第32課基變換和圖像壓縮

關(guān)于基變換：從一組基變換到另一組基

主題：線性變換與矩陣的關(guān)聯(lián)赠群，線性變換不一定是在坐標(biāo)系內(nèi)，而矩陣用坐標(biāo)來(lái)表示線性變換

例： $512\times512$ 的圖旱幼，每像素 $8bits$ 查描，值為 $0\le x_i<255$ ，實(shí)際上是對(duì) $R^n$ 中的向量 $x$ 做操作柏卤， $x\in R^n;n=512^2(彩色圖為3\times512^2)$ 冬三。

JPEG的全稱聯(lián)合圖像專家組，對(duì)圖像數(shù)據(jù)做基變換闷旧。

值相近的相互關(guān)聯(lián)（即顏色相近）

標(biāo)準(zhǔn)基為 $\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\1\\0\\\vdots\end{bmatrix},\dots,\begin{bmatrix}0\\\vdots\\0\\1\end{bmatrix}$ ， $R$ 中的其他基是這個(gè)高維數(shù)的空間

更好的基：元素都為1的向量钧唐，這個(gè)向量就能完整地給出所有像素一致圖像的信息忙灼，當(dāng)然我們的圖像像素不是一致的，混合著一些其他信號(hào)钝侠。在基中有這樣一個(gè)向量该园，也能解決很大問(wèn)題，基中其它向量是多少帅韧，基的選擇問(wèn)題很關(guān)鍵

JPEG用到的基為傅里葉基 $8\times8$ 里初，取 $8\times8$ 的小塊，有64個(gè)像素忽舟，從這一小塊上做基變換双妨。

步驟：
$信號(hào)x\to \underbrace{基變換}_{無(wú)損壓縮}\to 得到系數(shù)c \to 壓縮 \to \underbrace{壓縮系數(shù)}_{得到很多0} \to 重構(gòu)信號(hào)x$

視頻壓縮是連續(xù)的（間隔很短時(shí)間取的是同一幅圖像，然后慢速播放叮阅，激烈中的動(dòng)作就采用這種拍法）刁品，序列中每幅圖和前一幅圖非常接近，得用預(yù)估和修正一張當(dāng)前瞬間的圖像浩姥，然后是后一時(shí)間步的挑随，假設(shè)圖像是同一幅，然后加一個(gè)小的修正勒叠，只需要對(duì)修正進(jìn)行編碼和數(shù)字化兜挨，然后對(duì)修正量進(jìn)行壓縮，所以一系列連續(xù)高度相關(guān)的圖像壓縮中的問(wèn)題總是用到這個(gè)相關(guān)性眯分，實(shí)際上是在時(shí)間上和空間上事物不會(huì)瞬間變化拌汇，通常是很平滑的變化，可以根據(jù)前一個(gè)值預(yù)測(cè)一個(gè)值出來(lái)弊决，這些應(yīng)用是純線性代數(shù)問(wèn)題担猛。

另一組基叫做小波，以 $8\times8$ 的情況描述如下
$\underbrace{ \begin{bmatrix} 1&1&-1&0&1&0&0&0\\ 1&1&-1&0&-1&0&0&0\\ 1&1&-1&0&0&1&0&0\\ 1&1&-1&0&0&-1&0&0\\ 1&-1&0&1&0&0&1&0\\ 1&-1&0&1&0&0&-1&0\\ 1&-1&0&-1&0&0&0&1\\ 1&-1&0&-1&0&0&0&-1 \end{bmatrix} }_{小波基} \in R^8$
關(guān)于線性代數(shù)的問(wèn)題，就是找出系數(shù)傅联。 $p_1,\dots,p_8$ 是標(biāo)準(zhǔn)基的系數(shù)先改， $W$ 為小波基
$\underbrace{p=p_1w_1+\dots+p_8w_8}_{向量形式的方程}\\ p= \underbrace{ \begin{bmatrix} 1&1&-1&0&1&0&0&0\\ 1&1&-1&0&-1&0&0&0\\ 1&1&-1&0&0&1&0&0\\ 1&1&-1&0&0&-1&0&0\\ 1&-1&0&1&0&0&1&0\\ 1&-1&0&1&0&0&-1&0\\ 1&-1&0&-1&0&0&0&1\\ 1&-1&0&-1&0&0&0&-1 \end{bmatrix} }_{小波基W} \begin{bmatrix}c_1\\c_1\\c_3\\c_4\\c_5\\c_6\\c_7\\c_8\end{bmatrix} \to p=Wc \to c=W^{-1}p$
很好的基能快速求逆，性質(zhì)好指的是

計(jì)算速度快
少量基向量就能接近輸入信號(hào)（即輸入向量）蒸走，因此足夠重現(xiàn)圖像

$Wc$ 與 $W^{-1}p$ 計(jì)算速度快

$W$ 由 $1,-1,0$ 組成仇奶，用二進(jìn)制計(jì)算相當(dāng)快

$W$ 基向量正交，但不標(biāo)準(zhǔn)比驻，需要標(biāo)準(zhǔn)處理该溯，向量標(biāo)準(zhǔn)正交的逆等于其轉(zhuǎn)置

基變換

基變換：已知一個(gè)基上的向量，變換到不同的基中

令：

? 矩陣為 $W$ , $W$ 的列向量是新基的向量别惦，然后牽扯到基變換 $W^{-1}?$
$\underbrace{x}_{老基下的向量}\to \underbrace{c}_{新基下和向量}\\ x=Wc$
考慮矩陣變換狈茉，假設(shè)已知線性變換 $T$

? 第一組基 $v_1,\dots,v_8$ ， $A$

? 第二組基 $w_1,\dots,w_8$ 掸掸， $B$

$A$ 與 $B$ 的關(guān)系如何氯庆？

? 首先如何得到矩陣 $A和B$ ，

來(lái)自同一變換 $T$ 在同一組基上計(jì)算得到一個(gè)矩陣扰付，然后在另一組基上計(jì)算得到的那兩個(gè)矩陣是相似的堤撵，相似陣得到 $B=M^{-1}AM$ ， $M$ 就是基變換矩陣
$A由v_1,v_2,\dots,v_8基向量組成\\ T(v_1),\dots,T(v_8)\\ 知道T作用在每個(gè)基向量的結(jié)果就知道一切了\\ x=c_1v_1+\dots+c_8v_8\\ T(x)=c_1T(v_1)+\dots+c_8T(8)\\ T(v_1)=a_{11}v_1+\dots+a_{81}v_8\\ T(v_1)=a_{12}v_1+\dots+a_{82}v_8\\ \vdots\\ T(v_1)=a_{18}v_1+\dots+a_{88}v_8\\ A表示T在這組基上的這些數(shù) A=\begin{bmatrix}a_{11}&\dots&a_{81}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{18}&\dots&a_{88}\end{bmatrix}$
假設(shè)一組特征向量基
$T(v_i)=\lambda v_i$
$A$ 將是多少羽莺？
$A=\begin{bmatrix}\lambda_1&&&\\&\ddots&&\\&&\lambda_8\end{bmatrix}$
在特征向量基下实昨，矩陣是對(duì)角陣，所以它是完美基盐固，在圖像處理中我們最想要的荒给。但是找出像素矩陣的特征向量代價(jià)太大，所以選擇代價(jià)小且接近的接好的基刁卜，比如小波基

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