高級計量經(jīng)濟學 16：短面板(上) (修正1)

在讀 paper 的時候，發(fā)現(xiàn)自己對短面板的框架邏輯有不全面的地方笛粘，在這里對各位讀者說聲對不起趁怔！

這是船新的版本湿硝，我將自己的理解融入其中，筆記順序與教材不同润努。

畢竟我也是現(xiàn)學現(xiàn)賣关斜，敬請諒解！

此文內容為《高級計量經(jīng)濟學及STATA應用》的筆記铺浇，陳強老師著痢畜，高等教育出版社出版。

我只將個人會用到的知識作了筆記鳍侣，并對教材較難理解的部分做了進一步闡述丁稀。為了更易于理解，我還對教材上的一些部分（包括證明和正文）做了修改倚聚。

僅供學習參考线衫，請勿轉載，侵刪惑折！

15 短面板
- 15.1 面板數(shù)據(jù)的特點
  - 15.1.1 面板數(shù)據(jù)
  - 15.1.2 面板數(shù)據(jù)的優(yōu)缺點
- 15.2 個體效應模型
  - 15.2.1 面板數(shù)據(jù)的估計策略
  - 15.2.2 對擾動項的討論
  - 15.2.3 個體效應模型的兩大類：固定效應和隨機效應
- 15.3 混合回歸
- 15.4 固定效應模型的估計方法
  - 15.4.1 個體固定效應
    - a. 組內估計量
    - b. LSDV（虛擬變量法）
    - c. 一階差分法
  - 15.4.2 時間固定效應
    - a. LSDV（虛擬變量法）
    - b. 時間趨勢項

$\S \text{ 第 15 章 } \S$

$\text{短面板}$

15.1 基本術語

15.1.1 面板數(shù)據(jù)

面板數(shù)據(jù)（ panel data ）授账，也譯為平行數(shù)據(jù)（ longitudinal data ），指的是在一段時間內跟蹤同一組個體（ individual ）的數(shù)據(jù)惨驶。它既有橫截面的維度（ $n$ 個個體）白热，又有時間維度（ $T$ 個時期）。

比如敞咧，一個 $T=3$ 的面板數(shù)據(jù)結構如表 15.1 所示：

通常的面板數(shù)據(jù) $T$ 較小棘捣，而 $n$ 較大，在使用大樣本理論時讓 $n\to\infty$ 休建。這種面板數(shù)據(jù)被稱為短面板（ short panel ）乍恐。反之，如果 $T$ 較大而 $n$ 較小测砂，則被稱為長面板（ long panel ）茵烈。

如果在面板數(shù)據(jù)中，每個時期的樣本中的個體完全一樣砌些，則稱為平衡面板數(shù)據(jù)（ balanced panel ）呜投；反之，則稱為非平衡面板數(shù)據(jù)

在面板模型中存璃，如果解釋變量包含被解釋變量的滯后值仑荐，則稱為動態(tài)面板（ dynamic panel ）；反之纵东，稱為靜態(tài)面板（ static panel ）

15.1.2 面板數(shù)據(jù)的優(yōu)缺點

(1) 面板數(shù)據(jù)的優(yōu)點

可以解決遺漏變量的問題：遺漏變量偏差是一個普遍存在的問題粘招。雖然可以用工具變量法解決，但有效的工具變量常常很難找偎球。遺漏變量常常是由于不可觀測的個體差異或異質性（ heterogeneity ）造成的洒扎，如果這種個體差異不隨時間而改變（ time invariant ）辑甜，則面板數(shù)據(jù)提供了遺漏變量問題的又一利器
提供更多個體動態(tài)行為的信息：由于面板數(shù)據(jù)同時有橫截面與時間兩個維度，有時它可以解決單獨的橫截面數(shù)據(jù)或時間序列數(shù)據(jù)所不能解決的問題袍冷。比如磷醋，考慮如何區(qū)分規(guī)模效應與技術進步對企業(yè)生產(chǎn)效率的影響。對于截面數(shù)據(jù)來說胡诗，由于沒有時間維度邓线，故無法觀測到技術進步；對于單個企業(yè)的時間序列來說煌恢，又無法區(qū)分生產(chǎn)效率的提高究竟有多少是來自于規(guī)模擴大褂痰，又有多少是來自于技術進步。
樣本容量大：由于同時有截面維度與時間維度症虑，通常數(shù)據(jù)的樣本容量更大缩歪，從而可以提高估計的精確度。

