本文以一種通俗簡(jiǎn)單的方式介紹Ken Perlin的改進(jìn)版柏林噪聲算法姐赡，算法代碼采用c#編寫(xiě)，開(kāi)源免費(fèi)使用柠掂。如果你只是想看完整代碼项滑，點(diǎn)擊這里。
柏林噪聲是一個(gè)非常強(qiáng)大算法涯贞，經(jīng)常用于程序生成隨機(jī)內(nèi)容枪狂，在游戲和其他像電影等多媒體領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。算法發(fā)明者Ken Perlin也因此算法獲得奧斯卡科技成果獎(jiǎng)（靠算法拿奧斯卡也是沒(méi)誰(shuí)了666）宋渔。本文將剖析他于2002年發(fā)表的改進(jìn)版柏林噪聲算法州疾。在游戲開(kāi)發(fā)領(lǐng)域，柏林噪聲可以用于生成波形皇拣，起伏不平的材質(zhì)或者紋理严蓖。例如薄嫡，它能用于程序生成地形（例如使用柏林噪聲來(lái)生成我的世界（Minecraft）里的地形），火焰燃燒特效颗胡，水和云等等毫深。柏林噪聲絕大部分應(yīng)用在2維，3維層面上毒姨，但某種意義上也能拓展到4維哑蔫。柏林噪聲在1維層面上可用于卷軸地形、模擬手繪線條等弧呐。
如果將柏林噪聲拓展到4維層面闸迷，以第4維，即w軸代表時(shí)間泉懦，就能利用柏林噪聲做動(dòng)畫(huà)稿黍。例如疹瘦，2D柏林噪聲可以通過(guò)插值生成地形崩哩，而3D柏林噪聲則可以模擬海平面上起伏的波浪。下面是柏林噪聲在不同維度的圖像以及在游戲中的應(yīng)用場(chǎng)景言沐。
| 噪聲維度 | 原始噪聲（灰階） | 游戲應(yīng)用 |
|---|---|---|
| 1 |  |
 使用噪聲進(jìn)行偏移邓嘹，制造手繪效果
|
| 2 |  |
 制造火焰燃燒特效
|
| 3 |  |
 最普遍的運(yùn)用莫過(guò)于生成游戲里的隨機(jī)地形
|
正如圖所示，柏林噪聲算法可以用來(lái)模擬許多自然中的噪聲現(xiàn)象险胰。接下來(lái)讓我們從數(shù)理上分析算法的實(shí)現(xiàn)原理汹押。
基本原理
注意：事先聲明，本節(jié)內(nèi)容大多源于this wonderful article by Matt Zucker起便，不過(guò)該篇文章內(nèi)容也是建立在1980年所發(fā)明的柏林噪聲算法基礎(chǔ)上的棚贾。本文我將使用2002年發(fā)明的改進(jìn)版柏林噪聲算法。因此榆综，我的算法版本跟Zucker的版本會(huì)有些不同妙痹。
讓我們從最基本的柏林噪聲函數(shù)看起：
public double perlin(double x, double y, double z);
函數(shù)接收x,y,z三個(gè)坐標(biāo)分量作為輸入，并返回0.0~1.0的double值作為輸出鼻疮。那我們應(yīng)該怎么處理輸入值怯伊？首先，我們?nèi)?個(gè)輸入值x,y,z的小數(shù)點(diǎn)部分判沟，就可以表示為單元空間里的一個(gè)點(diǎn)了耿芹。為了方便講解，我們將問(wèn)題降維到2維空間來(lái)討論（原理是一樣的）挪哄，下圖是該點(diǎn)在2維空間上的表示：
接著，我們給4個(gè)頂點(diǎn)（在3維空間則是8個(gè)頂點(diǎn)）各自生成一個(gè)偽隨機(jī)的梯度向量迹炼。梯度向量代表該頂點(diǎn)相對(duì)單元正方形內(nèi)某點(diǎn)的影響是正向還是反向的（向量指向方向?yàn)檎蚩艿椋喾捶较驗(yàn)榉聪颍６鴤坞S機(jī)是指，對(duì)于任意組相同的輸入拿霉，必定得到相同的輸出吟秩。因此，雖然每個(gè)頂點(diǎn)生成的梯度向量看似隨機(jī)绽淘，實(shí)際上并不是涵防。這保證了*在生成函數(shù)不變的情況下，每個(gè)坐標(biāo)的梯度向量都是確定不變的沪铭。
