弦振動方程

首先列出幾個不同情況下聲傳播速度的公式（參考）
弦上傳播，應力 $F_{T}$ 驹饺，弦的密度 $\mu$ ：

$c_{0}=\sqrt{\frac{F_{T}}{\mu}}$

固體中傳播钳枕，楊氏模量 $Y$ ，密度 $\rho$ ：

$c_{0}=\sqrt{\frac{Y}{\rho}}$

理想氣體中傳播赏壹，絕熱指數(shù) $\gamma$ 鱼炒，氣體常數(shù) $R$ ，開氏溫度 $T_{K}$ 蝌借，摩爾質量 $M$ ：

$c_{0}=\sqrt{\frac{\gamma RT_{K}}{M}}$

小振幅弦振動方程
現(xiàn)有一只在y方向上做小振幅振動的弦昔瞧，弦函數(shù) $y(x,t)$ ，弦線密度 $\rho$ 菩佑，截取其中一段微元AB自晰，A點坐標為 $(x,y(x,t))$ ，B點坐標為 $(x+dx,y(x+dx,t))$

給定以下各參數(shù)：
?A點與x軸夾角 $\alpha_{A}$ 稍坯，B點與x軸夾角 $\alpha_{B}酬荞，$ A點所受應力 $T_{A}$ ，B點所受應力 $T_{B}$ 瞧哟，弦橫截面積 $S$

由于只在y方向上振動混巧，AB在x軸方向上合力為0，列寫方程（注意區(qū)分線密度 $\rho$ 和密度 $\mu$ 勤揩，橫截面積 $S$ 和曲線微元 $ds$ ）

$ST_{B}Cos\alpha_{B}-ST_{A}Cos\alpha_{A}=0$

$ST_{B}Sin\alpha_{B}-ST_{A}Sin\alpha_{A}=ma=\rho ds\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}}$

由于弦的振幅很小咧党，可以做一下近似等價：

$\alpha_{A},\alpha_{B}\rightarrow 0$

$ds\rightarrow dx$

$Sin\alpha\rightarrow Tan\alpha=\frac{\partial y}{\partial x}$

將近似等價值帶入方程得：

$T_{B}=T_{A}=T$

$ST(\frac{\partial y}{\partial x}|_{x=x+dx}-\frac{\partial y}{\partial x}|_{x=x})=ST\frac{\partial^{2}y}{\partial x^{2}}dx=\rho dx\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}}$

進一步整理，并帶入最初列出的聲速得到振動方程：

$\frac{ST}{\rho}\frac{\partial^{2}y}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}}$

$\frac{T}{\mu}\frac{\partial^{2}y}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}}$

$c^{2}_{0}\frac{\partial^{2}y}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}}$

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