想要原文（英文）的PDF版本文檔介却，請聯(lián)系我矩动，我發(fā)送郵件給您读恃。
音樂和弦的幾何學(xué)
作者：Dmitri Tymoczko
翻譯：張揚
音樂和弦可以表示為幾何空間中的一個點雷滚，名為“奧比否德”（或翻譯為跡形，軌形慧起，軌道空間）菇晃。線段（line segments）則代表著一個和弦的這些音符對另一個和弦的映射（mapping）。眾多風(fēng)格范圍的作曲家蚓挤，（過去）探索過這些“非-歐幾里得”幾何空間磺送，一般來所驻子，祂們是使用介于架構(gòu)上類似的和弦之間的短線段（完成這項任務(wù)的）。這種線段只是在如此情形下才存在估灿，當(dāng)這些和弦在平移（translation）崇呵、反射（reflection）或排列（permutation）的情況下具有近乎對稱的（性征）（的時候）。常規(guī)來說的那種（Paradigmatically）諧和和弦與不諧和和弦具有不同的近乎對稱的特征甲捏，并隱含（或暗示演熟，suggest）了不同的音樂應(yīng)用（或用途）。
西方音樂置于兩個看似獨立的準則（或?qū)W科司顿？）的交叉點：和聲與對位（harmony & counterpoint）芒粹。和聲呢，界定了（delimits）可以接受的和弦（同時發(fā)生的音符）與和弦音序大溜。而對位（或voice leading*）——》
｛
*voice leading化漆，我翻譯為“”聲部引導(dǎo)”，網(wǎng)上搜的：
1.簡單來說钦奋，就是在兩個和聲變換時座云，以最小移動的方式作和聲導(dǎo)引。
2.這個其實類似在中國樂理書中的“導(dǎo)音”的功能啦付材，但是這個導(dǎo)音并不是指七級音朦拖，而是指在和聲進行中，兩個和聲之間的音符需要有最少間距的變化厌衔，形成類似于導(dǎo)音與主音的這種行進關(guān)系璧帝。
｝
》則是如此一種技巧，連接一系列和弦中的各個音符富寿，形成同時性的旋律睬隶。和弦通常如此連接，這些線（lines或聲部voices）獨立移動（并不一定是相同的方向页徐，相同的移動量）苏潜，最為有效（也即，最短距離）变勇，而且沒有聲部交叉（沿著非交叉路徑的方向恤左，圖1，A到C）搀绣，這些特點飞袋，則可以促進（有助于）音樂表演（musical performance），采用了明晰的審美規(guī)范（1豌熄，2），使得聽者可以區(qū)分開多個同時（演奏的）旋律（3）物咳。
西方音樂是如何兼顧滿足和聲與對位的同時性約束的呢锣险？是什么確定了兩個和弦通過聲部引導(dǎo)的方式連接的與否蹄皱？音樂家們一直在調(diào)研這些問題，這都有好幾個世紀的時長了芯肤。五度循環(huán)（圖. S1）在1728年首先發(fā)表出來（4）巷折，描述了介于12個大調(diào)音階中的有效聲部引導(dǎo)。而聲音網(wǎng)格（tonnetz崖咨，圖. S2）的概念锻拘，則是源自1739年的悠勒（Euler），表示了24個大調(diào)和小調(diào)三和弦中的有效聲部引導(dǎo)（2击蹲，5）署拟。最近的工作（5-13）則是調(diào)研了一系列特定情形下的有效聲部引導(dǎo)。先不管逗人的暗示（tantalizing hints歌豺，6-10）推穷，然而，并沒有音樂理論能夠明確說明普通規(guī)則用于解釋何時以及為什么有效聲部引導(dǎo)是可能的类咧。本篇報告則提供了如此的（音樂）理論馒铃，描述了這樣的幾何空間，在其中痕惋，點表示和弦区宇，而線段（line segments）表示聲部引導(dǎo)（介于它們的終端點（endpoints*）之間）
