大家好留瞳，我家祖悅涵，今天我給大家?guī)?lái)了一篇論文骚秦，雞兔同籠她倘。

雞兔同籠是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)名題之一。大約在1500年前骤竹，《孫子算經(jīng)》中就記載了這個(gè)有趣的問(wèn)題帝牡。書(shū)中是這樣敘述的：

今有雉兔同籠，上有三十五頭蒙揣，下有九十四足靶溜，問(wèn)雉兔各幾何？

這四句話的意思是：

有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里懒震，從上面數(shù)罩息，有35個(gè)頭，從下面數(shù)个扰，有94只腳瓷炮。問(wèn)籠中各有多少只雞和兔？

算這個(gè)有個(gè)最簡(jiǎn)單的算法递宅。

（總腳數(shù)-總頭數(shù)×雞的腳數(shù)）÷（兔的腳數(shù)-雞的腳數(shù)）=兔的只數(shù)

（94－35×2）÷2=12(兔子數(shù)) 總頭數(shù)（35）－兔子數(shù)（12）=雞數(shù)（23）

解釋?zhuān)鹤屚米雍碗u同時(shí)抬起兩只腳娘香，這樣籠子里的腳就減少了總頭數(shù)×2只，由于雞只有2只腳办龄，所以籠子里只剩下兔子的兩只腳烘绽，再÷2就是兔子數(shù)。

現(xiàn)在俐填，我們已經(jīng)對(duì)雞兔同籠有了初步的了解安接，下面看看解有什么方法吧。

方程法

一元一次方程

解：設(shè)兔有x只英融，則雞有(35-x）只盏檐。

4x＋2（35－x）＝94

解得 x＝12

雞：35-12=23(只）

解：設(shè)雞有x只歇式，則兔有（35-x）只。

抬腿法

方法一

假如讓雞抬起一只腳胡野，兔子抬起2只腳材失，還有94÷2=47（只）腳「椋籠子里的兔就比雞的腳數(shù)多1豺憔，這時(shí)，腳與頭的總數(shù)之差47-35=12够庙，就是兔子的只數(shù)恭应。

方法二

假如雞與兔子都抬起兩只腳，還剩下94－35×2=24只腳 耘眨， 這時(shí)雞是屁股坐在地上昼榛，地上只有兔子的腳，而且每只兔子有兩只腳在地上剔难，所以有24÷2=12只兔子胆屿，就有35－12=23只雞。

方法三

我們可以先讓兔子都抬起2只腳偶宫，那么就有35×2=70只腳非迹，腳數(shù)和原來(lái)差94-70=24只腳，這些都是每只兔子抬起2只腳纯趋，一共抬起24只腳憎兽，用24÷2得到兔子有12只，用35-12得到雞有23只吵冒。

公式

公式1：（兔的腳數(shù)×總只數(shù)－總腳數(shù)）÷（兔的腳數(shù)－雞的腳數(shù)）=雞的只數(shù)

總只數(shù)－雞的只數(shù)=兔的只數(shù)

公式2：（ 總腳數(shù)－雞的腳數(shù)×總只數(shù)）÷（兔的腳數(shù)－雞的腳數(shù)）=兔的只數(shù)

總只數(shù)－兔的只數(shù)=雞的只數(shù)

公式3：總腳數(shù)÷2—總頭數(shù)=兔的只數(shù)

總只數(shù)—兔的只數(shù)=雞的只數(shù)

公式4：雞的只數(shù)=(4×雞兔總只數(shù)-雞兔總腳數(shù)）÷2 兔的只數(shù)=雞兔總只數(shù)-雞的只數(shù)

公式5：兔總只數(shù)=（雞兔總腳數(shù)-2×雞兔總只數(shù)）÷2 雞的只數(shù)=雞兔總只數(shù)-兔總只數(shù)

公式6 ：4×+2（總數(shù)－x）=總腳數(shù) （x=兔纯命，總數(shù)－x=雞數(shù)，用于方程）

解題思路編輯

理解

中國(guó)古代《孫子算經(jīng)》共三卷痹栖，成書(shū)大約在公元5世紀(jì)亿汞。這本書(shū)淺顯易懂，有許多有趣的算術(shù)題揪阿，比如“雞兔同籠”問(wèn)題：

