Mathematics requires a small dose, not of genius, but of an imaginative freedom which, in a larger dose, would be insanity.
? — Angus K. Rodgers
基向量（basis vectors）
在直角坐標系中虐呻，有兩個基本的向量： 和
象泵，它們的單位長度都為1，根據(jù)前一篇文章《向量是什么》中描述的向量的加法和乘法的意義斟叼，用這兩個向量就可以表示直角坐標系中的任何向量偶惠，例如
可以表示為
，因此朗涩，這兩個向量有一個專有的名稱——基向量（basis vectors）忽孽。同時，在
軸上的向量
被稱為 i-hat谢床，符號為
兄一；而在
軸上的向量
被稱為 j-hat，符號為
识腿。
線性組合（Linear combinations）
推而廣之瘾腰，在坐標系中，除了基向量外覆履，任何兩個向量的進行基本的加法和乘法運算后，都可以組合成一個新的向量
在線性組合中费薄， 和
是變量硝全，即
Scalars，如果它們不斷變化楞抡，則得到的新向量也可以覆蓋整個直角坐標系（不包括 和
在一條直線或一個點上的情況）伟众。
把 和
看做基本向量，它們和
召廷、
一樣凳厢，通過改變
scalars，線性變換后的向量集都可以覆蓋整個坐標系竞慢，區(qū)別在于先紫，對于同樣的輸出向量（方向和長度一樣），它們的 scalars 的值是不同的筹煮，選取不同的向量作為基本向量遮精，可以構(gòu)建不同的坐標系。
線性組合中的線性從何而來？一種說法是本冲， 或
中准脂，保持其中一個參數(shù)不變，則結(jié)果向量的頂點將在坐標系中畫出一條直線檬洞，如下面的右圖所示：
生成空間（span）
生成空間的定義：
The "span" of
and
is the set of all their linear combinations.
向量
二維空間中添怔，生成空間（span）有三種情況
如果
如果
以上都不是院塞，則 span 覆蓋整個坐標系
三維空間中，如果有 2 個 vectors性昭，則它們的線性組合形成的 span 為該維空間中的一個平面拦止；如果有 3 個 vectors，且每一個 vector 和另外 2 個所組成的 span 不在同一個平面上糜颠，則這 3 個 vectors 可以構(gòu)造三維空間中任意一個向量汹族。
可以想象一下，當你引入并不斷變換第三個向量（拉伸其兴、翻轉(zhuǎn)顶瞒、壓縮），它會把前兩個向量組成的平面在空間中來回移動——相當于席卷了整個空間
線性相關(guān)（Linearly dependent）
如果新增的向量和原 span 重合元旬，則它不會給 span 帶來更多的變化榴徐，例如在二維空間中，2 條 vectors 在同 1 條直線上匀归；三維空間中坑资，第 3 條 vector 在前 2 條 vectors 所組成的平面上，則刪去最后 1 條 vector 也不會給 span 帶來任何變化穆端，這種新的 vector 是多余的袱贮，我們把它稱為 Linearly dependent ：其中 1 條 vector 可以用其他的 vectors 來表示，例如 3 維空間中有：
線性無關(guān)（Linearly independent）
有 Linearly dependent 体啰，就有 Linearly independent 攒巍，意味著新增的 vector 不在原 span 上，即給原來的 span增加了一個維度荒勇。
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參考：
