我們第一個(gè)學(xué)習(xí)的算法是線性回歸状您，通過本篇可以看到這個(gè)算法的概況例驹，更重要的是將會(huì)了解監(jiān)督學(xué)習(xí)的完整流程撩幽。
模型函數(shù)
我們先從一個(gè)例子開始库继，假如我們拿到了這樣一張表格，上面包含了紐約若干程序員的年薪：
那么如果你的工作經(jīng)驗(yàn)是3.5年窜醉，年薪應(yīng)該是多少呢宪萄？
顯而易見，只有工作經(jīng)驗(yàn)和年薪是不同榨惰，那我們就把這兩項(xiàng)抽取出來拜英，首先通過可視化簡(jiǎn)單的看看一下這兩個(gè)的關(guān)系。
我們將要用來描述這個(gè)回歸問題的標(biāo)記如下:
- ?? 代表訓(xùn)練集中實(shí)例的數(shù)量
- ?? 代表特征/輸入變量
- ?? 代表目標(biāo)變量/輸出變量
- (??,??) 代表訓(xùn)練集中的實(shí)例
-
代表第 ?? 個(gè)觀察實(shí)例
h 代表學(xué)習(xí)算法的解決方案或函數(shù)也稱為假設(shè)(hypothesis)
這是一個(gè)監(jiān)督學(xué)習(xí)算法读串，我們把數(shù)據(jù)集喂給我們的學(xué)習(xí)算法聊记，學(xué)習(xí)算法會(huì)輸出一個(gè)函數(shù)撒妈，通常表示為小寫 h 表示。h 代表 hypothesis(假設(shè))排监，表示 h 根據(jù)輸入的 ?? 值來得出 ?? 值狰右，?? 值對(duì)應(yīng)年薪。 因此舆床，h 是一個(gè)從 ?? 到 ?? 的函數(shù)映射棋蚌。
因而，要解決年薪預(yù)測(cè)問題挨队，我們實(shí)際上是要將已知的數(shù)據(jù)喂給我們的學(xué)習(xí)算法谷暮，進(jìn)而學(xué)習(xí)得到一個(gè)假設(shè) h，那么盛垦， 對(duì)于我們的房?jī)r(jià)預(yù)測(cè)問題湿弦，我們?cè)撊绾伪磉_(dá) h?
要回答這個(gè)問題之前，我們先來看一下數(shù)據(jù)集的大概樣子腾夯，是否可以看出什么颊埃？
x = range(11)
y = [103100, 104900, 106800, 108700, 110400,
112300, 114200, 116100, 117800, 119700, 121600]
fig = plt.figure(figsize=(10,6))
ax = fig.add_subplot(111)
ax.scatter(x, y)
plt.show()
從上面簡(jiǎn)單的可視化，很明顯工作經(jīng)驗(yàn)(x)越長(zhǎng)蝶俱，年薪(y)越高班利，并且看起來是符合一個(gè)線性關(guān)系。一種可能的表達(dá)方式(模型函數(shù))是：
代價(jià)函數(shù)(Cost Fuction)
既然已經(jīng)有了模型函數(shù)，我們現(xiàn)在要做的便是為我們的模型選擇合適的參數(shù) θ_0 和 θ_1,我們選擇的參數(shù)決定了我們得到的直線相對(duì)于我們的訓(xùn)練集的準(zhǔn)確程度积蜻，模型所預(yù)測(cè)的值與訓(xùn)練集中實(shí)際值之間的差距(下圖中藍(lán)線所指)就是建模誤差(modeling error)闯割，誤差線就是下圖中的藍(lán)線
為了方便我們把建模誤差的平方和定義如下, 也就是我們說的代價(jià)函數(shù)：
我們的目標(biāo)便是選擇出可以使得建模誤差的平方和能夠最小的模型參數(shù)。 也就是使得代價(jià)函數(shù)最小
梯度下降
梯度下降是一個(gè)用來求函數(shù)最小值的算法浅侨，我們將使用梯度下降算法來求出代價(jià)函數(shù) ??(??0, ??1) 的最小值纽谒。
梯度下降的思想是:開始時(shí)我們隨機(jī)選擇一個(gè)參數(shù)的組合(??0, ??1, . . . . . . , ????)，計(jì)算代價(jià)函數(shù)如输，然后我們尋找下一個(gè)能讓代價(jià)函數(shù)值下降最多的參數(shù)組合。我們持續(xù)這么做直到一個(gè)局部最小值(local minimum)央勒，因?yàn)槲覀儾]有嘗試完所有的參數(shù)組合不见，所以不能確 定我們得到的局部最小值是否便是全局最小值(global minimum)，選擇不同的初始參數(shù)組合崔步，可能會(huì)找到不同的局部最小值稳吮。
批量梯度下降(batch gradient descent)算法的公式為:
其中 α 是學(xué)習(xí)率(learning rate)，它決定了我們沿著能讓代價(jià)函數(shù)下降程度最大的方向向下邁出的步子有多大井濒，在批量梯度下降中灶似，我們每一次都同時(shí)讓所有的參數(shù)減去學(xué)習(xí)速率乘以代價(jià)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)列林。
接下來我們就用梯度下降的方法來擬合例子中的數(shù)據(jù)。
x = np.array([[0,106000],
[1,107200],
[2,108400],
[3,109600],
[4,110800],
[5,112000],
[6,113200],
[7,114400],
[8,115600],
[9, 116800],
[10, 118000]]
)
m, n = np.shape(x)
x_data = np.ones((m,n))
x_data[:,:-1] = x[:,:-1]
y_data = x[:,-1]
m, n = np.shape(x_data)