今有雉兔同籠疗我，上有三十五頭，下有九十四足南捂，問(wèn)雉兔各幾何碍粥？

題目中給出雉兔共有35只，如果把兔子的兩只前腳用繩子捆起來(lái)黑毅，看作是一只腳，兩只后腳也用繩子捆起來(lái)钦讳，看作是一只腳矿瘦，那么枕面，兔子就成了2只腳，即把兔子都先當(dāng)作兩只腳的 雞缚去。雞兔總的腳數(shù)是35×2=70（只）潮秘，比題中所說(shuō)的94只要少94-70=24（只）。

松開(kāi)一只兔子腳上的繩子易结，總的腳數(shù)就會(huì)增加2只枕荞，即70+2=72（只），再松開(kāi)一只兔子腳上的繩子搞动，總的腳數(shù)又增加2躏精，2，2鹦肿，2……矗烛，一直繼續(xù)下去，直至增加24箩溃，因此兔子數(shù)：24÷2=12（只）瞭吃，從而雞有35-12=23（只）。

我們來(lái)總結(jié)一下這道題的解題思路：如果先假設(shè)它們?nèi)请u涣旨，于是根據(jù)雞兔的總數(shù)就可以算出在假設(shè)下共有幾只腳歪架，把這樣得到的腳數(shù)與題中給出的腳數(shù)相比較，看看差多少霹陡，每差2只腳就說(shuō)明有1只兔和蚪，將所差的腳數(shù)除以2，就可以算出共有多少只兔穆律。概括起來(lái)惠呼，解雞兔同籠題的基本關(guān)系式是：兔數(shù)=（實(shí)際腳數(shù)-每只雞腳數(shù)×雞兔總數(shù)）÷（每只兔子腳數(shù)-每只雞腳數(shù)）。類(lèi)似地峦耘，也可以假設(shè)全是兔子剔蹋。

思路

"雞兔同籠"是一類(lèi)有名的中國(guó)古算題。最早出現(xiàn)在《孫子算經(jīng)》中辅髓。許多小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化成這類(lèi)問(wèn)題泣崩，或者用解它的典型解法--"假設(shè)法"來(lái)求解。因此很有必要學(xué)會(huì)它的解法和思路洛口。

例1： 有若干只雞和兔子矫付，它們共有88個(gè)頭，244只腳第焰，雞和兔各有多少只

解：我們?cè)O(shè)想买优，每只雞都是"金雞獨(dú)立"，一只腳站著；而每只兔子都用兩條后腿杀赢，像人一樣用兩只腳站著烘跺，地面上出現(xiàn)腳的總數(shù)的一半，·也就是

244÷2=122（只）

在122這個(gè)數(shù)里脂崔，雞的頭數(shù)算了一次滤淳，兔子的頭數(shù)相當(dāng)于算了兩次。因此從122減去總頭數(shù)88砌左，剩下的就是兔子頭數(shù)

122-88=34（只）脖咐，

有34只兔子，當(dāng)然雞就有54只汇歹。

答：有兔子34只,雞54只屁擅。

上面的計(jì)算，可以歸結(jié)為下面算式：

總腳數(shù)÷2-總頭數(shù)=兔子數(shù). 總頭數(shù)-兔子數(shù)=雞數(shù)

上面的解法是《孫子算經(jīng)》中記載的秤朗。做一次除法和一次減法煤蹭，馬上能求出兔子數(shù)，多簡(jiǎn)單取视！能夠這樣算硝皂，主要利用了兔和雞的腳數(shù)分別是4和2,4又是2的2倍.可是，當(dāng)其他問(wèn)題轉(zhuǎn)化成這類(lèi)問(wèn)題時(shí)作谭，"腳數(shù)"就不一定是4和2稽物，上面的計(jì)算方法就行不通。因此折欠，我們對(duì)這類(lèi)問(wèn)題給出一種一般解法.

還說(shuō)例1.

如果設(shè)想88只都是兔子贝或，那么就有4×88只腳，比244只腳多了

88×4-244=108（只）.

每只雞比兔子少(4-2)只腳锐秦，所以共有雞

(88×4-244)÷(4-2)= 54（只）.