舉個(gè)例子來(lái)理解偽隨機(jī)壮池，比如我們從圓周率π（3.14159...）的小數(shù)部分中隨機(jī)抽取某一位數(shù)字，結(jié)果看似隨機(jī)杀怠，但如果抽取小數(shù)點(diǎn)后1位椰憋，結(jié)果必定為1；抽取小數(shù)點(diǎn)后2位赔退，結(jié)果必定為4橙依。
請(qǐng)注意，上圖所示的梯度向量并不是完全準(zhǔn)確的硕旗。在本文所介紹的改進(jìn)版柏林噪聲中窗骑，這些梯度向量并不是完全隨機(jī)的，而是由單位正方體（3維）的中心點(diǎn)指向各條邊中點(diǎn)的12個(gè)向量：
(1,1,0),(-1,1,0),(1,-1,0),(-1,-1,0), (1,0,1),(-1,0,1),(1,0,-1),(-1,0,-1), (0,1,1),(0,-1,1),(0,1,-1),(0,-1,-1)
采用這些特殊梯度向量的原因在Ken Perlin's SIGGRAPH 2002 paper: Improving Noise這篇文章里有具體講解漆枚。
注意：許多介紹柏林噪聲算法的文章都是根據(jù)最初版柏林噪聲算法來(lái)講解的创译，其預(yù)定義的梯度表不是本文所說(shuō)的這12個(gè)向量。如圖2所示的梯度向量就是最初版算法所隨機(jī)出來(lái)的梯度向量墙基，不過(guò)這兩種算法的原理都是一樣的软族。
接著，我們需要求出另外4個(gè)距離向量（在3維空間則是8個(gè)）残制，它們分別從各頂點(diǎn)指向輸入點(diǎn)（藍(lán)色點(diǎn)）立砸。下面有個(gè)2維空間下的例子：
對(duì)每個(gè)頂點(diǎn)的梯度向量和距離向量做點(diǎn)積運(yùn)算，就可以得出每個(gè)頂點(diǎn)的影響值：
grad.x * dist.x + grad.y * dist.y + grad.z * dist.z
這正是算法所需要的值痘拆，點(diǎn)積運(yùn)算為兩向量長(zhǎng)度之積仰禽，再乘以兩向量夾角余弦：
dot(vec1,vec2) = cos(angle(vec1,vec2)) * vec1.length * vec2.length
換句話說(shuō)，如果兩向量指向同一方向纺蛆，點(diǎn)積結(jié)果為：
1 * vec1.length * vec2.length
如果兩向量指向相反方向吐葵，則點(diǎn)積結(jié)果為：
-1 * vec1.length * vec2.length
如果兩向量互相垂直，則點(diǎn)積結(jié)果為0桥氏。
0 * vec1.length * vec2.length
點(diǎn)積也可以理解為向量a在向量b上的投影温峭，當(dāng)距離向量在梯度向量上的投影為同方向，點(diǎn)積結(jié)果為正數(shù)字支；當(dāng)距離向量在梯度向量上的投影為反方向凤藏，點(diǎn)積結(jié)果為負(fù)數(shù)奸忽。因此，通過(guò)兩向量點(diǎn)積揖庄，我們就知道該頂點(diǎn)的影響值是正還是負(fù)的栗菜。不難看出，頂點(diǎn)的梯度向量直接決定了這一點(diǎn)蹄梢。下面通過(guò)一副彩色圖疙筹，直觀地看下各頂點(diǎn)的影響值：
下一步，我們需要對(duì)4個(gè)頂點(diǎn)的影響值做插值禁炒，求得加權(quán)平均值（在3維空間則是8個(gè)）而咆。算法非常簡(jiǎn)單（2維空間下的解法）：
// Below are 4 influence values in the arrangement:
// [g1] | [g2]
// -----------
// [g3] | [g4]
int g1, g2, g3, g4;
int u, v; // These coordinates are the location of the input coordinate in its unit square.