(2) 截面數(shù)據(jù)的缺點

當然谍憔，截面數(shù)據(jù)也會帶來一些問題：

樣本數(shù)據(jù)通常不滿足 $\rm i.i.d.$ 的假定匪蝙，因為同一個體在不同時期的擾動項一般存在自相關
收集成本高，不易獲得

15.2 個體效應模型

15.2.1 面板數(shù)據(jù)的估計策略

估計面板數(shù)據(jù)的一個極端策略是將其看成橫截面數(shù)據(jù)而進行混合回歸（ pooled regression ）习贫，即要求樣本中每個個體都擁有完全相同的回歸方程（在 15.3 討論）逛球。另一個極端策略是為每個個體估計一個單獨的回歸方程。

前者忽略了個體間不可觀測或被遺漏的異質性苫昌，而該異質性可能與解釋變量相關而導致估計不一致颤绕；后者則忽略了個體間的共性，也可能沒有足夠的的樣本容量祟身。

因此奥务，在實踐中常常采用折衷的估計策略：即假定個體的回歸方程擁有相同的斜率，但可以擁有不同的截距袜硫，以此來捕捉異質性氯葬，如圖 15.1 所示：

這種模型被稱為個體效應模型（ individual-specific effects model ），其模型形式為：
$y_{i t}=\boldsymbol{x}_{i t}^{\prime} \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol z_{i}^{\prime} \boldsymbol{\delta}+u_{i}+\varepsilon_{i t} \quad(i=1, \cdots, n ; t=1, \cdots, T)\quad (15.1)$
其中婉陷， $\boldsymbol z_i$ 為不隨時間而變（ time invariant ）的個體特征（即 $\boldsymbol z_{it} = \boldsymbol z_i, \forall t$ ）帚称，比如性別；而 $\boldsymbol{x}_{i t}$ 則可以隨個體及時間而變（ time-varying ）秽澳。擾動項由 $(u_i+\varepsilon_{it})$ 兩部分構成闯睹，成為復合擾動項（ composite erroe term ），而方程 $(15.1)$ 也稱為復合擾動項模型（ error compoents model ）担神。

15.2.2 對擾動項的討論

較早的文獻有時將 $u_i$ 視為常數(shù)楼吃，但這也只是隨機變量的特例，即退化的隨機變量；而 $\varepsilon_{it}$ 為隨個體與時間而改變的擾動項所刀。

我們主要關注 $u_i$ ，這是因為“個體效應模型”的個體特征來源于 $u_i$ 捞挥。 $u_i$ 在幾何上代表個體異質性的截距浮创；在統(tǒng)計上則代表一個擾動項：

幾何上，沿用較早文獻的想法砌函，我們直接認為它就是截距就可以了斩披。 $u_i$ 這個擾動項并不是“真正的”擾動項，“真正的擾動項”是 $\varepsilon_{it}$ 讹俊。你可以認為 $u_i$ 是某個個體的稟賦垦沉。

舉個例子，我們在研究不同個體的受教育水平對其的收入的影響時仍劈，我沒有把智力因素加入解釋變量中厕倍。于是 $u_i$ 就可能是每個個體的智力因素（注意，它并非解釋變量）贩疙。因為每個個體的智力本身是天生決定的讹弯，是隨機的；但在出生以后这溅，他的智力又不再隨時間而變了组民。

像智力水平這種不隨時間而變的擾動項，你可以認為這是一個個體天生的稟賦或者說個體天生的差異悲靴，它表現(xiàn)為“不同的截距”臭胜，也就是我們常津津樂道的“輸在起跑線上”。
統(tǒng)計上癞尚，方程 $(15.1)$ 實際上是糅合了兩個回歸模型：
$y_{i t}=\boldsymbol{x}_{i t}^{\prime} \boldsymbol{\beta}+\varepsilon_{i t} ,\quad y_{i t}=\boldsymbol z_{i}^{\prime} \boldsymbol{\delta}+u_{i}$
對這兩個模型耸三，分別有屬于自己的擾動項， $\varepsilon_{it}$ 和 $u_i$ 浇揩，加起來就是個體效應模型了吕晌。這樣可以更好理解復合擾動項的說法，不過就難以理解截距和個體效應的說法了临燃。

