- 線性系統(tǒng)理論
- 常用矩陣運算
線性系統(tǒng)理論
1.線性系統(tǒng)
系統(tǒng)輸入x(t)及響應(yīng)y(t)滿足：
- 齊次性：ax -> ay（a為常數(shù)）忙厌，輸入擴大a倍，對應(yīng)輸出擴大a倍
- 疊加性：x1+x2->y1+y2
則牲距，系統(tǒng)為線性系統(tǒng)返咱，具有線性性質(zhì)：a1x1+a2x2 -> a1y1+a2y2，否則為非線性系統(tǒng)（非線性系統(tǒng)復(fù)雜得多牍鞠，很多情況下將其分段看做是線性的）
許多圖像處理系統(tǒng)可以用線性系統(tǒng)作為模型咖摹。
2.線性空間不變系統(tǒng)（Linear Space Invariant，LSI）
類比信號處理中的線性時不變系統(tǒng)难述。只不過圖像處理中是空間線性不變系統(tǒng)楞艾。
3.卷積
d(x,y)(沖擊信號/函數(shù)) -> 線性時不變系統(tǒng) -> h(x,y)，此處delta函數(shù)為激勵龄广，h為響應(yīng)，也叫系統(tǒng)函數(shù)蕴侧。如圖一
意義：對于線性時不變系統(tǒng)择同，任意的輸入信號f(x,y)的響應(yīng)y(x,y)等于f(x,y)和系統(tǒng)函數(shù)的卷積。
卷積的應(yīng)用：
- 卷積濾波：平滑净宵，邊緣增強
- 去卷積（圖像成像及退化模型）
圖像處理中敲才，卷積模板就是線性系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，每個像素點可以看做一個輸入择葡，它的輸出可以通過輸入[卷積紧武，一種積分預(yù)算]系統(tǒng)函數(shù)得到。3*3的模板作用就相當(dāng)于最中間點通過系統(tǒng)的響應(yīng)實際是周圍所有點(輸入信號)的響應(yīng)在空間上(若是線性時不變系統(tǒng)就是時間上的)衰減的疊加再加上該點自身的響應(yīng)敏储，這是從信號分析的角度阻星，結(jié)合卷積的物理意義，那么事實上也就是說圖像中的任意像素點應(yīng)該是其他所有點的響應(yīng)衰減疊加已添，再加上本身在這個空間點的響應(yīng)妥箕，這也是卷積的定義，但我們只取最近鄰的8個方向的點（最近的影響最大更舞，遠(yuǎn)處的響應(yīng)波及到該點時認(rèn)為衰減過大畦幢，影響已經(jīng)很小了），所以卷積模板只取3*3缆蝉，當(dāng)然也可以5*5宇葱，再大可能就意義不大了瘦真，相當(dāng)于在拘泥于高階無窮小量的影響。
4.調(diào)諧信號
簡化線性系統(tǒng)分析黍瞧，常用于表示正弦信號诸尽。如圖二所示
這個信號相當(dāng)于單位長度在復(fù)平面的轉(zhuǎn)動，因為圓周轉(zhuǎn)動的結(jié)果就是正弦函數(shù)雷逆。所以用調(diào)諧信號來表示正弦信號弦讽。（這里為什么只取實部？觀察整個轉(zhuǎn)動在實軸的投影膀哲，它就是正弦函數(shù)往产，復(fù)軸也是，但是我們只取實數(shù)部分）某宪。
線性系統(tǒng)對調(diào)諧輸入的響應(yīng)：x為輸入仿村，K為系統(tǒng)函數(shù)，y為輸出兴喂，如下圖三
這里K也叫傳遞函數(shù)蔼囊，可以看出K與t無關(guān)，因為K(w,t-T)=K(w,t)衣迷，這里T可以任意任饭摹（x2可以相對x1向后任意延時激活），故K認(rèn)為只與w有關(guān)壶谒。
實際信號還是正弦信號云矫，但是可以通過調(diào)諧信號為橋梁進(jìn)行計算：
- 將輸入的正弦信號表示成調(diào)諧信號
- 計算線性系統(tǒng)對該調(diào)諧輸入的響應(yīng)
- 取輸出的實部就是真正的輸出（原正弦信號對應(yīng)的輸出）
線性移不變系統(tǒng)性質(zhì)：
- 調(diào)諧輸入總產(chǎn)生同頻率的調(diào)諧輸出，不會產(chǎn)生其他頻率分量汗菜。
- 傳遞函數(shù)[k(w)]對調(diào)諧信號輸入只產(chǎn)生兩種影響让禀，幅度變換和相位平移。
線性移不變系統(tǒng)的表現(xiàn)形式：本質(zhì)是相同統(tǒng)一的陨界。
- 復(fù)數(shù)形式的傳遞函數(shù)K(w)
- 實數(shù)形式的卷積沖擊響應(yīng)巡揍。
常用函數(shù)：
- 矩形函數(shù)
- 三角脈沖
- 高斯函數(shù)
- 沖激函數(shù)delta function：持續(xù)時間無窮小，瞬間幅度無窮大菌瘪，面積恒為1的理想信號
- 階躍函數(shù)
常用矩陣運算
1.矩陣腮敌、方陣、對角陣麻车、上下三角矩陣缀皱、單位矩陣
2.運算
線性運算
- 加法：對應(yīng)元素相加
- 數(shù)乘矩陣：數(shù)乘每一個矩陣元素，滿足結(jié)合律动猬，分配律
非線性運算
- 矩陣乘法
- 轉(zhuǎn)置運算
對稱
- 對稱矩陣：A等于A的轉(zhuǎn)置
- 反對稱矩陣：-A等于A的轉(zhuǎn)置
逆矩陣：方陣討論啤斗，若AB=BA=E，則AB互為逆矩陣赁咙，A钮莲、B可逆免钻，逆矩陣用-1次冪表示。
對角陣的逆直接取對角元素的倒數(shù)（對角元素不為0）崔拥，副對角線的話同理极舔，但需要交換次序。
