majer @ 2021.06.25 , 08:45 下午
1981年此疹，現(xiàn)任職于普林斯頓大學(xué)的理論物理學(xué)家伊萬德·波利亞科夫(Polyakov)瞥見了量子理論的未來。從弦的擺動到夸克與質(zhì)子的結(jié)合士聪，一系列的謎團都需要新的數(shù)學(xué)工具锦援，而他能看出來這個工具的輪廓。
他在《物理學(xué)通訊》B刊上的一封現(xiàn)在名滿江湖的四頁信的導(dǎo)言中寫道："目前戚嗅，我們必須開發(fā)一種處理隨機表面上的和的藝術(shù)雨涛。"
波利亞科夫的建議被證明是強有力的枢舶。在他的論文中懦胞，他勾勒出一個公式，大致描述了如何計算一種瘋狂混亂的表面類型的平均值凉泄，即 "劉維爾Liouville場"躏尉。他的工作將物理學(xué)家?guī)肓艘粋€新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，這對于解開被稱為弦的理論物體的行為和建立簡化的量子引力模型是至關(guān)重要的后众。
多年的努力使波利亞科夫為物理學(xué)中的其他理論找到了突破性的解決方案胀糜，但他從未完全理解劉維爾場背后的數(shù)學(xué)原理。
在過去的7年里蒂誉，一群數(shù)學(xué)家完成了物理學(xué)家認為不可能的事情教藻。在分為三部曲的里程碑式的著作中，他們用完全嚴格的數(shù)學(xué)語言重塑了波利亞科夫的公式右锨，并證明了劉維爾場完美地模擬了波利亞科夫所要考察的現(xiàn)象括堤。
法國國家科學(xué)研究中心的數(shù)學(xué)家文森特·巴爾加斯說："我們花了40年的數(shù)學(xué)時間才把波利亞科夫的四頁紙弄明白。"他與艾克斯·馬賽大學(xué)的雷米·羅茲绍移、赫爾辛基大學(xué)的安蒂·庫皮亞寧悄窃、法國國家科學(xué)研究中心的弗朗索瓦·大衛(wèi)和巴黎薩克雷大學(xué)的科林·吉拉穆是這項研究的共同作者。
三篇論文在質(zhì)樸的數(shù)學(xué)世界和混亂的物理學(xué)現(xiàn)實之間架起了一座橋梁——借助概率理論研究上的最新突破而做到這一點蹂窖。這項工作還觸及了在基礎(chǔ)物理學(xué)的主要理論中占據(jù)中心位置的對象——量子場——的哲學(xué)問題轧抗。
賓夕法尼亞大學(xué)的數(shù)學(xué)家孫昕(音)說："這是數(shù)學(xué)物理學(xué)的杰作。
無限的場
在今天的物理學(xué)中瞬测，最成功的理論的主角就是場--充滿空間的物體横媚，在不同的地方具有不同的值纠炮。
以地球的磁場為例。羅盤指針的轉(zhuǎn)動揭示了磁場在地球上每一點的影響(強度和方向)灯蝴。
然而抗碰，由于量子理論的深度隨機性，這里的情況更為復(fù)雜绽乔。從量子的角度來看弧蝇，地球并沒有產(chǎn)生一個磁場，而是有無數(shù)個不同的磁場折砸。有些看起來幾乎和我們在經(jīng)典物理學(xué)中觀察到的磁場一樣看疗，但其他的則大不相同。
但物理學(xué)家仍然想做出預(yù)測——在這種情況下將量子場的無限形式同化為一個單一的 "量子場論"或QFT睦授，是艱巨的任務(wù)两芳。這是一個關(guān)于一個或多個量子場的模型，每個量子場都有無限的變化去枷，理論需要刻畫它們?nèi)绾未嬖诤拖嗷プ饔谩?br>
在巨型實驗的支持下怖辆，QFT已經(jīng)成為粒子物理學(xué)的基本語言。標準模型就是這樣一個QFT删顶，它將電子等基本粒子描述為從無數(shù)電子場中產(chǎn)生的模糊凸起竖螃。迄今為止，它已經(jīng)通過了所有的實驗檢驗逗余。
物理學(xué)家們玩弄著許多不同的QFT特咆。有些，如標準模型录粱，渴望建立真實粒子在我們宇宙的四維空間(三個空間維度加一個時間維度)中運動的模型腻格。其他的則描述了奇異宇宙中的奇異粒子，從二維平面到六維超世界啥繁。它們與現(xiàn)實的聯(lián)系是遙遠的菜职，但物理學(xué)家們研究它們，希望獲得可以帶回到我們自己世界的見解旗闽。