15.2.3 個體效應模型的兩大類：固定效應和隨機效應

在短面板睛驳，我們假設 $\{\varepsilon_{it}\}$ 為獨立同分布（長面板可以放松此假定），且與 $u_i$ 不相關膜廊。另外乏沸，

如果 $u_i$ 與某個解釋變量 $\boldsymbol x_{it}$ 或 $\boldsymbol z_i$ 相關，則進一步稱為固定效應模型（ Fixed Effects Model, FE）爪瓜。這種情況下蹬跃，OLS估計是不一致的，解決的方法是將模型轉換铆铆。
如果 $u_i$ 與所有解釋變量 $(\boldsymbol{x}_{i t},\boldsymbol z_i)$ 都不相關蝶缀，則進一步稱為隨機效應模型（ Random Effects Model, RE）丹喻。從經(jīng)濟理論的角度看，隨機模型比較少見翁都，但仍需要通過數(shù)據(jù)來檢驗究竟使用 FE 還是 RE碍论。

顯然，與截面數(shù)據(jù)相比柄慰，面板數(shù)據(jù)提供了更為豐富的模型與估計方法鳍悠。

請十分十分重視“ $u_i$ 與某個解釋變量 $\boldsymbol x_{it}$ 或 $\boldsymbol z_i$ 是否相關”這一論斷

如果 $u_i$ 與某個解釋變量 $\boldsymbol x_{it}$ 或 $\boldsymbol z_i$ 相關，那么我們就沒有辦法準確地估計 $\boldsymbol \beta$ 坐搔，這是內生性問題

為了準確地估計 $\boldsymbol \beta$ 藏研，我們的核心思想是如何消除內生性問題

解決的辦法有很多：我們可以消去 $u_i$ ，也可以人工增加一些如“虛擬變量”“時間趨勢”概行，把內生的信息從 $u_i$ 中手動剝離出來蠢挡。

先給放一個邏輯框架，免得大家混淆本文后面的模型和估計方法凳忙。

面板數(shù)據(jù)

混合回歸模型（沒有個體效應）

個體效應模型（有個體效應）

固定效應模型（ $u_i$ 與某個解釋變量 $\boldsymbol x_{it}$ 或 $\boldsymbol z_i$ 相關）

個體固定效應

組內估計量 (處理方法) + OLS (估計方法)

LSDV法 (處理方法袒哥，即虛擬變量) + OLS (估計方法)

一階差分法 (處理方法) + OLS (估計方法)

時間固定效應

虛擬變量 (處理方法) + OLS (估計方法)

時間趨勢項 (處理方法) + OLS (估計方法)

隨機效應模型（ $u_i$ 不與任何解釋變量 $\boldsymbol x_{it}$ 或 $\boldsymbol z_i$ 相關）

… (我還沒學)

后面別給搞混淆了??

15.3 混合回歸

如果所有個體都擁有完全一樣的回歸方程，也就是說每個個體連截距項都相同消略，那么方程 $(15.1)$ 的 $u_i$ 就都相等堡称。我們記 $\alpha$ 為截距，即 $u_1 = \cdots =u_i\equiv \alpha$ 艺演，那么方程 $(15.1)$ 就可以寫成：
$y_{i t}=\alpha+\boldsymbol x_{i t}^{\prime} \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol z_{i}^\prime \boldsymbol{\delta}+\varepsilon_{i t}\quad(15.2)$
其中却紧， $\boldsymbol x_{it}$ 不包含常數(shù)項。這樣胎撤，就可以把所有的數(shù)據(jù)放在一起晓殊，像對待橫截面數(shù)據(jù)那樣進行 OLS 回歸，故被稱為混合回歸（ polled regression ）伤提∥装常混合回歸可以被稱為總體平均估計量（ Population-averaged estimator, PA），因為可以把它理解為將個體效應都平均掉了肿男。

由于面板數(shù)據(jù)的特點介汹，雖然通常可以假設不同個體之間的擾動項相互獨立舶沛，但同一個體在不同時間的擾動項之間往往存在自相關嘹承。此時，對標準誤的估計應該使用聚類穩(wěn)健的標準誤（ cluster-robust standard error ）如庭，而所謂聚類（ cluster ）叹卷，就是由每個個體不同時期的所有觀測值所組成。同一聚類（個體）的觀測值允許存在相關性，而不同聚類（個體）的觀測值則不相關骤竹。