說(shuō)明我們?cè)O(shè)想的88只"兔子"中咪奖，有54只不是兔子。而是雞.因此可以列出公式

雞數(shù)=（兔腳數(shù)×總頭數(shù)-總腳數(shù)）÷（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）.

當(dāng)然酱床，我們也可以設(shè)想88只都是"雞"羊赵，那么共有腳2×88=176（只），比244只腳少了

244-176=68（只）.

每只雞比每只兔子少(4-2)只腳扇谣，

68÷2=34（只）.

說(shuō)明設(shè)想中的"雞",有34只是兔子昧捷，也可以列出公式

兔數(shù)=（總腳數(shù)-雞腳數(shù)×總頭數(shù)）÷（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）.

上面兩個(gè)公式不必都用，用其中一個(gè)算出兔數(shù)或雞數(shù)罐寨，再用總頭數(shù)去減靡挥，就知道另一個(gè)數(shù)。

假設(shè)全是雞鸯绿，或者全是兔跋破，通常用這樣的思路求解簸淀，有人稱為"假設(shè)法".

拿一個(gè)具體問(wèn)題來(lái)試試上面的公式。

例2 紅鉛筆每支0.19元毒返，藍(lán)鉛筆每支0.11元啃擦，兩種鉛筆共買(mǎi)了16支，花了2.80元饿悬。問(wèn)紅，藍(lán)鉛筆各買(mǎi)幾支聚霜？

解：以"分"作為錢(qián)的單位.我們?cè)O(shè)想狡恬，一種"雞"有11只腳，一種"兔子"有19只腳蝎宇，它們共有16個(gè)頭弟劲，280只腳。

現(xiàn)在已經(jīng)把買(mǎi)鉛筆問(wèn)題姥芥，轉(zhuǎn)化成"雞兔同籠"問(wèn)題了.利用上面算兔數(shù)公式兔乞，就有

藍(lán)筆數(shù)=(19×16-280)÷(19-11)

=24÷8

=3（支）.

紅筆數(shù)=16-3=13（支）.

答：買(mǎi)了13支紅鉛筆和3支藍(lán)鉛筆。

對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題的計(jì)算凉唐，常秤棺罚可以利用已知腳數(shù)的特殊性.例2中的"腳數(shù)"19與11之和是30.我們也可以設(shè)想16只中，8只是"兔子",8只是"雞",根據(jù)這一設(shè)想台囱，腳數(shù)是

8×(11+19)=240（支）淡溯。

比280少40.

40÷(19-11)=5（支）。

就知道設(shè)想中的8只"雞"應(yīng)少5只簿训，也就是"雞"(藍(lán)鉛筆）數(shù)是3.

30×8比19×16或11×16要容易計(jì)算些咱娶。利用已知數(shù)的特殊性，靠心算來(lái)完成計(jì)算.

實(shí)際上强品，可以任意設(shè)想一個(gè)方便的兔數(shù)或雞數(shù)膘侮。例如，設(shè)想16只中的榛，"兔數(shù)"為10,"雞數(shù)"為6琼了，就有腳數(shù)

19×10+11×6=256.

比280少24.

24÷(19-11)=3,

就知道設(shè)想6只"雞",要少3只。

要使設(shè)想的數(shù)困曙，能給計(jì)算帶來(lái)方便表伦，常常取決于你的心算本領(lǐng).

例題

例3 一份稿件，甲單獨(dú)打字需6小時(shí)完成.乙單獨(dú)打字需10小時(shí)完成慷丽，甲單獨(dú)打若干小時(shí)后蹦哼，因有事由乙接著打完，共用了7小時(shí)要糊。甲打字用了多少小時(shí)纲熏？

解：我們把這份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍數(shù)），甲每小時(shí)打30÷6=5（份），乙每小時(shí)打30÷10=3（份）.

現(xiàn)在把甲打字的時(shí)間看成"兔"頭數(shù)局劲，乙打字的時(shí)間看成"雞"頭數(shù)勺拣，總頭數(shù)是7."兔"的腳數(shù)是5,"雞"的腳數(shù)是3，總腳數(shù)是30鱼填，就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成"雞兔同籠"問(wèn)題了药有。

根據(jù)前面的公式

"兔"數(shù)=(30-3×7)÷(5-3)

=4.5,

"雞"數(shù)=7-4.5

=2.5

也就是甲打字用了4.5小時(shí)，乙打字用了2.5小時(shí)苹丸。

答：甲打字用了4小時(shí)30分.