｛
*這個endpoint有待“理解”其中的意思。和counter[point]的point有關(guān)系嗎值戳？
｝
》议谷。這些空間精準地給我們展現(xiàn)了和聲與對位之間的關(guān)系。
人的音高感知述寡，既對數(shù)化柿隙，也周期化：頻率f與2f被分為單一的一個距離（八度），它們具備相同的性質(zhì)或色度（chroma）鲫凶。給音高感知的對數(shù)元素建模的化禀崖，我將一個音高基頻f根據(jù)如下公式和一個實數(shù)（real number）聯(lián)系起來：
p 0 69 t 12 log2e f=440T e1T
結(jié)果是一個線性空間（音高空間），在其中螟炫，八度有12個單位的半音（鋼琴上相鄰鍵之間的距離）波附，每個半音的距離是1，中央C被指定為數(shù)字60昼钻。如此空間的距離掸屡，反映了鍵盤樂器的物理“距離”，西方音樂記譜中的正交（orthographical）距離然评，以及心理實驗中測量的音樂距離（14仅财， 15）。
在音樂上碗淌，音符的色度（chroma）通常比它的八度更為重要盏求。因此識別所有音高p與p+12是很有用的抖锥。結(jié)果就是一個循環(huán)性的商空間（circular quotient space，或者是“音級”空間碎罚，pitch-class space）磅废，數(shù)學(xué)家稱呼為R/12Z（圖. S3）。（有關(guān)術(shù)語與符號的詞匯表荆烈，請參閱表S1拯勉。）如此空間中的“點”（音級）提供了西方樂理中常見的字母名稱以另外一種表達方式：數(shù)字化的替代：C = 0，C#/Db = 1憔购，四分之一音高（quarter-tone sharp）則 = 2.5宫峦，等等。西方音樂一般來說倦始，不過只是使用了這個空間中的一種離散的“點”格柵（lattice）斗遏。在這里，我考慮的則是更為一般鞋邑，更為連續(xù)的情況诵次。這是因為，那些影響聲部引導(dǎo)行為的對稱和弦并不需要位于這樣的離散格柵上枚碗。
一組音符的內(nèi)容逾一，往往要比它們的“次序”更為重要。故而肮雨，和弦可以通過各個音高或音級的多重集（multiset）的方式建模遵堵，那么，在之后怨规，“和弦”指的就是音級的多重集了陌宿，除非另有說明。音樂術(shù)語“轉(zhuǎn)換”（transposition）與數(shù)學(xué)上的術(shù)語“平移”（translation）同義波丰，通過在音高或音級空間中的【相加】來表示壳坪。轉(zhuǎn)換化相關(guān)的和弦與（數(shù)學(xué)上的）“平移”是一樣的；因此掰烟，C大三和弦爽蝴，｛C，E纫骑，G｝或｛0蝎亚，4，7｝先馆，“轉(zhuǎn)位化”相關(guān)于F大三和弦发框，｛F，A煤墙，C｝或｛5梅惯，9顾患，0｝，這是因為个唧，｛5，9设预，0｝ = ｛0+5徙歼，4+5，7+5｝鳖枕，若是按模12Z計算的話（modulo 12Z）魄梯。而音樂術(shù)語轉(zhuǎn)位（inversion）則與數(shù)學(xué)上的“反射”（reflection）同義，相當(dāng)于常量數(shù)值的減法宾符。轉(zhuǎn)位化相關(guān)的和弦與反射一樣酿秸；故而，C大三和弦轉(zhuǎn)位化相關(guān)于C小三和弦｛C魏烫，Eb辣苏，G｝，或｛0哄褒，3稀蟋，7｝，因為呐赡，｛0退客，3，7｝ = ｛7-7链嘀，7-4萌狂，7-0｝，若是按模12Z計算的話怀泊。