// For example a value of (0.5,0.5) is in the exact center of its unit square.
int x1 = lerp(g1,g2,u);
int x2 = lerp(g3,h4,u);
int average = lerp(x1,x2,v);
至此，整個(gè)柏林噪聲算法還剩下最后一塊拼圖了：如果直接使用上述代碼幕袱，由于是采用lerp線性插值計(jì)算得出的值暴备，雖然運(yùn)行效率高，但噪聲效果不好们豌，看起來(lái)會(huì)不自然涯捻。我們需要采用一種更為平滑，非線性的插值函數(shù)：fade函數(shù)玛痊，通常也被稱為ease curve(也作為緩動(dòng)函數(shù)在游戲中廣泛使用)：
ease curve的值會(huì)用來(lái)計(jì)算前面代碼里的u和v汰瘫，這樣插值變化不再是單調(diào)的線性變化狂打，而是這樣一個(gè)過(guò)程：初始變化慢擂煞，中間變化快，結(jié)尾變化又慢下來(lái)（也就是在當(dāng)數(shù)值趨近于整數(shù)時(shí)趴乡，變化變慢）对省。這個(gè)用于改善柏林噪聲算法的fade函數(shù)可以表示為以下數(shù)學(xué)形式：
基本上，這就是整個(gè)柏林噪聲算法的原理了晾捏！搞清了算法的各個(gè)實(shí)現(xiàn)關(guān)鍵步驟后蒿涎，現(xiàn)在讓我們著手把代碼實(shí)現(xiàn)出來(lái)。
代碼實(shí)現(xiàn)
在本節(jié)開(kāi)始前我需要重申一遍惦辛，代碼實(shí)現(xiàn)是C#版本劳秋。相比Ken Perlin的Java版本實(shí)現(xiàn)做了小小的改動(dòng)，主要是增加了代碼的整潔性和可讀性胖齐，支持噪聲重復(fù)（瓦片重復(fù)）特性玻淑。代碼完全開(kāi)源，可免費(fèi)使用（考慮到這畢竟不是我原創(chuàng)發(fā)明的算法 - Ken Perlin才是Ｑ交铩）
準(zhǔn)備工作
第一步补履，我們需要先聲明一個(gè)排列表（permutation table），或者直接縮寫(xiě)為p[]數(shù)組就行了剿另。數(shù)組長(zhǎng)度為256箫锤，分別隨機(jī)贬蛙、無(wú)重復(fù)地存放了0-255這些數(shù)值。為了避免緩存溢出谚攒，我們?cè)僦貜?fù)填充一次數(shù)組的值阳准，所以數(shù)組最終長(zhǎng)度為512：
private static readonly int[] permutation = { 151,160,137,91,90,15, // Hash lookup table as defined by Ken Perlin. This is a randomly
131,13,201,95,96,53,194,233,7,225,140,36,103,30,69,142,8,99,37,240,21,10,23, // arranged array of all numbers from 0-255 inclusive.
190, 6,148,247,120,234,75,0,26,197,62,94,252,219,203,117,35,11,32,57,177,33,
88,237,149,56,87,174,20,125,136,171,168, 68,175,74,165,71,134,139,48,27,166,
77,146,158,231,83,111,229,122,60,211,133,230,220,105,92,41,55,46,245,40,244,
102,143,54, 65,25,63,161, 1,216,80,73,209,76,132,187,208, 89,18,169,200,196,
135,130,116,188,159,86,164,100,109,198,173,186, 3,64,52,217,226,250,124,123,
5,202,38,147,118,126,255,82,85,212,207,206,59,227,47,16,58,17,182,189,28,42,
223,183,170,213,119,248,152, 2,44,154,163, 70,221,153,101,155,167, 43,172,9,
129,22,39,253, 19,98,108,110,79,113,224,232,178,185, 112,104,218,246,97,228,
251,34,242,193,238,210,144,12,191,179,162,241, 81,51,145,235,249,14,239,107,
49,192,214, 31,181,199,106,157,184, 84,204,176,115,121,50,45,127, 4,150,254,
138,236,205,93,222,114,67,29,24,72,243,141,128,195,78,66,215,61,156,180
};
private static readonly int[] p; // Doubled permutation to avoid overflow
static Perlin() {
p = new int[512];
for(int x=0;x<512;x++) {
p[x] = permutation[x%256];
}
}
p[]數(shù)組會(huì)在算法后續(xù)的哈希計(jì)算中使用到，用于確定一組輸入最終挑選哪個(gè)梯度向量（從前面所列出的12個(gè)梯度向量中挑選）馏臭。后續(xù)代碼會(huì)詳細(xì)展示p[]數(shù)組的用法溺职。
接著，我們開(kāi)始聲明柏林噪聲函數(shù)：
public double perlin(double x, double y, double z) {
if(repeat > 0) { // If we have any repeat on, change the coordinates to their "local" repetitions
x = x%repeat;
y = y%repeat;
z = z%repeat;
}
int xi = (int)x & 255; // Calculate the "unit cube" that the point asked will be located in
int yi = (int)y & 255; // The left bound is ( |_x_|,|_y_|,|_z_| ) and the right bound is that
int zi = (int)z & 255; // plus 1. Next we calculate the location (from 0.0 to 1.0) in that cube.