例4 1998年時(shí)愤惰，父母年齡（整數(shù)）和是78歲，兄弟的年齡和是17歲赘理。四年后(2002年）父的年齡是弟的年齡的4倍宦言，母的年齡是兄的年齡的3倍.那么當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時(shí)，是公元哪一年商模？

解：4年后奠旺，兩人年齡和都要加8.此時(shí)兄弟年齡之和是17+8=25，父母年齡之和是78+8=86施流。我們可以把兄的年齡看作"雞"頭數(shù)响疚，弟的年齡看作"兔"頭數(shù)。25是"總頭數(shù)"嫂沉，86是"總腳數(shù)"稽寒。根據(jù)公式，兄的年齡是

(25×4-86)÷(4-3)=14（歲）.

1998年趟章，兄年齡是

14-4=10（歲）.

父年齡是

(25-14)×4+4=40（歲）.

因此杏糙，當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時(shí)，兄的年齡是

(40-10)÷(3-1)=15（歲）.

這是2003年蚓土。

答：公元2003年時(shí)宏侍，父年齡是兄年齡的3倍.

例5蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對(duì)翅膀蜀漆，蟬有6條腿和1對(duì)翅膀谅河。這三種小蟲(chóng)共18只，有118條腿和20對(duì)翅膀.每種小蟲(chóng)各幾只确丢？

解：因?yàn)轵唑押拖s都有6條腿绷耍，所以從腿的數(shù)目來(lái)考慮，可以把小蟲(chóng)分成"8條腿"與"6條腿"兩種鲜侥。利用公式就可以算出8條腿的

蜘蛛數(shù)=(118-6×18)÷(8-6)

=5（只）.

因此就知道6條腿的小蟲(chóng)共

18-5=13（只）.

也就是蜻蜓和蟬共有13只褂始，它們共有20對(duì)翅膀。再利用一次公式

蟬數(shù)=(13×2-20)÷(2-1)=6（只）.

因此蜻蜓數(shù)是13-6=7（只）.

答：有5只蜘蛛描函，7只蜻蜓崎苗，6只蟬狐粱。

例6 某次數(shù)學(xué)考試考五道題，全班52人參加胆数，共做對(duì)181道題肌蜻，已知每人至少做對(duì)1道題，做對(duì)1道的有7人必尼，5道全對(duì)的有6人蒋搜，做對(duì)2道和3道的人數(shù)一樣多，那么做對(duì)4道的人數(shù)有多少人判莉？

解：對(duì)2道齿诞，3道，4道題的人共有

52-7-6=39（人）.

他們共做對(duì)

181-1×7-5×6=144（道）.

由于對(duì)2道和3道題的人數(shù)一樣多骂租，我們就可以把他們看作是對(duì)2.5道題的人（(2+3)÷2=2.5).這樣

兔腳數(shù)=4，雞腳數(shù)=2.5,

總腳數(shù)=144斑司，總頭數(shù)=39.

對(duì)4道題的有

(144-2.5×39)÷(4-2.5)=31（人）.

答：做對(duì)4道題的有31人渗饮。

以例1為例 有若干只雞和兔子，它們共有88個(gè)頭宿刮，244只腳互站，雞和兔各有多少只？

以簡(jiǎn)單的X方程計(jì)算的話僵缺，我們一般用設(shè)大數(shù)為X胡桃，那么也就是設(shè)兔為X，那么雞的只數(shù)就是總數(shù)減去雞的只數(shù)磕潮，即（88-X）只翠胰。

解：設(shè)兔為X只。則雞為（88-X）只自脯。

4X+2×（88-X）=244

上列的方程解釋為：兔子的腳數(shù)加上雞的腳數(shù)之景，就是共有的腳數(shù)。4X就是兔子的腳數(shù)膏潮，2×（88-X）就是雞的腳數(shù)锻狗。

4X+2×88-2X=244

2X+176=244

2X+176-176=244-1