在音樂上茫藏，轉(zhuǎn)換（transposition）與轉(zhuǎn)位（inversion）都很重要，這是因為包个，它們保留了和弦的特征刷允。轉(zhuǎn)換化相關(guān)（transpositionally）的和弦聽起來都非常象，而轉(zhuǎn)位化相關(guān)和弦則相當(dāng)如此（firly so碧囊？不知咋翻譯）（電影影片S1）树灶。
兩個多重集｛x(1)，x(2)糯而，...天通，x(m)｝和｛y(1)，y(2)熄驼，...像寒，y(n)｝之間的聲部引導(dǎo)是有序?qū)Γ鹸(i)烘豹，y(j)｝的一個多重集，這樣的話诺祸，每個多重集中的每一個成員携悯，都是某種意義上的“（配）對”。一個不重要的（trivial）聲部引導(dǎo)中只是包含（x筷笨，x）形式的配對憔鬼。（x(1)，x(2)胃夏，...轴或，x(n)）—>（y(1)，y(2)仰禀，...照雁，y(n)）記號可以識別關(guān)聯(lián)各清單列表中對應(yīng)項目的聲部引導(dǎo)。故而答恶，（C饺蚊，C，E悬嗓，G）—>（B卸勺，D，F(xiàn)烫扼，G）的聲部引導(dǎo)關(guān)聯(lián)了C和B曙求，C和D，E和F映企，以及G和G悟狱。音樂理論家提出了諸多測量聲部引導(dǎo)大小的方法。與其采用一個（Rather than adopting one）堰氓，我將只需要那種滿足廣泛反映公認西方音樂特點“限制”（constraints）的一種量度挤渐。這些“限制”或“約束”使得如此成為可能，在多項時間中（polnomial time）双絮，任意和弦之間的最小聲部引導(dǎo)（不必一定是雙射（bijective））（16）浴麻。每一個聲部引導(dǎo)大小的音樂理論上的量度都滿足這些“約束”。
現(xiàn)在我描述音樂和弦的幾何學(xué)囤攀。n個音高的有序序列可以表示為在R^n（圖. S4）中的一個點软免。在這個空間中的直接的線段（line segments）表示聲部引導(dǎo)。聲部引導(dǎo)大小的量度將長度指定給這些線段焚挠。我將用“商空間”（quotient spaces）來給聽眾從八度和排序信息中抽象出來的方式膏萧。若要給n個音級的排序序列建模，要形成“商空間”（R/12Z）^n，也稱為n-torus（環(huán)面） T^n榛泛。若要給無序的n個音符的音級和弦建模蝌蹂，就要識別所有點（x(1)，x(2)曹锨，...孤个，x(n)）與（x(s(1))，x(s(2))沛简，...硼身，x(s(n))），在這里覆享，s（原文圖形參考下圖）
》是任意排列（或置換）（permutation）。羯鼓偶就是营袜，總體商軌道空間T^n/S(n)（17撒顿，18），n-torus（環(huán)面） T^n按模計算了對稱編組S(n)荚板。它包含了奇異點（singularities凤壁，singularity復(fù)數(shù)，在數(shù)學(xué)里是什么意思跪另，怎么翻譯拧抖，現(xiàn)在我還不曉得，先翻譯為奇異點了）免绿，在這里唧席，本地拓撲（local topology）并非是來自R的那個。
圖2展現(xiàn)了軌形（orbifold）T^2/S(2)嘲驾，無序音級配對的空間淌哟。它是一個M（此處字母見下圖）bius strip（麥比烏斯帶）。
