第一天復(fù)習(xí)數(shù)值分析計(jì)算和第二章插值法兴垦。
1.什么是絕對(duì)誤差恩沛？
比如x=1.23,x*=1.234,則絕對(duì)誤差為|1.234-1.23|=0.04
2.什么是相對(duì)誤差？
3.什么是有效數(shù)字？
例子：寫出下列個(gè)數(shù)的具有3位有效數(shù)字的近似值
18.93，0.03456拧廊，8.0032
則它的三位有效數(shù)字分別為 18.9杂穷，0.0345，8.00卦绣。
注意：0.2300是四位有效數(shù)字
4.什么是插值？
其中[a,b]為插值區(qū)間飞蚓，x1,x2,.....xn為插值節(jié)點(diǎn)滤港。
最終求得的P(xi)=f(xi),i=1,2,....n
則稱P(x)為f(x)的插值函數(shù)
5.基函數(shù)插值法
基函數(shù)法基本步驟
1.尋找合適的基函數(shù)
2.確定插值多項(xiàng)式在這組基下的表示系數(shù)
6.單項(xiàng)式基函數(shù)
利用線性無關(guān)的單項(xiàng)族：1,x,x^2,....,x^n.
構(gòu)造n次多項(xiàng)式：f(x)=a0+a1*x+a2*x+......+an*x^n.
7.Lagrange插值基函數(shù)。
8.線性與拋物線插值
插值舉例：已知函數(shù)y=lnx的函數(shù)值如下
為了減小截?cái)嗾`差趴拧，通常選取插值點(diǎn)x鄰接的插值節(jié)點(diǎn)溅漾。
拋物線插值，取x0=0.4,x1=0.5,x2=0.6,可得
ln0.54=-0.6153
9.誤差估計(jì)
Rn(x)=f(x)-Ln(x),Rn(x)為插值余項(xiàng)著榴。
10.插值余項(xiàng)
插值誤差舉例
已知函數(shù)y=ln(x)的函數(shù)值如下
試估計(jì)線性插值和拋物線插值計(jì)算ln0.54的誤差添履。
11.Newton插值
為什么要用Newton插值？
Lagrange插值簡單易用脑又，但若要增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)暮胧，全部基函數(shù)lk(x)都需重新計(jì)算，不太方便问麸。
解決方法：設(shè)計(jì)一個(gè)可以逐次生成插值多項(xiàng)式的算法往衷，即n次插值多項(xiàng)式可以由n-1次插值多項(xiàng)式生成，Newton插值法严卖。
新的基函數(shù)
1.設(shè)插值節(jié)點(diǎn)為x0,.....xn.考慮插值基函數(shù)組席舍。
2.當(dāng)增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)xn+1時(shí)，只需要加上基函數(shù)
3.此時(shí)f(x）的n次插值多項(xiàng)式為
其中哮笆，需要注意的只有兩點(diǎn)
1.如何從pn-1(x)得到pn(x)?
2.怎樣確定參數(shù)a0,........,an?
->需要用到差商
12.什么是差商来颤？
差商的性質(zhì)
差商的計(jì)算
舉例
計(jì)算過程：
13.Newtow插值公式
14.Newton/Lagrange插值多項(xiàng)式
舉例：
試分別用牛頓線性插值和拋物線線性插值計(jì)算ln(0.54)的近似值。
可以看出稠肘，當(dāng)增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)福铅，牛頓插值公式只需在原來的出上增加一項(xiàng)，前面的計(jì)算結(jié)果仍然可以使用启具。于拉格朗日插值相比本讥，牛頓插值具有靈活增加節(jié)點(diǎn)的優(yōu)點(diǎn)！注意：增加插值節(jié)點(diǎn)時(shí)鲁冯，須加在已有插值節(jié)點(diǎn)的后面拷沸！