double xf = x-(int)x;
double yf = y-(int)y;
double zf = z-(int)z;
// ...
}
上面的代碼很直觀位喂。首先浪耘，對(duì)輸入坐標(biāo)使用求余運(yùn)算符%，求出[0,repeat)范圍內(nèi)的余數(shù)塑崖。聲明xi, yi, zi三個(gè)變量七冲。它們代表了輸入坐標(biāo)落在了哪個(gè)單元正方形里。我們還要限制坐標(biāo)在[0,255]這個(gè)范圍內(nèi)规婆，避免訪問(wèn)數(shù)組p[]時(shí)澜躺，出現(xiàn)數(shù)組越界錯(cuò)誤。這也產(chǎn)生了一個(gè)副作用：柏林噪聲每隔256個(gè)整數(shù)就會(huì)再次重復(fù)抒蚜。但這不是太大的問(wèn)題掘鄙，因?yàn)樗惴ú粌H能處理整數(shù)，還能處理小數(shù)嗡髓。最后操漠，我們通過(guò)xf, yf, zf三個(gè)變量（也就是x,y,z的小數(shù)部分值），確定了輸入坐標(biāo)在單元正方體里的空間位置（就是前面所示的小藍(lán)點(diǎn)）饿这。
Fade函數(shù)
現(xiàn)在我們需要用代碼表示前面所提到的fade函數(shù)（圖5）浊伙。正如上文所提，函數(shù)的數(shù)學(xué)表示：
代碼實(shí)現(xiàn)如下：
public static double fade(double t) {
// Fade function as defined by Ken Perlin. This eases coordinate values
// so that they will ease towards integral values. This ends up smoothing
// the final output.
return t * t * t * (t * (t * 6 - 15) + 10); // 6t^5 - 15t^4 + 10t^3
}
public double perlin(double x, double y, double z) {
// ...
double u = fade(xf);
double v = fade(yf);
double w = fade(zf);
// ...
}
代碼所計(jì)算得出的u / v / w變量將在后面的插值計(jì)算中使用到长捧。
哈希函數(shù)
哈希函數(shù)的作用就在于給每組輸入計(jì)算返回一個(gè)唯一嚣鄙、確定值。哈希函數(shù)在維基百科的定義如下：
哈希函數(shù)是一種從任何一種數(shù)據(jù)中創(chuàng)建小的數(shù)字“指紋”的方法串结，輸入數(shù)據(jù)有任何細(xì)微的不同哑子，都會(huì)令輸出結(jié)果完全不一樣
下面代碼就是柏林噪聲算法所使用的哈希函數(shù)。它使用了早前我們聲明的p[]數(shù)組：
public double perlin(double x, double y, double z) {
// ...
int aaa, aba, aab, abb, baa, bba, bab, bbb;
aaa = p[p[p[ xi ]+ yi ]+ zi ];
aba = p[p[p[ xi ]+inc(yi)]+ zi ];
aab = p[p[p[ xi ]+ yi ]+inc(zi)];
abb = p[p[p[ xi ]+inc(yi)]+inc(zi)];
baa = p[p[p[inc(xi)]+ yi ]+ zi ];
bba = p[p[p[inc(xi)]+inc(yi)]+ zi ];
bab = p[p[p[inc(xi)]+ yi ]+inc(zi)];
bbb = p[p[p[inc(xi)]+inc(yi)]+inc(zi)];
// ...