波利亞科夫的劉維爾場論Liouville field theory就是這樣一個例子酬核。
劉維爾場基于法國數(shù)學(xué)家約瑟夫·劉維爾(Joseph Liouville)在19世紀開發(fā)的復(fù)雜分析方程，描述了一個完全隨機的二維表面宪睹。
這樣一個物體可能看起來不像是一個有信息量的物理學(xué)模型愁茁，但是隨機性并不意味著就沒有內(nèi)在模式。例如亭病，鐘形曲線告訴我們鹅很，在街上隨機經(jīng)過一個七英尺高的籃球運動員的可能性有多大。同樣罪帖，球狀的云和皺巴巴的海岸線也遵循隨機的模式促煮，但還是有可能辨別出其大規(guī)模和小規(guī)模特征之間的一致關(guān)系邮屁。
劉維爾的理論可以用來識別所有可能的隨機、鋸齒狀表面的無盡景觀中的模式菠齿。波利亞科夫意識到這種混亂對于弦論來說是至關(guān)重要的佑吝，因為弦在運動時會勾勒出一個二維面。該理論也被應(yīng)用于描述二維世界的量子引力绳匀。愛因斯坦把引力定義為時空的曲率芋忿，但若把它翻譯成量子場論的語言，就會產(chǎn)生無限多的時空——就像地球產(chǎn)生無限多的磁場一樣疾棵。
劉維爾的理論將所有這些表面打包成一個物體戈钢。它為物理學(xué)家提供了測量隨機二維表面上每個位置的曲率——引力——的工具。
孫昕說："量子引力基本上意味著隨機幾何是尔，因為量子意味著隨機殉了，引力意味著幾何∧饷叮”
波利亞科夫探索隨機表面世界的第一步是寫下一個表達式薪铜，定義找到一個特定星型體的幾率，就像鐘形曲線定義遇到一個特定身高的人的幾率恩溅。但他的公式并沒有帶來有用的數(shù)字隔箍。
要解決一個量子場理論，就是要能用場來預(yù)測觀測結(jié)果暴匠。在實踐中鞍恢，這意味著計算一個場的 "相關(guān)函數(shù)"傻粘，它通過描述一個點的場與另一個點之間的關(guān)聯(lián)程度來捕捉場的行為每窖。例如，計算光子場的相關(guān)函數(shù)弦悉，可以得到量子電磁學(xué)的麥克斯韋方程。
波利亞科夫追求的是更抽象的東西：隨機表面的本質(zhì)，類似于使云成為云僵芹、海岸線成為海岸線的統(tǒng)計關(guān)系坛猪。他需要劉維爾場雜亂無章之間的關(guān)聯(lián)性。幾十年來污秆，他嘗試了兩種不同的方法劈猪。他開始使用一種叫做費曼路徑積分的技術(shù)，最后開發(fā)了一種被稱為 引導(dǎo)法 的變通技術(shù)良拼。這兩種方法都以不同的方式出現(xiàn)了問題战得，直到數(shù)學(xué)家將它們結(jié)合到更精確的表述中。
加起來
你可能已經(jīng)想到庸推，對一個量子場的無限多種形式進行核算是幾乎不可能的常侦。20世紀40年代浇冰，量子物理學(xué)先驅(qū)理查德·費曼(Richard Feynman)為處理這種令人困惑的情況開發(fā)了一種工具，但該方法被證明有嚴重的局限性聋亡。
再拿地球的磁場來說吧肘习。我們的目標是使用量子場理論來預(yù)測某一特定地點的羅盤讀數(shù)。為了做到這一點坡倔，費曼建議將所有的場的形式加在一起漂佩。他認為，你的讀數(shù)將代表所有場的可能形式的平均值罪塔。將這些具有適當權(quán)重的無限場配置相加的程序仅仆，被稱為費曼路徑積分。
這是一個優(yōu)雅的想法垢袱，對選定的量子場產(chǎn)生具體答案墓拜。在一般情況下，沒有任何已知的數(shù)學(xué)程序可以有意義地對覆蓋無限廣闊空間的無限數(shù)量的量進行平均请契。路徑積分與其說是一個精確的數(shù)學(xué)公式咳榜，不如說是一種物理學(xué)哲學(xué)。數(shù)學(xué)家們質(zhì)疑它的適用范圍爽锥，并對物理學(xué)家依賴它的方式感到困擾涌韩。
