筆者剛學(xué)《數(shù)理方程》不久能曾，就齊次化原理談?wù)勛约旱睦斫舛认酰胁粚?duì)的地方歡迎交流批評(píng)指正。
齊次化原理是數(shù)理方程中非常重要的定理寿冕，在各種情況的方程都會(huì)用到蕊程。在此以最簡(jiǎn)單的一維波動(dòng)方程柯西問題為例：（為方便起見，命名為方程A）
%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2u%7D%7B%5Cpartial%20t%5E2%7D-a%5E2%20%5Cfrac%7B%20%5Cpartial%5E2u%7D%7B%5Cpartial%20x%5E2%7D%20%3D%20f(x%2Ct)%20%2C%26(t%3E0%2C-%5Cinfty%3Cx%3C%2B%5Cinfty)%20%5C%5C%20u%3D%5Cvarphi(x)%2C%20%5Cfrac%7B%20%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%3D%5Cpsi(x)%2C%26%20(t%3D0%2C-%5Cinfty%3Cx%3C%2B%5Cinfty)%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright.)
解決本題的第一步是驼唱，由“疊加原理”藻茂，分成一個(gè)
的問題和一個(gè)
的問題。第二個(gè)問題可由達(dá)朗貝爾公式直接求解玫恳，第一個(gè)方程使用“齊次化原理”化成第二個(gè)方程的形式辨赐，再由達(dá)朗貝爾公式求解。
下面具體分析第二個(gè)方程的“齊次化原理”部分：（方程B）
%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7D%20%5Cfrac%7B%20%5Cpartial%5E2u%7D%7B%5Cpartial%20t%5E2%7D-a%5E2%20%5Cfrac%7B%20%5Cpartial%5E2u%7D%7B%5Cpartial%20x%5E2%7D%20%3D%20f(x%2Ct)%2C%26(t%3E0%2C-%5Cinfty%20%3Cx%3C%2B%5Cinfty)%20%5C%5C%20u%3D0%2C%20%5Cfrac%7B%20%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%3D0%2C%26%20(t%3D0%2C-%5Cinfty%3Cx%3C%2B%5Cinfty)%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright.)
首先給出齊次化原理的定義：
構(gòu)造一個(gè)方程組（方程C）
%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7D%20%5Cfrac%7B%20%5Cpartial%5E2W%7D%7B%5Cpartial%20t%5E2%7D-a%5E2%20%5Cfrac%7B%20%5Cpartial%5E2W%7D%7B%5Cpartial%20x%5E2%7D%20%3D%200%20%26(t%3E%5Ctau%2C-%5Cinfty%3Cx%3C%2B%5Cinfty)%20%5C%5C%20W%3D0%2C%20%5Cfrac%7B%20%5Cpartial%20W%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%3Df(x%2C%5Ctau)%26%20(t%3D%5Ctau%2C-%5Cinfty%3Cx%3C%2B%5Cinfty)%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright.)
若它的解是)
京办，則原問題的解為
%20%3D%20%5Cint_0%5Et%20W(x%2Ct%3B%5Ctau)d%5Ctau)
下面介紹它的意思：
首先是這個(gè)問題的物理模型掀序，畢竟我們是數(shù)理方程課，幾乎所有的數(shù)學(xué)結(jié)論都有物理解釋惭婿，而反過來(lái)也可以從物理現(xiàn)象為數(shù)學(xué)定理提供思路森枪。
本題（方程B）描述的是，一根弦审孽，無(wú)限長(zhǎng)（即不考慮邊界的影響）县袱，且在初始時(shí)刻（
)，繩子的位置在正中間的平衡位置（
）（不考慮重力佑力，只考慮繩子本身的微小振動(dòng)）式散，也沒有初始速度（
）。但每時(shí)每刻有外力)
作用于繩子打颤。
首先暴拄，為了簡(jiǎn)單研究，我們將連續(xù)的時(shí)間分成一段一段的编饺，這也是一個(gè)微元法的思想乖篷，先切割成小段離散的研究，最后再取極限變成連續(xù)的情況透且。打個(gè)比方撕蔼，我們研究![t\in [0,T]](https://math.jianshu.com/math?formula=t%5Cin%20%5B0%2CT%5D)
的繩子運(yùn)動(dòng)豁鲤，那我們就將它看成
個(gè)
（
），每個(gè)內(nèi)各個(gè)部分受到的力不變鲸沮，這樣就有dy%3Df(x%2Ct)%5CDelta%5Ctau)
琳骡。
再由物理中的動(dòng)量守恒定律，簡(jiǎn)單的寫就是
讼溺，沖量等于動(dòng)量的增量楣号。由這個(gè)物理定律，我們可以把“在一段時(shí)間內(nèi)沒有初速度但受到外力作用導(dǎo)致的沖量”等同與“在一段時(shí)間內(nèi)有初速度但沒有外力導(dǎo)致的沖量”怒坯。按照這個(gè)思路炫狱，我們能寫出方程C并推導(dǎo)出齊次化原理。
下面使用微元法試圖推導(dǎo)：（這個(gè)過程是按自己理解寫的剔猿，不一定嚴(yán)謹(jǐn)）
我們可以近似的將每時(shí)間的力
導(dǎo)致的沖量