混合回歸的基本假設是不存在個體效應 $u_i$ 帝牡。對于這個假設必須進行統(tǒng)計檢驗。由于個體效應以兩種不同的形態(tài)存在：固定效應蒙揣、隨機效應靶溜，故在下面會分別介紹其檢驗方法。

15.4 固定效應模型的估計方法

固定效應模型是指 $u_i$ 與某個解釋變量 $\boldsymbol x_{it}$ 或 $\boldsymbol z_i$ 相關的個體效應模型鸣奔。換句話說，由于存在一些遺漏變量惩阶，使得 $u_i$ 與解釋變量產(chǎn)生內生性挎狸。所以，固定效應模型求解的關鍵就是如何排除內生性的干擾断楷！

總的來看锨匆， $u_i$ 與某個解釋變量 $\boldsymbol x_{it}$ 或 $\boldsymbol z_i$ 相關分成兩種情況：

$u_i$ 與不隨時間而變但隨個體而異的遺漏變量問題，解決這問題的模型我們稱為個體固定效應模型
$u_i$ 與不隨個體而變但隨時間而異的遺漏變量問題冬筒，解決這類問題的模型稱為時間固定效應模型

我們下面來探討如何對兩種固定效應模型進行處理恐锣。

15.4.1 個體固定效應

a. 組內估計量

思想：消去 $u_i$ ，消除內生性

優(yōu)點：易于操作和理解

缺點：無法估計固定效應舞痰，需要嚴格外生性假設

如果 $u_i$ 與某個解釋變量 $\boldsymbol x_{it}$ 或 $\boldsymbol z_i$ 相關土榴，那么此個體效應模型就變成了固定效應模型。這種情況下响牛，OLS估計是不一致的玷禽。為了得到一致的 $\boldsymbol{\beta}$ 估計量，解決的方法是將模型轉換呀打，并將 $u_i$ 消去矢赁。

給定個體 $i$ 峰弹，將方程 $(15.1)$ 兩邊對時間取平均佛南，可得：
$\bar{y}_{i}=\bar{\boldsymbol x}_{i}^{\prime} \boldsymbol \beta+\boldsymbol z_{i}^{\prime} \boldsymbol \delta+u_{i}+\bar{\varepsilon}_{i}\quad(15.3)$
用 $(15.3)-(15.1)$ 則可以得到原模型的離差形式：
$y_{it}-\bar{y}_{i}=\left(\boldsymbol{x}_{i_{1}}-\overline{\boldsymbol{x}}_{i}\right)^{\prime} \boldsymbol{\beta}+\left(\varepsilon_{u}-\bar{\varepsilon}_{i}\right)\quad(15.4)$
定義：
$\tilde{y}_{i t} \equiv y_{i t}-\bar{y}_{i}, \tilde{\boldsymbol x}_{i t} \equiv \boldsymbol x_{i t}-\bar{\boldsymbol x}_{i}, \tilde{\varepsilon}_{i t} \equiv \varepsilon_{i t}-\bar{\varepsilon}_{i}$
那么 $(15.4)$ 就變成了：
$\tilde{y}_{i t}=\tilde{\boldsymbol{x}}_{it}^{\prime} \boldsymbol{\beta}+\tilde{{\varepsilon}}_{it}\quad(15.5)$
在公式 $(15.5)$ 中硼补， $u_i$ 已經(jīng)被消去懂缕，故只要 $\tilde{{\varepsilon}}_{it}$ 與 $\tilde{\boldsymbol{x}}_{it}$ 不相關怀伦，就可以使用 OLS 一致地估計 $\boldsymbol{\beta}$ 帅容，稱為固定效應估計量（ Fixed Effects Estimator ）装畅，記為 $\hat{\boldsymbol{\beta}}_{\rm FE}$ 晶衷。由于 $\hat{\boldsymbol{\beta}}_{\rm FE}$ 使用了每個個體的組內離差信息恭应，故也被稱為組內估計量（ within estimator ）咪啡。即使個體特征 $u_i$ 與解釋變量 $\tilde{\boldsymbol{x}}_{it}$ 相關，只要使用組內估計量暮屡，就可以得到一致估計撤摸，這是面板數(shù)據(jù)的一大優(yōu)勢。

