? ? ? 首先我們必須明確的一件事是:分數(shù)本身是數(shù)而不是運算价捧。雖然在除法中丑念，我們把分數(shù)看成除法運算的一種表示，但只是形式的一致结蟋，其本質(zhì)不同脯倚。
? ? ? 提及“為什么把分數(shù)看成除法運算的一種表示”，這兒做個簡單介紹嵌屎。根據(jù)倒數(shù)與除法之間的關系:除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)推正。可以把這句話用關系式表示為:a÷b=a×1/b在乘法運算過程中宝惰，人們通常會省略其中的乘法符號“×”植榕，因此，基于上面的表達式尼夺，人們有時也把除法寫成倒數(shù)的形式:a÷b=a/b尊残。這只是表示方法與分數(shù)一致，從抽象本意來說淤堵，分數(shù)與除法有本質(zhì)差異寝衫。
? ? ? 分數(shù)的本質(zhì)在于真分數(shù)，即分數(shù)的分子小于分母粘勒。這樣的分數(shù)有兩個現(xiàn)實背景:一個是表達整體與等分的關系竞端，一個是表達兩個數(shù)量之間整數(shù)的比例關系。具體分析如下：
? ? 一庙睡、整體與等分的關系
主要是對整體的等分事富，通常把整體看作1，例如乘陪，一塊蛋糕等分成4分统台，其中1份就是1/4，2份就是2/4啡邑，3份就是3/4贱勃，4份就是4/4，也就是完整的1塊蛋糕。在這里特別要注意贵扰，通過等分得到分數(shù)單位是1/4仇穗，而2/4表示的是兩個分數(shù)單位:2/4=2×1/4=1/4+1/4，依此類推戚绕。這時就涉及到分數(shù)的比較和運算纹坐，這又需要分成兩種情況。
? ? ? ? ①兩個分數(shù)分母相同
分母相同舞丛，也就意味著兩個分數(shù)的分數(shù)單位相同耘子，直接比較兩個分數(shù)大小即可:3/4＞1/4 (3個1/4一定大于1個1/4)；對于兩個分數(shù)的加減運算也容易得到:3/4－1/4=2/4(3個分數(shù)單位減去1個分數(shù)單位等于2個分數(shù)單位)球切。
? ? ? ②兩個分數(shù)分母不同
既然兩個分數(shù)分母不同谷誓，也就意味著這兩個分數(shù)的分數(shù)單位不同，需要在原有分數(shù)單位的基礎上進一步等分吨凑，使得兩個分數(shù)能夠在相同的分數(shù)單位上進行大小比較及加減運算比較捍歪。例如，要比較1/2和1/5的大小怀骤，就必須對分了2份的蛋糕和分個5份的蛋糕進行再等分费封。對于分了2份的蛋糕的每份再5等分，對于分了5份的蛋糕的每份再2等分蒋伦，可參照下圖，得到的單位都是原來整體的1/10焚鹊，痕届，出現(xiàn)新的分數(shù)單位，對于1/2末患，原來的分數(shù)單位與新單位的關系是1/2=5/10研叫；對于1/5，原來的分數(shù)單位與新單位的關系是1/5=2/10璧针，這樣分數(shù)單位一致嚷炉，就可以比較大小:因為5/10＞2/10，所以1/2＞1/5探橱，同樣也可以進行兩分數(shù)的加減運算:1/5+1/2=2/10+5/10=7/10申屹。
由于分數(shù)單位1/5轉(zhuǎn)化成新的分數(shù)單位1/10，那么對于原來單位的2份就等價于新單位的4分:2/5=2×1/5=2×2/10=4/10隧膏。也就論證了分數(shù)的性質(zhì):分數(shù)的分子和分母同時擴大或縮小相同的倍數(shù)哗讥，分數(shù)大小不變。利用通分的性質(zhì)就可以解決其他不用分母分數(shù)的加減法運算胞枕。
? ? ? 簡單而言杆煞，就是我們課堂上常說的:同分母分數(shù)直接加減，異分母分數(shù)先通分再加減。(通分的原理在上邊已經(jīng)論述)
? ? ? ? 二决乎、整比例關系
? ? 分數(shù)還可以表示兩個事物量之間的整數(shù)比队询，或者說，以一個事物的量為基準對另一個事物的量進行整數(shù)倍的度量构诚。我們用一道例題來理解:
? ? 小紅家有鵝4只蚌斩，是鴨子只數(shù)的1/3，問有幾只鴨子唤反？
這里的1/3說的就是比例凳寺，要解題關鍵要理解1/3的含義。
? ? 方法一:鵝只數(shù)是鴨子只數(shù)的1/3(鴨子只數(shù)的1/3是鵝的只數(shù))彤侍，也就是說1只鵝對應3只鴨肠缨，2只鵝對應6只鴨，3只鵝對應9只鴨盏阶，4只鵝就對應12只鴨晒奕。
? ? 方法二:反推法，鵝的只數(shù)是鴨子只數(shù)的1/3名斟，鴨的1/3是鵝脑慧，也就是說鴨子只數(shù)是鵝的3倍。畫圖理解如下圖
? ? ? 方法三:設未知數(shù)x,這是我們更加喜歡的一般性數(shù)學表達:用x表示鴨子的數(shù)量砰盐，得到鵝與鴨子的數(shù)量比例關系4:x=1:3闷袒。借助這個比例關系，可以通過兩種運算方法得到所求的結果岩梳，一種是上邊說的乘法(畫圖更好理解)囊骤，另一種是教課書上所希望的除法:鴨子數(shù)量=4÷1/3=4×3=12這又涉及到“話題篇”中話題21，我在這里也做簡單解釋冀值，⑴為什么要用除法?⑵為什么要乘以倒數(shù)也物？
? ? ? ? ⑴為什么要用除法？
? ? 很多人對這個問題感到困惑列疗，主要是困惑在分數(shù)上滑蚯，為什么要除以分數(shù)呢？我們可以根據(jù)關于除法的討論抵栈，其中強調(diào):對于“a是b的y倍”這樣的問題應該用除法告材，運算形式表示為:a÷b=y。因為在這個運算形式中竭讳，除數(shù)b與商y是對稱的创葡，因此算式可以等價于:a÷y=b。根據(jù)后一個算式绢慢，可以知道灿渴，對于:“已知a是b的y倍洛波，求b是多少”這樣的問題也應當用除法。
? ? ? 對于題中說鵝是鴨子數(shù)量的1/3骚露，求鴨子的數(shù)量蹬挤，顯然用除法解決:鴨子的數(shù)量=鵝數(shù)量÷1/3，即4÷1/3棘幸。
? ? ? ⑵為什么要乘以倒數(shù)焰扳？
? ? ? 對于4÷1/3=4×3=12這樣的法則非常重要，需要記住误续，但是在教學中也應當讓學生多多少少感悟其中的道題吨悍，嘗試性地解釋這個法則。個人認為根據(jù)“除法是乘法的逆運算”則可以較好的證明這個法則蹋嵌，具體推算如下圖
這樣就很好的論證了:除以一個分數(shù)等于乘以這個分數(shù)的倒數(shù)育瓜。