》這是一個正方形辽故，其左邊給出一半轉(zhuǎn)動扭曲（a half twist）徒仓，被右邊確認。軌形（奧比否德誊垢，orbifold）是居于頂部邊緣與底部邊緣的奇異點（singular）掉弛，行為上就象鏡像（mirrors）一般（18）。任何音高配對或是音級配對之間的雙射（bijective）聲部引導(dǎo)都可以關(guān)聯(lián)到圖2（電影 S2）的一個路徑上喂走。聲部引導(dǎo)大小的量度確定這些路徑的長度殃饿。它們是父空間T^n與R^n中的線段的圖像（images），或是軌形中的線段芋肠，或是“反射”了反彈（bounce off）其奇異點邊線（edges）的線段壁晒。例如，聲部引導(dǎo)（C，Db）—>（Db秒咐，C）反射出軌形的較為上層的鏡像邊界（圖2）谬晕。
推廣到更高維度是簡單的。若要構(gòu)建軌形T^n/S(n)携取，取一個n三維的棱鏡（prism）攒钳，其基底（base）是（n-1）單純形（simplex，不知這樣翻譯對不對雷滋，得查數(shù)學(xué)教材）不撑，扭轉(zhuǎn)基底，以便循環(huán)排列其頂點（vertices）晤斩，并對它進行識別焕檬，用相對的另一面（圖. S5與S6）（16）。軌形的邊界是奇異點澳泵，象鏡像那樣行為实愚，并包含帶有復(fù)制音級（duplicate pitch classes）的和弦。將八度均勻分開的和弦位于軌形的中心兔辅，并被大家所熟悉的西方式的音質(zhì)（tonality）的深沉響亮（sonorities）所包圍腊敲。聲部引導(dǎo)與棱鏡的高度坐標平行，充當(dāng)了換位（transpostions）的角色维苔。作者寫的一個免費的計算機程序可以使得讀者能夠談搜這個空間（19）碰辅。
在很多西方式的風(fēng)格中，這是一種期望介时，去發(fā)現(xiàn)有效的獨立的介于“轉(zhuǎn)換化”（transpositionally）或轉(zhuǎn)位化（inversionally）相關(guān)和弦的聲部引導(dǎo)没宾。圖1中的進行都是這種類型（電影S3）。一個和弦要是可以參與如此進行的化沸柔，只能是在如此條件下榕吼，也即，在轉(zhuǎn)換（transposition）勉失、排列（permutation）或轉(zhuǎn)位（inversion）的情況下的近乎對稱的性征（16）羹蚣。我這個推論（conclude）是通過描述這些對稱性而得的，解釋它們是如何體現(xiàn)在“軌形幾何”中乱凿，并展現(xiàn)了它們以何種方式為西方作曲家所探索顽素。
如果一個和弦將一個八度分割成均等部分，或者是這樣做的均等大小子集（subsets）的聯(lián)合體（union）徒蟆，那么胁出，改和弦就說是轉(zhuǎn)換化（transposionally）的對稱性（T-對稱）（20）。近乎T-對稱的和弦段审，比較接近T-對稱的和弦全蝶。這兩種和弦類型可以鏈接到由有效雙射聲部引導(dǎo)造成的它們的一些轉(zhuǎn)換上。當(dāng)（一個和弦）趨向于“軌形”的中心時，和弦變得更加T-對稱抑淫，可以通過逐漸增加有效雙射聲部引導(dǎo)達成的它們的轉(zhuǎn)換上绷落。居于軌形中心的完美均等的和弦，可以鏈接到由最小可能雙射聲部引導(dǎo)達成的它的轉(zhuǎn)換上始苇。相關(guān)結(jié)果包含離散的音級空間（16）砌烁。介于完美T-對稱和弦之間的有效聲部引導(dǎo)，一般來說并非是獨立的催式。因此函喉，作曲家有理由更喜歡近乎T-對稱，而不是恰好的T-對稱荣月。
