Abstractness is the price of generality.
線性組合與基
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基向量：向量空間的一組基是張成該空間的一個線性無關(guān)向量集荣暮。
此圖是我們最最常用的xy坐標(biāo)系下的基向量壁熄，不同坐標(biāo)系有不同的基向量 標(biāo)準(zhǔn)(基下的)坐標(biāo)系 (Coordinate System from Standard Bases)
標(biāo)準(zhǔn)基向量：就是一般常用的xyz坐標(biāo)系下的基向量。-
用數(shù)字描述向量時厂汗，都依賴于正在使用的基
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所有可以被給定向量的線性組合所表示的向量的集合斤程，稱為給定向量所張成的空間(span)。
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注意：從線性組合的角度看，Ax中的x向量可以視作主體津辩，且不是將它看作一個向量拆撼，而是看作包含了兩個用于作為伸縮度量的標(biāo)量的載體——x它包含了兩個參數(shù)a、b喘沿，以此來操縱A中的兩個列向量v闸度、w的拉伸、延展蚜印，使其布滿整個所可以布滿的空間莺禁。像是布偶手腳上的兩根繩子。
而在之后的線性變換和方程組求解中窄赋，應(yīng)該把A當(dāng)作主體哟冬，因?yàn)锳在這相當(dāng)于一個函數(shù)，它操縱著x忆绰。而x則回歸了它最初的意義——它僅僅是一個向量浩峡。
矩陣與線性變換
- 線性變換：相當(dāng)于一個函數(shù)，一個向量空間在它的作用下错敢，空間中的任意向量都會隨著該線性變換被擠壓翰灾、拉伸、旋轉(zhuǎn)稚茅、剪切等纸淮。
- 線性的直觀化體現(xiàn)：變換前后網(wǎng)格的原點(diǎn)不變，其余各個網(wǎng)格邊上的點(diǎn)在經(jīng)過線性變換后峰锁，依舊等距分布且平行。
實(shí)際上若對整個空間中的每個點(diǎn)都做了同樣的變換双戳，那么網(wǎng)格上的點(diǎn)也進(jìn)行了同樣的變換（因?yàn)榫W(wǎng)格上的點(diǎn)是所有點(diǎn)的子集）虹蒋，因此用假想的網(wǎng)格來使這個變換更為直觀化
- 拿二維舉例：一個二維線性變換 A僅由兩個列向量就可以拼成。這兩個列向量若不共線（線性無關(guān)）飒货，則可以表示出二維空間中的任意向量魄衅，它們也叫基。 若它們共線（線性相關(guān)）塘辅，則它們張成的空間也只能落在一條線上晃虫。 若它們都為0，則它們張成的空間維度更低扣墩，只能落在原點(diǎn)（集合中只有一個零向量）上哲银。
- 而這兩個基向量扛吞，都是相對于最基本的標(biāo)準(zhǔn)正交陣 i=
，j=
組成的矩陣
變換過來的荆责。
- 矩陣左乘向量：可以把左側(cè)的矩陣
想成一個函數(shù)滥比，其參數(shù)是右側(cè)的某向量
。得到的變換后的輸出結(jié)果就是兩者進(jìn)行乘積后的結(jié)果做院，即輸出向量
盲泛。這個輸出向量也可視為由線性變換矩陣中的兩個基的線性組合而來。
將Aα想象成f(α)
非方陣的線性變換
3 x 2 矩陣：將二維空間映射到三維空間上键耕。
2列代表有2個基向量寺滚，3行代表每個基向量有3個坐標(biāo)（比變換之前多了1個坐標(biāo)）。
2 x 3 矩陣：將三維空間映射壓扁到二維空間上屈雄。
復(fù)合變換
- 因此說矩陣乘法無交換律村视，不同變換的順序嚴(yán)重影響結(jié)果。
行列式
- 行列式 = 0：代表變換后面積為0棚亩，整個空間在該矩陣的變換下壓縮到了更小維度上蓖议。
線性方程組 —— 線代的一個廣泛應(yīng)用領(lǐng)域
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Ax = v 中，A是一個線性變換讥蟆，求解該方程代表尋找一個x勒虾，使得其在A的變換作用下，與向量v重合瘸彤。
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尋找x的幾何直觀化的表示為：
未變換前的x
變換后與v重合的x 這個解x依賴于線性變換矩陣A修然，而A的變換有兩種情況：一種是降維擠壓了（ |A|=0 ）的變換，一種是沒降維（ |A|≠0 ）的變換质况。
- 沒有降維：
- 只能找到一個向量x愕宋，使其在A的變換下與v重合。
- 因?yàn)?strong>空間沒被壓縮结榄，因此也可通過從v反向找中贝，對v進(jìn)行逆變換，A-1v = x臼朗。
（因?yàn)榭梢愿鶕?jù)三維向量去解另一個三維向量邻寿，而一旦空間壓縮，是無法從二維向量去解出另一個三維向量的视哑，你少了一個維的信息）
