邊”。如圖2所示狞甚，球面上所有的圈都圍繞著子區(qū)域锁摔，換言之，球面上所有的圈都是邊哼审；但是谐腰，輪胎表面上有些圈是邊，如曲線c涩盾，有些圈不是邊十气，如曲線a和b。（如果我們沿著圈a將輪胎切開春霍，我們會得到一個圓柱曲面砸西，圓柱曲面的邊界包含上下兩個圈，因此圈a本身并不是圓柱的邊界址儒。）由此芹枷，龐加萊的解答就是令螞蟻考察曲面上
圈和邊的差別
如果封閉曲面上所有的圈都是邊，那么曲面必為球面莲趣，反之鸳慈，曲面上具有環(huán)柄。
圖3. 曲面的四邊形網格化（Leif Kobbelt）喧伞。
六面體網格化問題
圖4. 六面體網格化走芋。
在計算機輔助工程領域（CAE），為了預測機械設計的性能潘鲫，人們將機械零件剖分成六面體網格翁逞，然后用有限元方法（FEM）來求解偏微分方程。解的精確度和求解過程的效率很大程度上取決于網格化的質量次舌。在工程實踐中熄攘，人們經常將實體分解成許多零件，分別剖分每個零件彼念，然后再整合挪圾。這就需要剖分在各個零件之間相交的界面上相互一致浅萧。一種常見的方法是先在各個零件表面上設計彼此一致的四邊形網格，然后將表面的四邊形網格向體內拓展成六面體網格哲思，同時在拓展過程中保持表面四邊形網格不變洼畅。這樣，自然地引發(fā)了下面的問題：
在過去的二十年間棚赔，學者和工程師們堅持不懈地尋求這一問題的解答帝簇。最終，在2014年靠益，Jeff Erickson教授用同調的語言對這個基本問題給出了最為精確丧肴、最為簡潔的回答。
零調鏈奇偶性條件
圖5. 曲面光滑浸入胧后，穩(wěn)定橫截相交芋浮，奇異點的分類。
圖6. 瑟斯頓的手術壳快，消除分支奇異點【3】纸巷。
圖7. 高虧格曲面上的環(huán)柄圈（handleloop， 綠色）和隧道圈（tunnelloop眶痰， 紅色）瘤旨。（孫劍作）
Thurston-Mitchell的理論可以被看成是Erickson理論的特例，因為球面上所有的圈都是邊竖伯，四邊形網格的所有2-鏈都由四邊形組成存哲，其邊界必然有偶數(shù)條邊，因此（3）自動滿足黔夭，從而得出（1）和（2）也自動滿足宏胯。
圖8. Mitchell's 輪胎【1】。
Erickson的理論表明了一個四邊形網格Q是否能夠拓展成一個六面體網格H本姥，不僅取決于Q的組合結構肩袍，同時也取決于在背景空間中的嵌入方式。如圖8所示婚惫，Mitchell給出了一個輪胎的四邊形網格氛赐，其在空間中有兩種嵌入方式，左側的嵌入無法拓展成六面體網格先舷；右側的嵌入方式卻可以艰管。
構造性證明
基于同調理論的存在性證明簡潔抽象，但是并不直觀蒋川，同時無法直接轉換成實用的算法牲芋。Eppstein【4】給出了一種構造性方法，后來Erickson加以改進【3】。這種構造方法非常曲折缸浦，如果沒有理論的存在性證明夕冲，相信Eppstein很難堅持到最后。
圖9. 每個四面體被劈開成四個六面體裂逐。
圖11. 截面增厚歹鱼。
第四步：我們在Q尋找子圖G，使得每個面和這個子圖G有兩個或者三個公共邊卜高。
小結
從以上討論我們可以看出弥姻，四邊形網格Q可拓展到六面體網格H的充分必要條件是Q的對偶是H的對偶的邊緣，亦即Q的對偶是零調的掺涛。這正是同調理論的核心觀點庭敦。再加上H對偶的浸入應該排除分支奇異點，由此得到了奇偶性條件鸽照。這基本概括了過去二十年間螺捐，在六面體網格生成領域的理論進展颠悬，可以用艱辛而緩慢來形容矮燎。
但是，Thurston-Mitchell-Erickson-Eppstein的理論主要關注非結構的六面體網格赔癌，在工程實踐中诞外，人們真正關注的是結構化的六面體網格。結構化六面體網格具有更加苛刻的條件灾票，需要更為深刻的洞察和使用更加復雜的理論工具峡谊。我們在下一講會仔細講解。