由此可見管呵，傳統(tǒng)西方音樂中聲學(xué)上諧和的和弦，可以通過有效聲部引導(dǎo)連接起來（connected）哺窄。聲學(xué)上的和諧捐下，是不能被完全理解的；然而堂氯，理論家們長期以來一致認為，近似于泛音序列（harmonic seires）的前幾個連續(xù)元素（consecutive elements）的和弦牌废，是特別諧和的咽白，至少在演奏它們的泛音音色（tones）時如此（21）。泛音序列的n到2n元素在頻率空間中被劃分為一個八度鸟缕，它們將這個八度在指數(shù)-頻率空間上平均分割了晶框。這些和弦，因此聚集在軌形中心附近（表格1）懂从，一般來說可以被有效而獨立的聲部引導(dǎo)鏈接起來授段。傳統(tǒng)調(diào)性音樂探索了這種可能性（圖1，A到C番甩，以及影片S4）侵贵。這種西方對位法的中心特征是由于作曲家們對聲學(xué)上的諧和的泛音屬性的興趣而得以實現(xiàn)的。
帶有復(fù)制音級（duplicate pitch classes）的和弦具有排列對稱（P-對稱）的特點（permutationally symmetrical）缘薛，這是因為窍育，雖有平淡聲部引導(dǎo)的音符，這些音符卻有一些“卓越（不平凡宴胧，nontrivial漱抓，這樣翻譯對不對呢？）”的排列恕齐。這些和弦居于軌形的奇異點邊界的位置上乞娄。近乎P-對稱的和弦，諸如｛E，F(xiàn)仪或，Gb｝确镊，就在這些和弦附近，包含幾個緊密聚集在一起的音符溶其。有效的聲部引導(dǎo)改變了反彈周圍附近邊界的聚集在一起的音符的序列（permuting the clustered notes...）（圖2骚腥，影片S2與S4）。這種聲部引導(dǎo)瓶逃，可以是獨立的束铭，也可以是非凡的（nontrivial？到底如何翻譯呢厢绝？）契沫。平淡的微不足道的聲部引導(dǎo)在音樂上市沒有活力的，因此昔汉，就T-對稱而言懈万，作曲家有理由更喜歡近乎P-對稱而不是恰好的P-對稱。
近乎P-對稱的和弦靶病，諸如｛B会通，C， Db｝娄周，被認為是極端不諧和的涕侈。它們（卻）很是適合那種靜態(tài)音樂，在如此靜態(tài)陰雨二中煤辨，聲部在不變和聲中庸最小距離移動（圖1D）裳涛。這種做法，是近代以來“無調(diào)性”（atonal）音樂作品的特點众辨，特別是Ligeti與Lutoslawski（利格蒂和盧托斯拉夫斯基）這倆人端三。從目前的角度而言，這些前衛(wèi)先鋒的技巧鹃彻，與傳統(tǒng)的調(diào)性密切相關(guān)：他們發(fā)揮了（explit）三種基本的對稱郊闯，允許介于轉(zhuǎn)換化（transpositionally）或轉(zhuǎn)位化（inversionally）相關(guān)和弦之間的有效、獨立的聲部引導(dǎo)蛛株。
一個和弦是轉(zhuǎn)位化（inversionally）對稱（I-對稱）虚婿，倘若在音級空間中的反射的情況下不變的化。近乎I-對稱的和弦泳挥，就在這些和弦附近然痊，可以在整個軌形（throughout the orbifolds）上找到它（16）。例如屉符，
｛
? = ? = half diminished:半減 減小七 C?7=C=Cm7?5=Cm7-5=altC7(Half-diminished seventh chord) 屬和絃 G7=Gdom7(Dominant.