theta = np.ones(n)
cost_arr = []
def batchGradientDescent(maxiter,x,y,theta,alpha):
xTrains = x.transpose()
for i in range(0,maxiter):
hypothesis = np.dot(x,theta)
loss = (hypothesis-y)
gradient = np.dot(xTrains,loss)/m
theta = theta - alpha * gradient
cost = 1.0/2*m*np.sum(np.square(np.dot(x,np.transpose(theta))-y))
cost_arr.append(cost)
if cost < 0.0001:
break
return theta
result = batchGradientDescent(10000,x_data,y_data,theta,0.01)
print ("final: ",result)
newy = np.dot(x_data,result)
fig = plt.figure(figsize=(16, 8))
ax1 = fig.add_subplot(121)
ax1.plot(range(len(cost_arr)), cost_arr, 'ko')
ax2 = fig.add_subplot(122)
ax2.plot(x[:,0],newy, 'k--')
ax2.plot(x[:,0],x[:,1], 'ro')
plt.show()
final = [ 1200.00034431 105999.99760913]
這里的兩個(gè)值就是我們模型函數(shù)中的??0, ??1
梯度下降的曲線和最后擬合的直線如下圖：
此次我們使用超參 α = 0.01酪惭，一共進(jìn)行了6500多次的嘗試最終收斂到0希痴，為了讓收斂的速度加快，我們可以調(diào)整超參春感，比如 α = 0.03砌创，就只進(jìn)行了2000多次就收斂到0。
多變量線性回歸
之前我們研究的都是單變量的回歸模型鲫懒，當(dāng)我們?cè)黾痈嗟奶卣髂凼担缒挲g、職位等就構(gòu)成了一個(gè)含有多個(gè)變量的模型窥岩，模型中的特征為
增加更多特征后甲献，我們引入一些新的注釋:
?? 代表特征的數(shù)量
??(??)代表第 ?? 個(gè)訓(xùn)練實(shí)例，是特征矩陣中的第??行颂翼，是一個(gè)向量(vector)晃洒。
比方說，上圖的
如上圖的
支持多變量的假設(shè) h 表示為:
這個(gè)公式中有 ?? + 1個(gè)參數(shù)和 ?? 個(gè)變量，為了使得公式能夠簡(jiǎn)化一些集歇，引入 ??0 = 1桶略，則公式轉(zhuǎn)化為:
此時(shí)模型中的參數(shù)是一個(gè)?? + 1維的向量，任何一個(gè)訓(xùn)練實(shí)例也都是?? + 1維的向量诲宇，特征矩陣 ?? 的維度是 ?? ? (?? + 1)际歼。 因此公式可以簡(jiǎn)化為:
其中上標(biāo) ?? 代表矩陣轉(zhuǎn)置。
正規(guī)方程
最小二乘法可以將誤差方程轉(zhuǎn)化為有確定解的代數(shù)方程組（其方程式數(shù)目正好等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)）姑蓝，從而可求解出這些未知參數(shù)鹅心。這個(gè)有確定解的代數(shù)方程組稱為最小二乘法估計(jì)的正規(guī)方程。
前面我們講過纺荧，Cost Fuction 是：
其中：
將向量表達(dá)形式轉(zhuǎn)為矩陣表達(dá)形式旭愧，則有：
其中??為??行??列的矩陣(??為樣本個(gè)數(shù)，??為特征個(gè)數(shù))宙暇，??為??行1列的矩陣输枯，??為??行1列的矩陣，對(duì)??(??)進(jìn)行如下變換:
接下來對(duì)??(??)偏導(dǎo)占贫，需要用到以下幾個(gè)矩陣的求導(dǎo)法則:
所以有:
令
則有：
Python中對(duì)于矩陣的各種操作可以通過 Numpy 庫的一些方法來實(shí)現(xiàn)桃熄，非常方便。但在這個(gè)代碼實(shí)現(xiàn)中需要注意：X矩陣不能為奇異矩陣型奥，否則是無法求解矩陣的逆的瞳收。下面是最小二乘法的代碼實(shí)現(xiàn)部分碉京。
def standRegres(xArr,yArr):
"""
函數(shù)說明:計(jì)算回歸系數(shù)theta
Parameters:
xArr - x數(shù)據(jù)集
yArr - y數(shù)據(jù)集
Returns:
theta - 回歸系數(shù)
"""
xMat = np.mat(xArr); yMat = np.mat(yArr).T
#根據(jù)文中推導(dǎo)的公示計(jì)算回歸系數(shù)
xTx = xMat.T * xMat
if np.linalg.det(xTx) == 0.0:
print("矩陣為奇異矩陣,不能求逆")
return
theta = xTx.I * (xMat.T*yMat)
return theta
最小二乘法 vs 梯度下降法
二者都對(duì)損失函數(shù)的回歸系數(shù)進(jìn)行了求偏導(dǎo)，并且所得到的推導(dǎo)結(jié)果是相同的螟深，那么究竟哪里不同呢谐宙？
最小二乘法通過使推導(dǎo)結(jié)果等于0，從而直接求得極值血崭，而梯度下降則是將推導(dǎo)結(jié)果帶入迭代公式中卧惜，一步一步地得到最終結(jié)果。簡(jiǎn)單地說夹纫，最小二乘法是一步到位的咽瓷，而梯度下降是一步步進(jìn)行的。