德國波恩大學(xué)的數(shù)學(xué)家Eveliina Peltola說："作為一個數(shù)學(xué)家，我對沒有定義的東西感到不安氯夷〕加＃”
物理學(xué)家可以利用費曼的路徑積分，為最無聊的場——自由場——計算精確的相關(guān)函數(shù)腮考，自由場不與其他場甚至與自己相互作用雇毫。否則的話，物理學(xué)家就必須弄虛作假踩蔚，假裝這些場是自由的棚放，并加入溫和的相互作用，或 "擾動"馅闽。這個程序飘蚯，即微擾理論，為他們得到了標準模型中大多數(shù)場的相關(guān)函數(shù)福也，因為自然力量恰好是相當微弱的局骤。
但這對波利亞科夫來說并不奏效。盡管他最初猜測劉維爾場可能適合于添加溫和擾動暴凑，但他發(fā)現(xiàn)它與自身的相互作用太強峦甩。與自由場相比，劉維爾場在數(shù)學(xué)上似乎更難以捉摸搬设，其相關(guān)函數(shù)無法實現(xiàn)穴店。
揠苗助長
波利亞科夫很快就開始尋找一種解決方法撕捍。1984年，他與亞歷山大-貝拉文(Alexander Belavin)和亞歷山大·扎莫洛奇科夫(Alexander Zamolodchikov)合作泣洞，開發(fā)了一種叫做 "自引導(dǎo)階梯" (bootstrap)的技術(shù)--一種逐漸通向一個場的相關(guān)函數(shù)的數(shù)學(xué)階梯忧风。
要開始攀登這個階梯，你需要一個函數(shù)來表達該場中僅有的3個點的測量值之間的相關(guān)性球凰。這個 "三點相關(guān)函數(shù)"狮腿，加上一些關(guān)于該場的粒子所能獲取的能量的額外信息，構(gòu)成了階梯的最底層呕诉。
從這里缘厢，每次爬上一個點。用三點函數(shù)來構(gòu)建四點函數(shù)甩挫，用四點函數(shù)來構(gòu)建五點函數(shù)贴硫，以此類推。但是伊者，如果你在三點相關(guān)函數(shù)開始時英遭，選擇了不合適的點，這個程序就會產(chǎn)生矛盾的結(jié)果亦渗。
波利亞科夫挖诸、貝拉文和扎莫洛奇科夫用自自引導(dǎo)階梯法成功地解決了各種簡單的QFT理論，但就像費曼路徑積分一樣法精，他們無法使其適用于劉維爾場多律。
然后在20世紀90年代，物理學(xué)家——哈拉爾德·多恩和漢斯·約格·奧托搂蜓，以及扎莫洛奇科夫和他的兄弟阿列克謝——成功地找到了正確的三點狼荞，使之有可能擴展階梯，完全解決了劉維爾場(及其對量子引力的簡單描述)的問題洛勉。他們的結(jié)果粘秆，以其首字母 "DOZZ "公式而聞名，讓物理學(xué)家能夠做出涉及劉維爾場的任何預(yù)測收毫。但物理學(xué)家的成功是源于偶然的，而不是通過合理的數(shù)學(xué)推導(dǎo)殷勘。
"他們是猜測公式的天才此再。"他們蒙對了。
有依據(jù)的猜測在物理學(xué)中是有用的玲销，但不能滿足數(shù)學(xué)家的胃口输拇，他們想知道DOZZ公式從何而來。解決劉維爾場的方程式應(yīng)該來自于對場本身的某種描述贤斜，即使沒有人對如何得到它有絲毫的想法策吠。
"在我看來逛裤，這就像科幻小說，"庫皮亞寧說猴抹，"這永遠不會被任何人證明带族。"
馴服野生表面我知道這里wild不應(yīng)該翻譯成野生
2010年代初，巴爾加斯和庫皮亞寧與概率理論家雷米·羅茲和物理學(xué)家弗朗索瓦·戴維聯(lián)合起來蟀给。他們的目標是把劉維爾場的數(shù)學(xué)問題解決掉——把波利亞科夫放棄的費曼路徑積分正規(guī)化蝙砌，也許還能揭開DOZZ公式的神秘面紗。
然后跋理，他們意識到一位名叫讓·皮埃爾·卡恩的法國數(shù)學(xué)家早在幾十年前就發(fā)現(xiàn)了波利亞科夫理論的關(guān)鍵所在择克。
"從某種意義上說，在我們之前竟然沒有人給劉維爾場做出嚴格的數(shù)學(xué)定義前普，那真是超出想象肚邢。所有必要的信息都早已被發(fā)掘出來了，就是沒有人去組合到一起拭卿。"
