一誊锭、前言
本文從Logistic回歸的原理開始講起，補充了書上省略的數(shù)學推導弥锄。本文可能會略顯枯燥丧靡，理論居多，Sklearn實戰(zhàn)內(nèi)容會放在下一篇文章籽暇。自己慢慢推導完公式温治，還是蠻開心的一件事。
二戒悠、Logistic回歸與梯度上升算法
Logistic回歸是眾多分類算法中的一員熬荆。通常，Logistic回歸用于二分類問題绸狐，例如預測明天是否會下雨卤恳。當然它也可以用于多分類問題累盗，不過為了簡單起見，本文暫先討論二分類問題突琳。首先若债，讓我們來了解一下，什么是Logistic回歸拆融。
1蠢琳、Logistic回歸
假設現(xiàn)在有一些數(shù)據(jù)點，我們利用一條直線對這些點進行擬合(該線稱為最佳擬合直線)镜豹，這個擬合過程就稱作為回歸傲须，如下圖所示：
歸是分類方法，它利用的是Sigmoid函數(shù)閾值在[0,1]這個特性趟脂。Logistic回歸進行分類的主要思想是：根據(jù)現(xiàn)有數(shù)據(jù)對分類邊界線建立回歸公式泰讽，以此進行分類。其實散怖，Logistic本質(zhì)上是一個基于條件概率的判別模型(Discriminative Model)菇绵。
所以要想了解Logistic回歸，我們必須先看一看Sigmoid函數(shù) 镇眷，我們也可以稱它為Logistic函數(shù)咬最。它的公式如下：
z是一個矩陣，θ是參數(shù)列向量(要求解的)欠动，x是樣本列向量(給定的數(shù)據(jù)集)永乌。θ^T表示θ的轉(zhuǎn)置。g(z)函數(shù)實現(xiàn)了任意實數(shù)到[0,1]的映射具伍，這樣我們的數(shù)據(jù)集([x0,x1,...,xn])翅雏，不管是大于1或者小于0，都可以映射到[0,1]區(qū)間進行分類人芽。hθ(x)給出了輸出為1的概率望几。比如當hθ(x)=0.7，那么說明有70%的概率輸出為1萤厅。輸出為0的概率是輸出為1的補集橄抹，也就是30%。
如果我們有合適的參數(shù)列向量θ([θ0,θ1,...θn]^T)惕味，以及樣本列向量x([x0,x1,...,xn])楼誓，那么我們對樣本x分類就可以通過上述公式計算出一個概率，如果這個概率大于0.5名挥，我們就可以說樣本是正樣本疟羹，否則樣本是負樣本。
舉個例子，對于"垃圾郵件判別問題"榄融，對于給定的郵件(樣本)参淫，我們定義非垃圾郵件為正類，垃圾郵件為負類愧杯。我們通過計算出的概率值即可判定郵件是否是垃圾郵件黄刚。
那么問題來了！如何得到合適的參數(shù)向量θ?
根據(jù)sigmoid函數(shù)的特性民效，我們可以做出如下的假設：
式即為在已知樣本x和參數(shù)θ的情況下，樣本x屬性正樣本(y=1)和負樣本(y=0)的條件概率涛救。理想狀態(tài)下畏邢，根據(jù)上述公式，求出各個點的概率均為1检吆，也就是完全分類都正確舒萎。但是考慮到實際情況，樣本點的概率越接近于1蹭沛，其分類效果越好臂寝。比如一個樣本屬于正樣本的概率為0.51，那么我們就可以說明這個樣本屬于正樣本摊灭。另一個樣本屬于正樣本的概率為0.99咆贬，那么我們也可以說明這個樣本屬于正樣本。但是顯然帚呼，第二個樣本概率更高掏缎，更具說服力。我們可以把上述兩個概率公式合二為一：
合并出來的Loss煤杀，我們稱之為損失函數(shù)(Loss Function)眷蜈。當y等于1時，(1-y)項(第二項)為0沈自；當y等于0時酌儒，y項(第一項)為0。為s了簡化問題枯途，我們對整個表達式求對數(shù)忌怎，(將指數(shù)問題對數(shù)化是處理數(shù)學問題常見的方法)：
這個損失函數(shù)，是對于一個樣本而言的柔袁。給定一個樣本呆躲，我們就可以通過這個損失函數(shù)求出，樣本所屬類別的概率捶索，而這個概率越大越好插掂，所以也就是求解這個損失函數(shù)的最大值。既然概率出來了，那么最大似然估計也該出場了辅甥。假定樣本與樣本之間相互獨立酝润，那么整個樣本集生成的概率即為所有樣本生成概率的乘積，再將公式對數(shù)化璃弄，便可得到如下公式：
其中要销，m為樣本的總數(shù)，y(i)表示第i個樣本的類別夏块，x(i)表示第i個樣本疏咐，需要注意的是θ是多維向量，x(i)也是多維向量脐供。
