速解牛吃草問題

一姜盈、牛吃草模型

【例1】一個(gè)牧場(chǎng)長(zhǎng)滿青草,牛在吃草而草又在不斷生長(zhǎng),已知牛10頭,20天把草吃盡,同樣一片牧場(chǎng),牛15頭,10天把草吃盡。如果有牛25頭,幾天能把草吃盡?

【例2】牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿牧草,秋天來了,每天牧草都均勻枯萎,這片牧場(chǎng)可供10頭牛吃8天草,可供15頭牛吃6天冗美。可供25頭牛吃多少天?

這些題目中有牛有草，牛在吃草前辅鲸，草地上就有固定量的草且又出現(xiàn)了一大段以排比句形式告訴我們的已知條件成箫，像這樣的題型我們統(tǒng)稱為“牛吃草”問題展箱，當(dāng)然還有一些題目中不涉及牛和草，但也屬于這類問題的變形蹬昌，后面我們會(huì)展示出具體的練習(xí)題混驰，接下來我們看一看對(duì)于這樣的題我們應(yīng)該怎么解決他呢?

二、解題技巧

1皂贩、追及模型解題

我們一起來分析一下例1這道題栖榨。牧場(chǎng)上原有的草量是一定的，草每天生長(zhǎng)明刷，牛每天來吃婴栽。要想把草吃完那么必須滿足牛吃草的速度>草長(zhǎng)的速度，我們很容易發(fā)現(xiàn)遮精，其實(shí)牛吃草問題就是行程問題中的追及問題居夹，也就是牛在追著草吃败潦，既然是行程問題中的追及問題，我們馬上就想到公式：距離和=速度差X時(shí)間准脂，我們來看一看劫扒，這里的距離和就相當(dāng)于原有草量，速度差也就是牛吃草的速度-草生長(zhǎng)的速度狸膏，分析題目可知無論供幾頭牛吃多少天沟饥，原始草量都是不變的，根據(jù)條件我們即能列方程進(jìn)行求解湾戳。

【解析】假設(shè)每頭牛每天吃一份量的草贤旷，草生長(zhǎng)的速度為x，吃光草時(shí)間為t砾脑，根據(jù)題意可得(10-x)×20=(15-x)×10=(25-x)×t 解出

:t=5天幼驶。

根據(jù)這道例題我們也總結(jié)出了面對(duì)追及型的牛吃草問題我們的答題思路：設(shè)每頭牛每天吃1份草，牛的頭數(shù)為N韧衣，草生長(zhǎng)速度為X盅藻，原有草量為M，即得公式M=(N-X)*T畅铭，根據(jù)原有草量為定值列出方程組求解即可氏淑。

2、相遇型牛吃草問題

我們來看一下例2這道題和例1有什么區(qū)別硕噩，這里面的草不僅不生長(zhǎng)了假残，還在以一定的速度減少，牛在吃草炉擅，草在以相反方向減少,這個(gè)就很像我們行程問題中的相遇問題,公式：距離差=速度和X時(shí)間辉懒，還是以上的思路，無論怎么變坑资，原始草量都是不變的耗帕，我們即可列出方程求解。

【解析】假設(shè)每頭牛每天吃一份量的草袱贮，草生長(zhǎng)的速度為x仿便，可供25頭牛吃草時(shí)間為t，根據(jù)題意可得(10+x)×8=(15+x)×6=(25+x)×t 解出

:t=4天攒巍。

根據(jù)這個(gè)例題我們也總結(jié)出相遇型牛吃草問題的常用公式M=(N+X)*T遇到此類問題時(shí)同樣找出不變量列方程組即可求解嗽仪。

3、多個(gè)草場(chǎng)牛吃草問題

【例3】有一草地柒莉，40畝草地的草闻坚，20只羊18天可以吃完，25畝草地的草兢孝，12只羊30天可以吃完窿凤。問60畝草地的草仅偎，多少只羊9天可以吃完?

