D-S框架中需求價格彈性與替代彈性

本文的目的是想證明D-S框架中需求彈性=替代彈性

在學習新經濟地理學時辐赞，第一個接觸的模型就是D-S模型寺擂∏蛱危可以說DS是后面一系列模型的基礎杀迹，充分理解這個基礎模型對后面的學習幫助很大亡脸。

記得最初學習推導DS模型，對需求彈性=替代彈性這個結論很不理解。當時書上的證明過程也很模糊浅碾，因此就自己琢磨了一下〈笾荩現將自己的想法總結如下。

CES效用函數

假設效用函數符合如下形式：
$F\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=\left(\int_{0}^{n} x\left(\omega_{i}\right)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}} d i\right)^{\frac{\sigma}{\sigma-1}}$
其中 $\sigma>1$

替代彈性

替代彈性是指相對數量對相對價格的彈性垂谢，相對價格可以是主觀相對價格（邊際效用之比厦画，類似于邊際技術替代率），也可以是客觀相對價格（實際價格之比）滥朱，公式如下：
$\varepsilon_{s u b}=-\frac{d \ln \left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right)}{d \ln \left(\frac{F_{1}}{F_{2}}\right)}=\frac{d \ln \left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right)}{d \ln \left(\frac{F_{2}}{F_{1}}\right)}$
其中 ${F_{1}}$ 是商品1的邊際效用根暑， $\frac{F_{1}}{F_{2}}\$ 表示主觀相對價格，即 $MRTS_{1,2}$ 徙邻。
均衡時排嫌，邊際效用之比等于價格之比， $M R T S_{1, 2}=\frac{p_{2}}{p_{1}}$ 缰犁，此時替代彈性為：
$\varepsilon_{s u b}=\frac{d \ln \left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right)}{d \ln \left(\frac{F_{2}}{F_{1}}\right)}=\frac{d \ln \left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right)}{d \ln \left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right)}淳地，\varepsilon_{s u b}>0$

D-S框架

消費者在預算約束下實現效用最大化：
$\begin{aligned} \operatorname{Max}\left(\int_{0}^{n} x\left(\omega_{i}\right)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}} d i\right)^{\frac{\sigma}{\sigma-1}} , \text {s.t.} & I=\int_{0}^{n} p\left(\omega_{i}\right) x\left(\omega_{i}\right) d i \end{aligned}$
一階條件滿足 $\left(\int_{0}^{n} x\left(\omega_{i}\right)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}} d i\right)^{\frac{\sigma}{\sigma-1}-1} \cdot x\left(\omega_{i}\right)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}-1}=\lambda p\left(\omega_{i}\right)$
各商品消費比滿足 $\frac{x\left(\omega_{i}\right)}{x\left(\omega_{j}\right)}=\left(\frac{p\left(\omega_{i}\right)}{p\left(\omega_{j}\right)}\right)^{-\sigma}$ ，此時商品的替代彈性 $\varepsilon_{s u b}=\sigma$
進一步帅容，等是兩邊同時乘以 $p\left(\omega_{i}\right)$ 再求和颇象，用一次約束條件后，即可求出馬歇爾需求函數：
$x\left(\omega_{j}\right)=I \cdot p\left(\omega_{j}\right)^{-\sigma} /\left(\int_{0}^{n} p\left(\omega_{i}\right)^{1-\sigma} d i\right)$
由該需求函數可知丰嘉，需求的價格彈性為 $\sigma$ 夯到，即證明D-S框架中需求彈性=替代彈性。

參考

https://bbs.pinggu.org/thread-1404088-1-1.html
https://bbs.pinggu.org/thread-6902722-1-1.html

最后編輯于：2021.02.26 12:00:38

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