然而，在作離差變換的過程中准夷， $\boldsymbol z_{i}^{\prime} \boldsymbol \delta$ 也被消掉了钥飞，于是無法估計 $\boldsymbol \delta$ 。也就是說固定效應模型無法估計不隨時間而變的變量的影響衫嵌，這是 FE 的一大缺點读宙。另外，為了保證 $\left(\varepsilon_{u}-\bar{\varepsilon}_{i}\right)$ 與 $\left(\boldsymbol{x}_{i{1}}-\overline{\boldsymbol{x}}_{i}\right)$ 不相關楔绞，則要求第 $i$ 個觀測值滿足嚴格外生性结闸，即：
${\rm E}(\varepsilon_{it}|\boldsymbol{x}_{i_{1}},\dots,\boldsymbol{x}_{i_{T}})=0$
這是因為 $\bar{\boldsymbol x}_{i}$ 中包含了 $(\boldsymbol{x}_{i_{1}},\dots,\boldsymbol{x}_{i_{T}})$ 的所有信息。換言之酒朵，擾動項必須與各期的解釋變量均不相關桦锄，這是一個比較強的假定。

b. LSDV法 (虛擬變量法)

思想：人工加入虛擬變量蔫耽，把內生性手動外生化

優(yōu)點：能夠估計出個體固定效應结耀，操作簡便，可解釋性強

缺點：如果 $n$ 很大匙铡，計量軟件可能不支持

如果在原方程中引入 $(n-1)$ 個虛擬變量（如果沒有截距图甜，則引入 $n$ 個虛擬變量）來代表不同的個體，則可以得到與上述離差模型同樣的結果鳖眼，即：
$y_{i t}=\alpha+\mathbf{x}_{i t}^{\prime} \boldsymbol{\beta}+\mathbf{z}_{i}^{\prime} \boldsymbol{\delta}+\sum_{i=2}^{n} \gamma_{i} D_{i}+\varepsilon_{i t}$
其中黑毅，個體虛擬變量 $D_j=1$ 如果 $i=j$ ；否則 $D_j=0$ 钦讳〔├撸可以用 OLS 估計此方程，而且我們可以證明蜂厅， LSDV 法與組內估計量 FE 完全一樣匪凡。因此，F(xiàn)E 也被稱為最小二乘虛擬變量模型（ Least Square Dummy Variable Model, LSDV）

不過掘猿，如果作完 LSDV 后發(fā)現(xiàn)某些個體的虛擬變量不顯著將其刪去病游，那么 LSDV 的結果就不會與 FE 相同。使用 LSDV 的好處是可以得到對個體異質性 $u_i$ 的估計（模型中的 $\gamma_i$ ）稠通，但如果 $n$ 很大衬衬，則需要在回歸方程中加入很多虛擬變量，可能超出一些計量軟件的最大解釋變量數(shù)量改橘。

LSDV 法深受不少研究者的喜愛滋尉，因為它操作簡便，可解釋性也強飞主。

c. 15.4.3 一階差分法

思想：消去 $u_i$ 狮惜，消除內生性

優(yōu)點：只要擾動項的一階差分與解釋變量的一階差分不相關高诺，估計就是一致的

缺點：估計效率低

考慮固定效應模型，可以對個體效應模型 $(15.1)$ 進行差分處理：
$固定效應：y_{i t}=\boldsymbol{x}_{i t}^{\prime} \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol z_{i}^{\prime} \boldsymbol{\delta}+u_{i}+\varepsilon_{i t}$

$一階滯后：y_{i ,t-1}=\boldsymbol{x}_{i, t-1}^{\prime} \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol z_{i}^{\prime} \boldsymbol{\delta}+u_{i}+\varepsilon_{i ,t-1}$

于是碾篡，把兩個方程相減虱而，就可以得到一階差分方程，從而消除個體效應：
$差分模型：y_{i t}-y_{i, t-1}=\left(\boldsymbol{x}_{i t}-\boldsymbol{x}_{i, t-1}\right)^{\prime} \boldsymbol{\beta}+\left(\varepsilon_{i t}-\varepsilon_{i, t-1}\right)$
對此差分模型使用 OLS 估計即得到一階差分估計量（ First Differencing Estimator ）开泽，記為 $\hat{\boldsymbol\beta}_{\rm DF}$ 牡拇。由于 $u_i$ 不再出現(xiàn)在差分方程中，只要擾動項的一階差分 $\left(\varepsilon_{i t}-\varepsilon_{i, t-1}\right)$ 與解釋變量的一階差分 $\left(\boldsymbol{x}_{i t}-\boldsymbol{x}_{i, t-1}\right)$ 不相關穆律，則 $\hat{\boldsymbol\beta}_{\rm DF}$ 就是一致的惠呼，這比 $\hat{\boldsymbol{\beta}}_{\rm FE}$ 的嚴格外生性要求更弱，是 $\hat{\boldsymbol\beta}_{\rm DF}$ 的優(yōu)點峦耘。