整合工作——從2014年到2020年——成就了數(shù)學(xué)物理學(xué)的三篇里程碑式的論文道偷。
他們首先完成了路徑積分，這讓波利亞科夫感到失望记劈，因為劉維爾場與自身有強烈的相互作用勺鸦，使它與費曼的微擾工具不相容。因此目木，數(shù)學(xué)家們利用卡恩的想法换途，將場重塑為略微溫和的隨機物體，即高斯自由場刽射。高斯自由場中的峰值不會像劉維爾場中的峰值那樣隨機波動到極端军拟，從而使數(shù)學(xué)家有可能以合理的方式計算出平均數(shù)和其他統(tǒng)計結(jié)果。
"不知何故誓禁，只要使用了高斯自由場懈息，"Peltola說。"從這一點出發(fā)摹恰，就可以構(gòu)建理論中的一切辫继。"
2014年，他們公布了他們的結(jié)果：改良了波利亞科夫在1981年寫下的公式俗慈，但完全是用可信賴的高斯自由場來定義的姑宽。這是一個罕見的例子，費曼的路徑積分哲學(xué)思想找到了堅實的數(shù)學(xué)地基闺阱。
德國電子同步加速器的物理學(xué)家J?rg Teschner說："路徑積分可以存在炮车，確實存在。
有了嚴格定義的路徑積分在手，研究人員就試著看看是否能用它來從劉維爾場獲得答案瘦穆，并推導(dǎo)出其相關(guān)函數(shù)纪隙。目標是神話般的DOZZ公式。
該團隊花了數(shù)年時間研究他們的概率路徑積分扛或，確認它確實具有使自引導(dǎo)階梯法 發(fā)揮作用所需的所有特征绵咱。他們成功地在2017年和2020年發(fā)表了論文。他們從路徑積分中推導(dǎo)出DOZZ和其他相關(guān)函數(shù)告喊，并表明這些公式與物理學(xué)家使用自引導(dǎo)法得出的方程完美一致麸拄。
"現(xiàn)在我們完成了，兩邊的公式都是一樣的黔姜。"
這項工作解釋了DOZZ公式的起源拢切，并將自引導(dǎo)程序——數(shù)學(xué)家曾認為它太粗糙——與經(jīng)過驗證的數(shù)學(xué)對象聯(lián)系起來「殉常總的來說淮椰，它解決了劉維爾場的最后謎團。
"這在某種程度上是一個時代的結(jié)束纳寂，"Peltola說主穗，"但我希望這也是一些新的、有趣的事情的開始毙芜。"
巴爾加斯和合作者現(xiàn)在有了一只獨角獸忽媒，一個強相互作用的QFT以非微擾的方式被一個簡短的數(shù)學(xué)公式完美地表述了出來，而且還能進行理論預(yù)測腋粥。
現(xiàn)在晦雨，字面上的百萬美元問題是：這些概率方法能走多遠？它們能為所有的QFTs生成整齊的公式嗎隘冲？巴爾加斯他堅持認為他們的工具是專門針對劉維爾理論的二維環(huán)境的闹瞧。在更高的維度上，即使是自由場也太不規(guī)則了展辞，所以他懷疑概率方法是否能夠處理我們宇宙中引力場的量子行為奥邮。
但重鑄波利亞科夫的 "萬能鑰匙" 就將打開其他的大門。在概率論中已經(jīng)感受到了它的影響罗珍，數(shù)學(xué)家們現(xiàn)在可以肆無忌憚地揮舞著以前那些可疑的物理學(xué)公式洽腺。孫昕和他的合作者已經(jīng)從物理學(xué)中引入方程來解決有關(guān)隨機曲線的兩個問題。
物理學(xué)家們也在等待進一步的實際好處靡砌。劉維爾場的嚴格構(gòu)造可以激勵數(shù)學(xué)家嘗試證明其他似乎難以解決的QFT——不僅僅是引力的玩具理論已脓，而是直接影響到現(xiàn)實中最深層物理秘密的真實粒子和力量的規(guī)律。
理論物理學(xué)家Davide Gaiotto說："[數(shù)學(xué)家]能做到我們甚至無法想象的事情通殃。”
https://www.quantamagazine.org/mathematicians-prove-2d-version-of-quantum-gravity-really-works-20210617/
