經(jīng)典形式
設 
定義在正整數(shù)集合上埃唯，如果：
%20%3D%20%5Csum_%7Bd%7Cn%7D%20f(d)%2C%20n%20%5Cge%201)
稱作是 的和函數(shù)[1]琢蛤。
此時，無論 是什么蜂嗽，都有如下公式成立：
%20%3D%20%5Csum_%7Bd%7Cn%7D%20%5Cmu(d)%20g(%5Cfrac%7Bn%7D%7Bd%7D)%2C%20n%20%5Cge%201)
其中的 
是一個數(shù)論函數(shù)苗膝，稱作莫比烏斯函數(shù)。
觀察這兩個式子植旧，前者由 求得 辱揭；后者反過來由 求得 。后者應用在求 比 容易的情況下病附，用和函數(shù)反過來求原函數(shù)问窃。這種過程一般稱作莫比烏斯變換或者莫比烏斯反演。
狄利克雷卷積
經(jīng)典表示方法雖然直接完沪，但是顯得繁瑣域庇。最常見的替代表示方案是使用狄利克雷卷積嵌戈。
設 
都是定義在正整數(shù)集合上的函數(shù)，他們的狄利克雷卷積是一個定義在同樣范圍內(nèi)的函數(shù)听皿，用 
表示熟呛，滿足：
(n)%20%3D%20%5Csum_%7Bd%7Cn%7D%20f(d)%20g(%5Cfrac%7Bn%7D%7Bd%7D))
或者寫成：
(n)%20%3D%20%5Csum_%7Bab%3Dn%7D%20f(a)%20g(b))
其中 
是正整數(shù)。
從定義中顯然可以看出 
運算滿足的交換律：
[2]尉姨。也可以看出它滿足結(jié)合定律 %20*%20h%20%3D%20f%20*%20(g%20*%20h))
庵朝。
下面取一些特殊函數(shù)做狄利克雷卷積。
設 )
在 
時為 1啊送，否則為 0偿短。那么 
。
設 %20%3D%201)
馋没，那么 (n)%20%3D%20%5Csum_%7Bd%7Cn%7Df(d)1(.)%20%3D%20%5Csum_%7Bd%7Cn%7Df(d))
昔逗，是 的和函數(shù)。
用狄利克雷卷積篷朵，莫比烏斯反演可以這樣表達：
如果 
勾怒，那么 
。
莫比烏斯函數(shù)
在上面的反演表達中声旺，如果令 
笔链，那么得到：
這個表達式是對 更直接的描述。如果 滿足 腮猖，那么輕松可以證明 
：
鉴扫。所以，證明莫比烏斯反演成立的工作量澈缺，也就只有根據(jù) 求出 的工作量坪创。
