1.前言
數(shù)學(xué)一直是我的弱項(xiàng)炬转，從初中到大學(xué)成績(jī)都不好辆苔，于是累覺不愛，與數(shù)學(xué)從此絕緣扼劈。反而離開校園后驻啤，有時(shí)對(duì)某一方面的數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生興趣，就會(huì)繼續(xù)追尋下去荐吵。就像這個(gè)神奇的貝葉斯定理骑冗，原理多看幾遍其實(shí)很簡(jiǎn)單，但是上學(xué)那會(huì)兒怎么總是學(xué)不會(huì)呢先煎？大概上學(xué)的時(shí)候贼涩，只是單純的記憶公式，而數(shù)學(xué)是對(duì)現(xiàn)實(shí)的高度抽象薯蝎，恰恰是人類大腦所不擅長(zhǎng)的領(lǐng)域遥倦，而工作后帶著實(shí)際問題去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，符合人類從具體走向抽象的認(rèn)知規(guī)律占锯，故而能夠理解袒哥。
貝葉斯定理正是在這個(gè)背景下，被我初步理解的消略。所以各位不要覺得涉及到數(shù)學(xué)就覺得畏懼堡称，連我這個(gè)數(shù)學(xué)渣都能理解，其他人更是不在話下疑俭。后面會(huì)講到粮呢，貝葉斯定理作為一個(gè)思考的框架，一種決策的工具钞艇，具有神奇的作用啄寡。這正是我們構(gòu)建多元化思維模型中數(shù)學(xué)模型的一部分。
2.什么是貝葉斯定理
我們將一枚硬幣拋向空中哩照，落地時(shí)正面和反面的概率都是50%挺物，這是常識(shí)。但如果我們拋100次飘弧，正面和反面的次數(shù)并不會(huì)都是50识藤，有可能正面40次，反面60次次伶。那拋1000次痴昧，10000次呢，正面反面的次數(shù)有可能還不會(huì)是五五開冠王。只有將拋硬幣無(wú)數(shù)次赶撰，正面和反面出現(xiàn)的次數(shù)才會(huì)趨向于相等。也就是說(shuō)，正面和反面出現(xiàn)的概率50%是一個(gè)極限豪娜、客觀的概率餐胀，并不會(huì)隨著拋擲次數(shù)的增減而變化。
但是貝葉斯定理與這個(gè)精確客觀的概率不同瘤载，它要求當(dāng)事人估計(jì)一個(gè)主觀的先驗(yàn)概率否灾，再根據(jù)隨后觀察到的事實(shí)進(jìn)行調(diào)整，隨著調(diào)整次數(shù)的增加鸣奔，結(jié)果將會(huì)越來(lái)越精確墨技。這里有一個(gè)問題，數(shù)學(xué)不是講究客觀嗎溃蔫？這里怎么冒出一個(gè)主觀概率出來(lái)健提？這也是當(dāng)時(shí)的學(xué)者質(zhì)疑貝葉斯的問題。事實(shí)上伟叛，貝葉斯定理在17世紀(jì)提出后私痹，一直受到冷落，直到20世紀(jì)30年代電子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)后才得到廣泛應(yīng)用统刮。如今我們每天都在和貝葉斯定理打交道：你上搜索引擎搜尋問題紊遵，背后的算法中就有貝葉斯公式的身影；你郵箱里的垃圾郵件侥蒙，很有可能就是運(yùn)用貝葉斯定理幫你攔截的暗膜。
為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況？因?yàn)樨惾~斯定理符合人類認(rèn)知事物的自然規(guī)律鞭衩。我們并非生而知之学搜，大多數(shù)時(shí)候，面對(duì)的是信息不充分论衍、情況不確定瑞佩，這個(gè)時(shí)候我們只能在有限資源的情況下，作出決定坯台，再根據(jù)后續(xù)的發(fā)展進(jìn)行修正炬丸。實(shí)際上，這也是科學(xué)研究的步驟蜒蕾。
說(shuō)了這么多稠炬，貝葉斯定理到底長(zhǎng)什么樣啊咪啡？圍觀群眾的小心臟可承受不起一坨擠眉弄眼的數(shù)學(xué)符號(hào)首启。那簡(jiǎn)單的用中文來(lái)描述一下：
后驗(yàn)概率=先驗(yàn)概率調(diào)整因子*
是不是也沒這么難？沒錯(cuò)撤摸，就是這么簡(jiǎn)單毅桃。翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言就是：
P(A丨B)=P(A)P(B丨A)/P(B)*
這是一一對(duì)應(yīng)的栽惶，P(A丨B)是后驗(yàn)概率，P(A)是先驗(yàn)概率疾嗅，P(B丨A)/P(B)是調(diào)整因子。P(A丨B)意思是在B發(fā)生的情況下冕象，A發(fā)生的概率代承；P(B丨A)意思是在A發(fā)生的情況下，B發(fā)生的概率渐扮；P(A)是A發(fā)生的概率论悴，P(B)是B發(fā)生的概率。P(B)=P(B丨A)P(A)+P(B丨A')P(A')墓律，這稱為全概率公式膀估。