｝
》F#半減剧浸，減小七和弦｛6锹引，9，0唆香，4｝與F屬七和弦｛5嫌变，9，0躬它，3｝轉(zhuǎn)位（inversion）相關(guān)腾啥，和I-對稱和弦｛5.5，9冯吓，0倘待，3.5｝非常靠近组贺。因此凸舵，我們可以再它們之間找到一個有效的聲部引導(dǎo)，（6失尖，9啊奄，0，4）—>（5掀潮，9菇夸，0，3）（圖1C）（16）仪吧。近乎T-對稱的和弦庄新，諸如C大三和弦，以及近乎P-對稱的和弦邑商，諸如｛C摄咆，Db凡蚜，Eb｝人断，也可以是近乎I-對稱。因此朝蜘，I-對稱在調(diào)性與無調(diào)性音樂中都有發(fā)揮恶迈。它在19世紀扮演者突出的角色，特別是在舒伯特（Schubert（22））谱醇、瓦格納（Wagner（23））和德彪西（Debussy（圖1C））暇仲。
前面的想法可以朝幾個方向進行擴展。首先副渴，我們可以在細節(jié)處探究奈附，作曲家是如何利用音樂和弦?guī)缀螌W(xué)的。其次煮剧，我們可以通過考慮商空間（quotient spaces斥滤，這些商空間可以識別轉(zhuǎn)換化（transpositionally）與轉(zhuǎn)位化（inversionally）相關(guān)的和弦）的方式歸納這種幾何學(xué)方法（24）将鸵。第三，因為周期性的節(jié)奏模板也可以被建模（以T^n/S(n)上的點的方式）佑颇，我們可以使用這些空間來學(xué)習(xí)非洲與其他非-西方的節(jié)奏顶掉。第四，我們可以研究軌形中的距離如何與和弦近似性感知判斷相關(guān)挑胸。最后一點痒筒，理解和聲與對位之間的關(guān)系，可以給當(dāng)代作曲家提供新的（作曲）技巧茬贵。
參考指南：
References and Notes
1. C. Masson, Nouveau Traite ′ des Re `gles pour la Composition
de la Musique (Da Capo, New York, 1967).
2. O. Hostinsky ′, Die Lehre von den musikalischen Kla ¨ngen
(H. Dominicus, Prague, 1879).
3. D. Huron, Mus. Percept. 19, 1 (2001)
4. J. D. Heinichen, Der General-Bass in der Composition
(G. Olms, New York, 1969).
5. R. Cohn, J. Mus. Theory 41, 1 (1997).
6. J. Roeder, thesis, Yale University (1984).
7. E. Agmon, Musikometrica 3, 15 (1991).
8. R. Cohn, Mus. Anal. 15, 9 (1996).
9. C. Callender, Mus. Theory Online 10 (2004) (http://
mto.societymusictheory.org/issues/mto.04.10.3/
mto.04.10.3.callender.pdf).
10. G. Mazzola, The Topos of Music (Birkha ¨user, Boston,
2002).
11. R. Morris, Mus. Theory Spectrum 20, 175 (1998).
12. J. Douthett, P. Steinbach, J. Mus. Theory 42, 241
(1998).
13. J. Straus, Mus. Theory Spectrum 25, 305 (2003).
14. F. Attneave, R. Olson, Am. Psychol. 84, 147 (1971).
15. R. Shepard, Psychol. Rev. 89, 305 (1982).
16. See supporting material on Science Online.
17. I. Satake, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 42, 359 (1956).
18. W. Thurston, The Geometry and Topology of ThreeManifolds (www.msri.org/publications/books/gt3m).
19. ChordGeometries 1.1 (http://music.princeton.edu/
èdmitri/ChordGeometries.html).
20. R. Cohn, J. Mus. Theory 35, 1 (1991).
21. W. Sethares, Tuning, Timbre, Spectrum, Scale (Springer,
New York, 2005).
22. R. Cohn, 19th Cent. Mus. 22, 213 (1999).
23. B. Boretz, Perspect. New Mus. 11, 146 (1972).
24. C. Callender, I. Quinn, D. Tymoczko, paper presented at
the John Clough Memorial Conference, University of
Chicago, 9 July 2005.
25. Thanks to D. Biss, C. Callender, E. Camp, K. Easwaran,
N. Elkies, P. Godfrey Smith, R. Hall, A. Healy, I. Quinn,
N. Weiner, and M. Weisberg.
支持的在線素材
www.sciencemag.org/cgi/content/full/313/5783/72/DC1
Materials and Methods
Figs. S1 to S12
Table S1
Movies S1 to S4
Soundfile S1
References
15 February 2006; accepted 26 May 2006
10.1126/science.1126287