這道題跟前兩題有些不一樣，他涉及了很多草場(chǎng)雳殊，原始草量也不一樣橘沥，不符合我們牛吃草的模型也辦法直接列方程組進(jìn)行求解，那我們來思考一下是否可以給它改改條件但是不影響題目中的已知條件還可以讓我們用牛吃草的模型解決問題夯秃，既然它原始草量不一樣我們可不可以給它們擴(kuò)大相應(yīng)的倍數(shù)即使他們的原始草量相同座咆，對(duì)所有草量用最小公倍數(shù)進(jìn)行統(tǒng)一。取40,25,60的最小公倍數(shù)600.題干就等同于600畝的草量300只羊吃18天仓洼，288只羊吃30天介陶，問供多少只羊吃9天?現(xiàn)在就變成了我們標(biāo)準(zhǔn)的牛吃草模型，設(shè)草的生長(zhǎng)速度為x色建，600畝可以讓n只羊吃9天哺呜，根據(jù)原始草量相同列出方程：(300-x)×18=(288-x)×30=(n-x)×9

求得n=330，所以60畝草地9天吃完需要羊數(shù)量為330÷10=33镀岛。

面對(duì)此類題目時(shí)我們通常取操場(chǎng)草量的最小公倍數(shù)弦牡，把它變成標(biāo)準(zhǔn)的牛吃草問題再進(jìn)行求解，這里要注意的是漂羊，隨著草場(chǎng)擴(kuò)大，牛的頭數(shù)也要進(jìn)行相應(yīng)倍數(shù)的擴(kuò)大卸留，否則則改變了題目中的已知條件走越。

當(dāng)然在考試中一些題還是會(huì)以其他的方式出現(xiàn)，迷惑我們耻瑟，但它也屬于牛吃草問題旨指，我們看幾道練習(xí)題。

【練習(xí)1】物美超市的收銀臺(tái)平均每小時(shí)有60名顧客前來排隊(duì)付款喳整，每一個(gè)收銀臺(tái)每小時(shí)能應(yīng)付80名顧客付款谆构。某天某時(shí)刻，超市如果只開設(shè)一個(gè)收銀臺(tái)框都，付款開始4小時(shí)就沒有顧客排隊(duì)了搬素，問如果當(dāng)時(shí)開設(shè)兩個(gè)收銀臺(tái)，則付款開始幾小時(shí)就沒有顧客排隊(duì)了?

A.2

B.1.8

C.1.6

D.0.8

【答案】D魏保。解析：此題雖未體現(xiàn)出牛與草的字眼熬尺，但原有人數(shù)不變，又以排比形式告訴我們已知條件符合牛吃草模型谓罗，即可根據(jù)上述公式列方程求解粱哼，設(shè)開兩個(gè)收銀臺(tái)付款t小時(shí)就沒有顧客了，則根據(jù)原有人數(shù)相等可列關(guān)系式(80-60)×4=(80×2-60)×t檩咱，解得t=0.8揭措。

【練習(xí)2】某河段中的沉積河沙可供80人連續(xù)開采6個(gè)月或60人連續(xù)開采10個(gè)月胯舷。如果要保證該河段河沙不被開采枯竭，問最多可供多少人進(jìn)行連續(xù)不間斷的開采?(假定該河段河沙沉積的速度相對(duì)穩(wěn)定)

A.25

B.30

C.35

D.40

【答案】B绊含。解析：符合牛吃草模型桑嘶，根據(jù)原來沉積的泥沙不變即可列方程求解，設(shè)該河段河沙沉積速度為x艺挪，則可以列出方程(80-x)×6=(60-x)×10不翩，解得x=30，因此要想河沙不被開采枯竭麻裳，開采速度必須≤沉積速度口蝠，取極值也就是當(dāng)二者速度相等時(shí)，即沉積速度為30津坑，又因?yàn)榇祟悊栴}我們通常設(shè)“牛每天吃一份量的草”對(duì)應(yīng)到這道題中即每天沉積一份量的泥妙蔗，因此得到結(jié)果最多供30人開采。

其實(shí)牛吃草問題并不難疆瑰，只要找到不變量眉反，列出方程組即可進(jìn)行求解。

公務(wù)員之路穆役，從華圖起步寸五。