綜上所述浑塞，滿足J(θ)的最大的θ值即是我們需要求解的模型。
怎么求解使J(θ)最大的θ值呢政己？因為是求最大值酌壕，所以我們需要使用梯度上升算法。如果面對的問題是求解使J(θ)最小的θ值歇由，那么我們就需要使用梯度下降算法卵牍。面對我們這個問題，如果使J(θ) := -J(θ)沦泌，那么問題就從求極大值轉(zhuǎn)換成求極小值了糊昙，使用的算法就從梯度上升算法變成了梯度下降算法，它們的思想都是相同的赦肃，學會其一溅蛉，就也會了另一個。本文使用梯度上升算法進行求解他宛。
2船侧、梯度上升算法
說了半天，梯度上升算法又是啥厅各？J(θ)太復雜镜撩，我們先看個簡單的求極大值的例子督禽。一個看了就會想到高中生活的函數(shù)：
來吧淘这，做高中題。這個函數(shù)的極值怎么求腾供？顯然這個函數(shù)開口向下憔古，存在極大值遮怜，它的函數(shù)圖像為
求極值，先求函數(shù)的導數(shù)：
令導數(shù)為0鸿市，可求出x=2即取得函數(shù)f(x)的極大值锯梁。極大值等于f(2)=4
但是真實環(huán)境中的函數(shù)不會像上面這么簡單即碗，就算求出了函數(shù)的導數(shù)，也很難精確計算出函數(shù)的極值陌凳。此時我們就可以用迭代的方法來做剥懒。就像爬坡一樣，一點一點逼近極值合敦。這種尋找最佳擬合參數(shù)的方法初橘，就是最優(yōu)化算法。爬坡這個動作用數(shù)學公式表達即為：
其中充岛，α為步長保檐，也就是學習速率，控制更新的幅度崔梗。效果如下圖所示：
比如從(0,0)開始展东，迭代路徑就是1->2->3->4->...->n，直到求出的x為函數(shù)極大值的近似值炒俱，停止迭代。我們可以編寫Python3代碼爪膊，來實現(xiàn)這一過程：
"""
函數(shù)說明:梯度上升算法測試函數(shù)
求函數(shù)f(x) = -x^2 + 4x的極大值
def Gradient_Ascent_test():
? ? def f_prime(x_old):? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? #f(x)的導數(shù)
? ? ? ? return -2 * x_old + 4
? ? x_old = -1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? #初始值权悟，給一個小于x_new的值
? ? x_new = 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? #梯度上升算法初始值，即從(0,0)開始
? ? alpha = 0.01? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? #步長推盛，也就是學習速率峦阁，控制更新的幅度
? ? presision = 0.00000001? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? #精度，也就是更新閾值
? ? while abs(x_new - x_old) > presision:
? ? ? ? x_old = x_new
? ? ? ? x_new = x_old + alpha * f_prime(x_old)? ? ? ? ? ? #上面提到的公式
? ? print(x_new)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? #打印最終求解的極值近似值
if __name__ == '__main__':
? ? Gradient_Ascent_test()
代碼運行結(jié)果如下：
結(jié)果很顯然耘成，已經(jīng)非常接近我們的真實極值2了榔昔。這一過程，就是梯度上升算法瘪菌。那么同理撒会，J(θ)這個函數(shù)的極值，也可以這么求解师妙。公式可以這么寫：
那么诵肛，現(xiàn)在我只要求出J(θ)的偏導，就可以利用梯度上升算法默穴，求解J(θ)的極大值了怔檩。
那么現(xiàn)在開始求解J(θ)對θ的偏導，求解如下：
知道了蓄诽，梯度上升迭代公式薛训，我們就可以自己編寫代碼，計算最佳擬合參數(shù)了仑氛。