不過剔蹋，可以證明，在 $T>2$ 下贡歧， $\hat{\boldsymbol{\beta}}_{\rm FE}$ 比 $\hat{\boldsymbol\beta}_{\rm DF}$ 更有效率滩租。因此赋秀，在實踐上利朵，主要使用 $\hat{\boldsymbol{\beta}}_{\rm FE}$ 而不是 $\hat{\boldsymbol\beta}_{\rm DF}$ 。但對于動態(tài)面板猎莲，嚴格外生性無法滿足绍弟，則主要用 $\hat{\boldsymbol\beta}_{\rm DF}$ 。

15.4.2 時間固定效應

上面的個體固定效應解決了不隨時間而變但隨個體而變（time invariant）的遺漏變量問題著洼。

類似地樟遣，引入時間固定效應，則可解決不隨個體而變但隨時間而變（individual invariant）的遺漏變量問題身笤。

a. LSDV (虛擬變量法)

假設模型為：
$y_{i t}=\boldsymbol{x}_{i t}^{\prime} \boldsymbol{\beta}+z_{i}^{\prime} \boldsymbol{\delta}+\left(\gamma S_{j}\right)+u_{i}+\varepsilon_{i i}$
其中豹悬， $S_t$ 不可觀測，定義 $\lambda_t=\gamma S_t$ 液荸，則上式可以寫成：
$y_{i t}=\boldsymbol{x}_{i t}^{\prime} \boldsymbol{\beta}+z_{i}^{\prime} \boldsymbol{\delta}+\lambda_t+u_{i}+\varepsilon_{i i}$
在上式瞻佛，可將 $\lambda_t$ 視為第 $t$ 期獨有的截距項，并將其解釋為第 $t$ 期對被解釋變量 $y$ 的效應娇钱。于是伤柄，這些 $\lambda_1,\cdots,\lambda_T$ 稱為時間固定效應（time fixed effects）。

顯然文搂，這個模型可以用 LSDV 法來估計适刀，即對每時期定義一個虛擬變量，然后把 $(T-1)$ 個時間虛擬變量包括在回歸方程中煤蹭，比如：
$y_{i t}=\boldsymbol{x}_{i i}^{\prime} \boldsymbol{\beta}+z_{i}^{\prime} \boldsymbol{\delta}+\gamma_{2} D 2_{i}+\cdots+\gamma_{r} D T_{i}+u_{i}+\varepsilon_{i}$
其中笔喉，時間虛擬變量 $D2_i=1$ 如果 $t=2$ 否則 $D2_i=0$ 取视。對于上面的式子，既考慮了個體固定效應（ $Dt_i$ 的 $i$ ）然遏、又考慮了時間固定效應（ $Dt_i$ 的 $t$ ）贫途，所以稱為雙向固定效應（Two-way FE）。相應的待侵，如果僅考慮個體固定效應（如15.4.1 的模型）則稱為單向固定效應（One-way FE）丢早。

b. LSDV (時間趨勢項)

有些情況，為了節(jié)省參數(shù)秧倾，可以引入時間趨勢項怨酝，以代替 $(T-1)$ 個時間虛擬變量：
$y_{i t}=\boldsymbol{x}_{i t}^{\prime} \boldsymbol{\beta}+z_{i}^{\prime} \boldsymbol{\delta}+\gamma t+u_{i}+\boldsymbol{\varepsilon}_{t_{i}}$
顯然，這個式子隱含著一個較強的假定：每個時期的時間效應應該增長那先， $y_{it}$ 隨時間 $t$ 是均勻增長的农猬。

如果此假定不大可能成立，那么就應該使用 a. 的時間虛擬變量法售淡；該方法可以獨立估計每一期的時間固定效應斤葱，也可以用于判斷每期的時間效應是否大致相等。