看到這里，是不是有點(diǎn)糊涂了耻讽？其實(shí)這些公式并不難察纯，證明過程也很簡(jiǎn)單，自己搜一下文氏圖针肥，一目了然”牵現(xiàn)在看起來(lái)，這些公式還是太抽象慰枕，別急具则，到后面實(shí)例的時(shí)候就派上用場(chǎng)了。
3.貝葉斯定理有什么用
先來(lái)看一個(gè)非常經(jīng)典的例子具帮，幾乎是講到貝葉斯定理必提博肋。
某種病發(fā)病率約為0.1%，即1000人中有一個(gè)人是陽(yáng)性蜂厅，現(xiàn)在的檢測(cè)手段很成熟匪凡，準(zhǔn)確率高達(dá)99%，但是有5%的誤報(bào)率葛峻。如果一個(gè)人的檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性锹雏，那么這個(gè)人真的感染這種病的概率有多大？
使用貝葉斯定理分析术奖，假設(shè)A為得病礁遵，B為檢測(cè)呈陽(yáng)性〔杉牵可知P(A)=0.001佣耐，P(B丨A)=0.99，P(B)=P(B丨A) P(A)+P(B丨A')P(A')=0.99x0.001+0.05x0.999=0.05094
P(A丨B)=P(A)*P(B丨A)/P(B)=0.001x0.99/0.05094=0.019
是不是很驚訝唧龄，哪怕準(zhǔn)確率這么高兼砖，檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性的可信度只有2%。如果一種病的發(fā)病率很低，對(duì)于檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性讽挟，我們不用過多擔(dān)憂懒叛。
來(lái)看看貝葉斯定理更實(shí)際的用處——幫助你量化對(duì)某些事物的態(tài)度或看法。比如說(shuō)耽梅，你看到周圍很多人去廟里拜菩薩薛窥，他們跟你說(shuō)很靈的，心想事成眼姐，你是否應(yīng)該相信他們呢诅迷？作為一個(gè)追求獨(dú)立思考的人，肯定不能憑別人幾句話就決定皈依我佛众旗。正確的態(tài)度是罢杉，自己去統(tǒng)計(jì)多少人信奉佛教，其中多少人祈福有求必應(yīng)贡歧，如果比例很高的話滩租，那我們就可以相信。但事實(shí)上艘款，限于個(gè)人的能力和時(shí)間持际，這種大規(guī)模的統(tǒng)計(jì)我們無(wú)法做到。但是有了貝葉斯定理哗咆，我們可以試著計(jì)算一下蜘欲。
A代表相信向菩薩祈福有用，假設(shè)你半信半疑晌柬，給定P(A)=0.5姥份，B代表一個(gè)朋友向菩薩許事業(yè)的愿后，果然升職加薪年碘。假設(shè)你認(rèn)為朋友對(duì)你說(shuō)了實(shí)話澈歉，P(B丨A)=0.8，如果沒有菩薩保佑屿衅，你認(rèn)為他憑借自己能力升職加薪的概率P(B丨A')=0.5埃难，根據(jù)全概率公式，P(B)=0.8x0.5+0.5*0.5=0.65涤久∥谐荆可以算出，
P(A丨B)=0.5x0.8/0.65=0.615响迂。這時(shí)考抄，你對(duì)菩薩的信任度已經(jīng)從50%上升到了61.5%，說(shuō)明看到你朋友的事后蔗彤，你是越來(lái)越相信菩薩的作用的川梅。如果再多幾個(gè)同事向你訴說(shuō)他們的心想事成疯兼，你的信任度越來(lái)越高，最后就會(huì)皈依我佛了贫途。
但世上沒這么好的事吧彪，要是都心想事成，那不世界太平了丢早。所以你接下來(lái)碰到了另外一個(gè)同事来氧，他說(shuō)他去求了菩薩愛情，至今仍是光棍一條香拉。于是你就開始調(diào)整你的看法。注意中狂，這時(shí)的P(A)=0.615凫碌，B代表菩薩未能保佑抱得美人歸，P(B丨A)=0.2胃榕，不變的是P(B丨A')=0.5盛险，此時(shí)P(B)=0.2x0.615+0.5*0.385=0.3155，可以算出勋又， P(A丨B)=0.615x0.2/0.3155=0.39苦掘。這時(shí)，你對(duì)菩薩的信任度又由61.5%下降到了39%楔壤，如果再碰到幾個(gè)這樣的同事鹤啡，你就會(huì)徹底對(duì)菩薩保佑失去信心。
事實(shí)上蹲嚣，我們可以用貝葉斯定理來(lái)搭建一個(gè)思考的框架递瑰，不斷的動(dòng)態(tài)調(diào)整我們的看法或態(tài)度，在經(jīng)過一系列的事情證實(shí)后隙畜，就會(huì)形成比較穩(wěn)定而正確的看法抖部。大多數(shù)人對(duì)事物的看法是搖擺不定的，因?yàn)槲覀兊闹庇X思維是粗放而快速议惰，所以很難穩(wěn)定下來(lái)慎颗。而運(yùn)用貝葉斯定理以后，它能夠量化我們的看法言询，不致于因個(gè)人的偏好而偏差太遠(yuǎn)俯萎，而且哪怕你給定的先驗(yàn)概率是隨便寫的，也沒關(guān)系倍试，經(jīng)過幾次事實(shí)的印證后讯屈，它會(huì)越來(lái)越接近于真相。