- 變換過程把空間壓縮了:
- 所有在二維空間上的向量x在線性變換A的作用下绣否，都會被擠壓到一條線上，甚至是一個點(diǎn)上挡毅。此時蒜撮，有兩個可能的結(jié)果：
（1）運(yùn)氣好：目標(biāo)v也落在這條直線上。它和被壓縮在了這條線上的x剛好處在了同一條直線上跪呈，因此必然有個x段磨，可以表示出v取逾。
（2）運(yùn)氣差： v不在這條直線上，因此無論如何x也與v無緣了薇溃。
基變換
不同基下有不同看待一個向量的視角菌赖。
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不同基下的同一個坐標(biāo)在另一個坐標(biāo)系下的坐標(biāo)也不同。
若需得到 坐標(biāo)系B 下的某坐標(biāo)
左側(cè)為B 右側(cè)為A 線性變換的一個重要特點(diǎn)：在同一個視角下策幼，變換前后的向量仍然是對各自不同基的相同線性組合邑时。
- 反過來，把A視角下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成B視角下的坐標(biāo)特姐，只需通過對A坐標(biāo)系下表示的坐標(biāo)左乘方才從A的基到B的基的線性變換的逆矩陣（即從B的基到A的基的線性變換矩陣）晶丘。
A基 -> B基的線性變換 的逆矩陣
用B視角表示A所看到的坐標(biāo)
相似矩陣
- 兩個矩陣如果相似，那么這兩個矩陣實(shí)際上表示的就是對不同基之下描述的同一向量唐含，施加的同一種線性變換浅浮。也就是說，A與B這兩個相似的矩陣捷枯，本質(zhì)上都是線性變換矩陣滚秩，它們的相似代表的是變換類型相同。
- 例如：一個向左旋轉(zhuǎn)90°的矩陣淮捆，在標(biāo)準(zhǔn)基下的描述是 A=
郁油，在另一組基P下的描述則是B=
。用A或用B對任意向量
進(jìn)行左乘攀痊， 都會對該向量進(jìn)行90°旋轉(zhuǎn)桐腌，只不過這個向量中的坐標(biāo)是相對于各自的坐標(biāo)系（基向量組）描述的，所以放到同一個坐標(biāo)系下苟径，兩者的坐標(biāo)值不同案站。
以上的線性變換B，是在基變換矩陣 P=
的基礎(chǔ)下描述的棘街。該矩陣的兩個列向量表示了該坐標(biāo)系下的兩個基
和
蟆盐。
- 可以看到，不同基下的同一種線性變換蹬碧，有著不同的線性變換矩陣的數(shù)值舱禽。
- 無論是A還是B炒刁，在作為函數(shù)進(jìn)行左乘變換時恩沽，右側(cè)輸入向量和最終輸出的向量都是在各自坐標(biāo)系下描述的坐標(biāo)。即若y = Bx翔始，則x和y在幾何中的意義都是B變換所在坐標(biāo)系（基向量組）下的向量罗心。
- 以下是對另一個坐標(biāo)系(B)下描述的向量里伯，通過我們(A：標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系)的線性變換語言，對其進(jìn)行變換的操作渤闷，最后輸出在它的坐標(biāo)系下經(jīng)過變換后的坐標(biāo)值的原理示意疾瓮。
Step 1
Step 2
Step 3
- 在這里向量
只是任意取的一個向量飒箭，因此可以把前三個矩陣的復(fù)合封裝成一個矩陣（該矩陣就是與A相似的矩陣）狼电，于是就可以對任意用B坐標(biāo)系描述的向量v施加與A同類型的線性變換了。
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將相似矩陣B拿來使用弦蹂，對B坐標(biāo)系中的某向量進(jìn)行變換肩碟。
右側(cè)兩個輸入輸出向量都是以B坐標(biāo)系視角看待的
特征值與特征向量
- 施工中...
二次型
- 二次型：f(x)=xTAx
- 合同矩陣：同一個二次型在不同坐標(biāo)系下的矩陣互為合同矩陣。
- 合同的幾何意義：兩個二次齊次函數(shù)在不同坐標(biāo)系下的曲線雖然有時候相對于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置和角度不一樣凸椿，但是它們長的卻一樣削祈，依然有同一個曲線的外形，這時這兩個二次齊次函數(shù)就是合同的脑漫，它們兩個二次型的矩陣也稱為合同矩陣髓抑。 兩個矩陣A與B合同，則一定存在一個合同變換矩陣C优幸，能使得CTAC = B吨拍。
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以下圖中，[x'',y'']這組基構(gòu)成的坐標(biāo)系劈伴，是不是要比[x',y']更容易理解多了密末。
圖片來自知乎用戶，侵刪
一些繞人的記錄：
- 任何二次型的矩陣A都可以變換成標(biāo)準(zhǔn)型的矩陣（對焦矩陣）跛璧。但是變換矩陣C不一定
其余等考完研严里，研究圖形學(xué)的時候補(bǔ)充。