變成一個(gè)速度增量（這里忽略質(zhì)量m视译，我物理不好我解釋不清楚m了……），就是繩子每過就獲得一個(gè)速度增量艳馒。再由疊加原理憎亚，我們可以證明在本問題中（方程B）员寇，力對(duì)繩子的作用近似的等于由好多個(gè)時(shí)刻的速度增量的作用疊加近似弄慰。
也就是說(shuō)，在我們的例子中蝶锋，可以給出個(gè)方程：
%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7D%20%5Cfrac%7B%20%5Cpartial%5E2W%7D%7B%5Cpartial%20t%5E2%7D-a%5E2%20%5Cfrac%7B%20%5Cpartial%5E2W%7D%7B%5Cpartial%20x%5E2%7D%20%3D%200%20%2C%26(t%3E%5Ctau_i%2C-%5Cinfty%3Cx%3C%2B%5Cinfty)%20%5C%5C%20W%3D0%2C%20%5Cfrac%7B%20%5Cpartial%20W%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%3Df(x%2C%5Ctau_i)%5CDelta%5Ctau.%26%20(t%3D%5Ctau_i%2C-%5Cinfty%3Cx%3C%2B%5Cinfty)%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5C%5C%20%5Ctau_i%3Di%5CDelta%5Ctau%2Ci%3D0%2C%5Ccdots%2Cn-1)
最后他們的解的和等于原問題的解陆爽。當(dāng)
，表示![[0,\tau_1]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5B0%2C%5Ctau_1%5D)
的力轉(zhuǎn)化為
時(shí)刻的初速度扳缕。當(dāng)
慌闭，表示![[\tau_1,\tau_2]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5B%5Ctau_1%2C%5Ctau_2%5D)
的力轉(zhuǎn)化為
時(shí)刻的初速度，這條繩子在![t\in [0,\tau_1]](https://math.jianshu.com/math?formula=t%5Cin%20%5B0%2C%5Ctau_1%5D)
內(nèi)靜止不動(dòng)躯舔，在時(shí)獲得一個(gè)初速度驴剔，之后由方程的第一個(gè)式子描述的運(yùn)動(dòng)開始運(yùn)動(dòng)。后幾個(gè)類似粥庄。
當(dāng)我們解出這個(gè)方程的解)
丧失，（求解的時(shí)候需要用一步換元把
改成
，之后套用達(dá)朗貝爾公式）
%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2a%7D%5Cint_%7Bx-a(t-%5Ctau_i)%7D%5E%7Bx%2Ba(t-%5Ctau_i)%7Df(%5Calpha%2C%5Ctau_i)%5CDelta%5Ctau%20%5Cmathrm%7Bd%7D%5Calpha%3D%5CDelta%5Ctau%5Cfrac%7B1%7D%7B2a%7D%5Cint_%7Bx-a(t-%5Ctau_i)%7D%5E%7Bx%2Ba(t-%5Ctau_i)%7Df(%5Calpha%2C%5Ctau_i)%20%5Cmathrm%7Bd%7D%5Calpha)
令
%3D%5Cfrac%7BW(x%2Ct%3B%5Ctau_i)%7D%7B%5CDelta%5Ctau%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2a%7D%5Cint_%7Bx-a(t-%5Ctau_i)%7D%5E%7Bx%2Ba(t-%5Ctau_i)%7Df(%5Calpha%2C%5Ctau_i)%20%5Cmathrm%7Bd%7D%5Calpha)
則原方程的解為
%20%3D%20%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7Bn-1%7DW(x%2CT%3B%5Ctau_i)%3D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7Bn-1%7DW'(x%2CT%3B%5Ctau_i)%5CDelta%5Ctau)
并且可以看出
是以下方程的解
%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7D%20%5Cfrac%7B%20%5Cpartial%5E2W%7D%7B%5Cpartial%20t%5E2%7D-a%5E2%20%5Cfrac%7B%20%5Cpartial%5E2W%7D%7B%5Cpartial%20x%5E2%7D%20%3D%200%20%2C%26(t%3E%5Ctau_i%2C-%5Cinfty%3Cx%3C%2B%5Cinfty)%20%5C%5C%20W%3D0%2C%20%5Cfrac%7B%20%5Cpartial%20W%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%3Df(x%2C%5Ctau_i).%26%20(t%3D%5Ctau_i%2C-%5Cinfty%3Cx%3C%2B%5Cinfty)%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%20%5C%5C%20%5Ctau_i%3Di%5CDelta%5Ctau%2Ci%3D0%2C%5Ccdots%2Cn-1)
方程E與方程D只有第二行
不同惜互，對(duì)應(yīng)方程C布讹。
令
，就得到了積分的形式训堆，也就是齊次化原理：
%20%3D%20%5Cint_0%5ET%20W'(x%2CT%3B%5Ctau)d%5Ctau)
最后編輯于 ：
?著作權(quán)歸作者所有,轉(zhuǎn)載或內(nèi)容合作請(qǐng)聯(lián)系作者