}
public int inc(int num) {
num++;
if (repeat > 0) num %= repeat;
return num;
}
代碼的哈希函數(shù)肌割，對(duì)包圍著輸入坐標(biāo)（小藍(lán)點(diǎn)）的周?chē)?個(gè)單元正方形的索引坐標(biāo)進(jìn)行了哈希計(jì)算卧蜓。inc()函數(shù)用于將輸入值增加1，同時(shí)保證范圍在[0,repeat)內(nèi)声功。如果不需要噪聲重復(fù)烦却，inc()函數(shù)可以簡(jiǎn)化成單純將輸入值增加1。由于哈希結(jié)果值是從p[]數(shù)組中得到的先巴，所以哈希函數(shù)的返回值范圍限定在[0,255]內(nèi)其爵。
梯度函數(shù)
我時(shí)常認(rèn)為Ken Perlin的最初版算法里的grad()函數(shù)寫(xiě)法過(guò)于復(fù)雜冒冬，令人費(fèi)解。我們只要明白grad()函數(shù)的作用在于計(jì)算隨機(jī)選取的梯度向量以及頂點(diǎn)位置向量的點(diǎn)積摩渺。Ken Perlin巧妙地使用了位翻轉(zhuǎn)(bit-flipping)技巧來(lái)實(shí)現(xiàn)：
public static double grad(int hash, double x, double y, double z) {
int h = hash & 15; // Take the hashed value and take the first 4 bits of it (15 == 0b1111)
double u = h < 8 /* 0b1000 */ ? x : y; // If the most significant bit (MSB) of the hash is 0 then set u = x. Otherwise y.
double v; // In Ken Perlin's original implementation this was another conditional operator (?:). I
// expanded it for readability.
if(h < 4 /* 0b0100 */) // If the first and second significant bits are 0 set v = y
v = y;
else if(h == 12 /* 0b1100 */ || h == 14 /* 0b1110*/) // If the first and second significant bits are 1 set v = x
v = x;
else // If the first and second significant bits are not equal (0/1, 1/0) set v = z
v = z;
return ((h&1) == 0 ? u : -u)+((h&2) == 0 ? v : -v); // Use the last 2 bits to decide if u and v are positive or negative. Then return their addition.
}
下面代碼則是以另一種令人容易理解的方式完成了這個(gè)任務(wù)（而且在很多語(yǔ)言版本的運(yùn)行效率都優(yōu)于前面一種）：
// Source: http://riven8192.blogspot.com/2010/08/calculate-perlinnoise-twice-as-fast.html
public static double grad(int hash, double x, double y, double z)
{
switch(hash & 0xF)
{
case 0x0: return x + y;
case 0x1: return -x + y;
case 0x2: return x - y;
case 0x3: return -x - y;
case 0x4: return x + z;
case 0x5: return -x + z;
case 0x6: return x - z;
case 0x7: return -x - z;
case 0x8: return y + z;
case 0x9: return -y + z;
case 0xA: return y - z;
case 0xB: return -y - z;
case 0xC: return y + x;
case 0xD: return -y + z;
case 0xE: return y - x;
case 0xF: return -y - z;
default: return 0; // never happens
}
}
以上的源碼可以點(diǎn)擊這里查看简烤。無(wú)論如何，上面的兩種實(shí)現(xiàn)并沒(méi)有實(shí)質(zhì)差別摇幻。他們都是從以下12個(gè)向量里隨機(jī)挑選一個(gè)作為梯度向量：
(1,1,0),(-1,1,0),(1,-1,0),(-1,-1,0), (1,0,1),(-1,0,1),(1,0,-1),(-1,0,-1), (0,1,1),(0,-1,1),(0,1,-1),(0,-1,-1)
隨機(jī)挑選結(jié)果其實(shí)取決于前一步所計(jì)算得出的哈希值（grad()函數(shù)的第一個(gè)參數(shù)）横侦。后面3個(gè)參數(shù)則代表由輸入點(diǎn)指向頂點(diǎn)的距離向量（最終拿來(lái)與梯度向量進(jìn)行點(diǎn)積）。
插值整合
經(jīng)過(guò)前面的幾步計(jì)算绰姻，我們得出了8個(gè)頂點(diǎn)的影響值枉侧，并將它們進(jìn)行平滑插值，得出了最終結(jié)果：
public double perlin(double x, double y, double z) {
// ...
double x1, x2, y1, y2;
x1 = lerp( grad (aaa, xf , yf , zf), // The gradient function calculates the dot product between a pseudorandom
grad (baa, xf-1, yf , zf), // gradient vector and the vector from the input coordinate to the 8
u); // surrounding points in its unit cube.
