一、什么是虛數(shù)坠敷？
首先，假設(shè)有一根數(shù)軸，上面有兩個反向的點：+1和-1掉缺。這根數(shù)軸的正向部分衣摩，可以繞原點旋轉(zhuǎn)昂验。顯然，逆時針旋轉(zhuǎn)180度艾扮，+1就會變成-1既琴。這相當于兩次逆時針旋轉(zhuǎn)90度。因此泡嘴，我們可以得到下面的關(guān)系式：
(+1) * (逆時針旋轉(zhuǎn)90度) * (逆時針旋轉(zhuǎn)90度) = (-1)
如果把+1消去甫恩，這個式子就變?yōu)椋?/p>
(逆時針旋轉(zhuǎn)90度)^2 = (-1)
將"逆時針旋轉(zhuǎn)90度"記為 i ：
i^2 = (-1)
這個式子很眼熟，它就是虛數(shù)的定義公式酌予。所以填物，我們可以知道，虛數(shù) i 就是逆時針旋轉(zhuǎn)90度霎终，i 不是一個數(shù)滞磺，而是一個旋轉(zhuǎn)量。
二莱褒、復(fù)數(shù)的定義
既然 i 表示旋轉(zhuǎn)量击困，我們就可以用 i ，表示任何實數(shù)的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)。將實數(shù)軸看作橫軸阅茶，虛數(shù)軸看作縱軸蛛枚，就構(gòu)成了一個二維平面。旋轉(zhuǎn)到某一個角度的任何正實數(shù)脸哀，必然唯一對應(yīng)這個平面中的某個點蹦浦。只要確定橫坐標和縱坐標，比如( 1 , i )撞蜂，就可以確定某個實數(shù)的旋轉(zhuǎn)量（45度）盲镶。
數(shù)學家用一種特殊的表示方法，表示這個二維坐標：用 + 號把橫坐標和縱坐標連接起來蝌诡。比如溉贿，把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。這種表示方法就叫做復(fù)數(shù)（complex number）浦旱，其中 1 稱為實數(shù)部宇色，i 稱為虛數(shù)部。
同樣道理颁湖，旋轉(zhuǎn)90度記作(0,i)宣蠕，也就是0+i=i
三、虛數(shù)的作用：加法
虛數(shù)的引入甥捺，大大方便了涉及到旋轉(zhuǎn)的計算植影。比如，物理學需要計算"力的合成"涎永。假定一個力是 3 + i 思币，另一個力是 1 + 3i ，請問它們的合成力是多少羡微？根據(jù)"平行四邊形法則"谷饿，你馬上得到，合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )妈倔。這就是虛數(shù)加法的物理意義博投。
四、虛數(shù)的作用：乘法
如果涉及到旋轉(zhuǎn)角度的改變盯蝴，處理起來更方便毅哗。比如，一條船的航向是 3 + 4i 捧挺。如果該船的航向虑绵，逆時針增加45度，請問新航向是多少闽烙？45度的航向就是 1 + i 翅睛。計算新航向，只要把這兩個航向 3 + 4i 與 1 + i 相乘就可以了（原因在下一節(jié)解釋）：
( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )
所以，該船的新航向是 -1 + 7i 捕发。
如果航向逆時針增加90度疏旨，就更簡單了。因為90度的航向就是 i 扎酷，所以新航向等于：
( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )
這就是虛數(shù)乘法的物理意義：改變旋轉(zhuǎn)角度檐涝。
Sh4wnC 說：
"逆時針增加45度，相當于做了一個 1 + i 的變換法挨。"
這是不對的谁榜，你把向量放大了。從你給的圖上就能看出來坷剧，同樣是一天的行駛，船開的更遠了喊暖。
實際上應(yīng)該乘以一個單位向量惫企，所以你要把1+i單位化。變成sqrt(2)/2+i*sqrt(2)/2
1.關(guān)于1+i
參考http://jakwings.is-programmer.com/posts/29547.html
這裏還有另外一個細節(jié)需要揭示：一個數(shù)字可以既是“實的”又是“虛的”嗎陵叽？確實能狞尔。誰說我們必須旋轉(zhuǎn)90度？如果我們一隻腳在實數(shù)範圍內(nèi)巩掺，另一隻在虛數(shù)範圍內(nèi)偏序，就像這樣：
我們處在45度角的為止，實數(shù)部分的大小與虛數(shù)部分的大小相當（1+i）胖替。這就像一個熱狗既有芥末醬也有番茄醬——誰說你隻能選一種的研儒？
事實上，我們可以任意選取實數(shù)與虛數(shù)組成一個三角形独令。角度就是“旋轉(zhuǎn)的度數(shù)”端朵。復(fù)（合）數(shù)就是給這種數(shù)字準備的一個相當完美的名字。它們寫作 a+bi燃箭，其中
- a是實數(shù)部分
- b是虛數(shù)部分
五冲呢、節(jié)選自Matrix67: The Aha Moments 隨記：我們需要怎樣的數(shù)學教育？
高中學復(fù)數(shù)時招狸，相信很多人會納悶兒：虛數(shù)是什么敬拓？為什么要承認虛數(shù)？虛數(shù)怎么就表示旋轉(zhuǎn)了裙戏？其實乘凸，人們建立復(fù)數(shù)理論，并不是因為人們有時需要處理根號里是負數(shù)的情況累榜，而是因為下面這個不可抗拒的理由：如果承認虛數(shù)翰意，那么 n 次多項式就會有恰好 n 個根，數(shù)系一下子就如同水晶球一般的完美了。但復(fù)數(shù)并不能形象地反映在數(shù)軸上冀偶，這不僅是因為實數(shù)在數(shù)軸上已經(jīng)完備了醒第，還有另外一個原因：沒有什么幾何操作連做兩次就能實現(xiàn)取相反數(shù)。比如进鸠，“乘以 3”就代表數(shù)軸上的點離原點的距離擴大到原來的三倍稠曼，“3 的平方”，也就是“乘以 3 再乘以 3”客年，就是把上述操作連做兩次霞幅，即擴大到 9 倍。同樣地量瓜，“乘以 -1”表示把點翻折到數(shù)軸另一側(cè)司恳，“-1 的平方”就會把這個點又翻回來。但是绍傲，怎么在數(shù)軸上表示“乘以 i ”的操作扔傅？換句話說，什么操作連做兩次能夠把 1 變成 -1 烫饼？一個頗具革命性的創(chuàng)意答案便是猎塞，把這個點繞著原點旋轉(zhuǎn) 90 度。轉(zhuǎn) 90 度轉(zhuǎn)兩次杠纵，自然就跑到數(shù)軸的另一側(cè)了荠耽。沒錯，這就把數(shù)軸擴展到了整個平面比藻，正好解決了復(fù)數(shù)沒地方表示的問題铝量。于是，復(fù)數(shù)的乘法可以解釋為縮放加旋轉(zhuǎn)银亲，復(fù)數(shù)本身自然也就有了 z = r (cosθ + sinθi) 的表示方式款违。順著這個道理推下去，一切都順理成章了群凶。復(fù)數(shù)不但有了幾何解釋插爹，有時還能更便捷地處理幾何問題。