x2 = lerp( grad (aba, xf , yf-1, zf), // This is all then lerped together as a sort of weighted average based on the faded (u,v,w)
grad (bba, xf-1, yf-1, zf), // values we made earlier.
u);
y1 = lerp(x1, x2, v);
x1 = lerp( grad (aab, xf , yf , zf-1),
grad (bab, xf-1, yf , zf-1),
u);
x2 = lerp( grad (abb, xf , yf-1, zf-1),
grad (bbb, xf-1, yf-1, zf-1),
u);
y2 = lerp (x1, x2, v);
return (lerp (y1, y2, w)+1)/2; // For convenience we bind the result to 0 - 1 (theoretical min/max before is [-1, 1])
}
// Linear Interpolate
public static double lerp(double a, double b, double x) {
return a + x * (b - a);
}
利用倍頻實(shí)現(xiàn)更自然的噪聲
最后讓我們?cè)偎伎枷驴裼螅饲懊嫠v的計(jì)算榨馁，還有其他辦法可以令噪聲結(jié)果更加自然嗎？雖然柏林噪聲算法一定程度上模擬了自然噪聲帜矾，但仍沒(méi)有完全表現(xiàn)出自然噪聲的不規(guī)律性翼虫。舉個(gè)現(xiàn)實(shí)例子，現(xiàn)實(shí)地形會(huì)有大段連綿屡萤、高聳的山地珍剑，也會(huì)有丘陵和蝕坑，更小點(diǎn)的有大塊巖石死陆，甚至更小的鵝卵石塊招拙，這都屬于地形的一部分。那如何讓柏林噪聲算法模擬出這樣的自然噪聲特性翔曲，解決方法也很簡(jiǎn)單：我們可以使用不同的頻率（frequencies）和振幅（amplitudes）參數(shù)進(jìn)行多幾次柏林噪聲計(jì)算迫像，然后將結(jié)果疊加在一起劈愚。頻率是指采樣數(shù)據(jù)的間隔，振幅是指返回值的幅度范圍菌羽。
將所有結(jié)果疊加在一起，我們就能得到以下結(jié)果：
很明顯猾蒂，這樣的噪聲結(jié)果更加令人信服。上面的6組噪聲被稱之為噪聲的不同倍頻(Octave)是晨。隨著倍頻增大肚菠，噪聲對(duì)于最終疊加噪聲的影響程度變小罩缴。當(dāng)然层扶，倍頻組數(shù)的增加，會(huì)線性地增加代碼執(zhí)行時(shí)間烙荷，在游戲運(yùn)行時(shí)使用噪聲算法镜会，再好不要使用超過(guò)幾組倍頻（比如终抽，當(dāng)你想在60fps下模擬火焰特效時(shí)，最好不要這么干）匾旭。然而圃郊，做數(shù)據(jù)預(yù)處理時(shí)，就很適合使用多組倍頻疊加來(lái)模擬更自然的噪聲（比如用于提前生成游戲地形等）描沟。
那我們應(yīng)該分別挑選多大的頻率和振幅來(lái)進(jìn)行噪聲計(jì)算呢吏廉？這個(gè)可以通過(guò)persistence參數(shù)確定。Hugo Elias對(duì)persistence的定義使用如下：
以上公式i的值取決于倍頻數(shù)量史辙，代碼實(shí)現(xiàn)也很簡(jiǎn)單：
public double OctavePerlin(double x, double y, double z, int octaves, double persistence) {
double total = 0;
double frequency = 1;
double amplitude = 1;
double maxValue = 0; // Used for normalizing result to 0.0 - 1.0
for(int i=0;i<octaves;i++) {
total += perlin(x * frequency, y * frequency, z * frequency) * amplitude;
maxValue += amplitude;
amplitude *= persistence;
frequency *= 2;
}
return total/maxValue;
}
小結(jié)
以上就是算法的全部?jī)?nèi)容佩伤，我們現(xiàn)在可以使用算法制造噪聲了。再次聲明耙蔑，你可以點(diǎn)擊這里查看完整源碼孤荣。
本文原文出自Understanding Perlin Noise，翻譯不易钱豁，如果你已經(jīng)看到了這里疯汁，就順手點(diǎn)個(gè)贊吧哈哈！
