矩陣論-特征值的極值, since 2021-02-12

(2021.02.06推導(dǎo))

Rayleigh-Ritz定理

設(shè) $A$ 為 $n\times n$ 對(duì)稱(chēng)陣铐懊，用 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 表示 $A$ 的特征值并且從大到小排列瞎疼，記 $\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_n$ 為對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交化特征向量，即 $\phi'_i \phi_j = 0, \space \phi'_i\phi_i =1$ 則
(1) $\sup_{x\neq0} \frac{x'Ax}{x'x} =\phi'_{1} A \phi'_{1}=\lambda_1$ ,
(2) $\inf_{x\neq0} \frac{x'Ax}{x'x} = \phi'_{n}A\phi_{n}=\lambda_n$ .
證明：
設(shè) $\Phi=(\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_n),\space \Lambda=diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$ 茅茂。對(duì)任意的 $x\in R^n$ ，存在向量 $t$ 空闲，使 $x=\Phi t$ 。根據(jù)矩陣分解 $A=U\Lambda U^{-1}=\Phi \Lambda \Phi'$ 逗噩，有 $\Phi'A\Phi = \Lambda$ 跌榔，且 $\Phi'\Phi=I$ 异雁。于是有 $\frac{x'Ax}{x'x}=\frac{t'\Phi'A\Phi t}{t'\Phi' \Phi t} = \frac{t'\Lambda t}{t't}$
又有標(biāo)量 $t'\Lambda t = \sum \lambda_i t^2_i$ 片迅，其中 $t_i$ 是矢量 $t$ 的第 $i$ 個(gè)元素皆辽， $t't=\sum t_i^2$ ，可以推出 $\frac{t'\Phi t}{t't}=\sum \lambda_i\frac{t_i^2}{\sum t_j^2}$
設(shè) $\omega_i = \frac{t^2_i}{\sum t_i^2}$ 驱闷，則有 $\frac{x'Ax}{x'x}=\sum \lambda_i \omega_i <\lambda_i \sum \omega_i=\lambda_i$ 空免，且 $\frac{x'Ax}{x'x}=\sum \lambda_i \omega_i>\lambda_n \sum \omega_i=\lambda_n$ ，定理(1)(2)得證扼菠。

推論
對(duì)任一 $n$ 階對(duì)稱(chēng)方陣 $A=(a_{ij})$ 坝咐，總有 $\lambda_n \leq a_{ii} \leq \lambda_1$ 。

推論
(1) $\sup_{\phi'x=0\space i=1,\cdots,k}\frac{x'Ax}{x'x}=\phi'_{k+1}A\phi_{k+1}=\lambda_{k+1}$ ,
(2) $\inf_{\phi'x=0\space i=1,\cdots,k}\frac{x'Ax}{x'x}=\phi'_{n}A\phi_{n}=\lambda_{n}$ ,
(3) $\sup_{\phi'x=0\space i=k+1,\cdots,n}\frac{x'Ax}{x'x}=\phi'_{1}A\phi_{1}=\lambda_{1}$ ,
(4) $\inf_{\phi'x=0\space i=k+1,\cdots,n}\frac{x'Ax}{x'x}=\phi'_{k}A\phi_{k}=\lambda_{k}$ .
證明：
(1) 由R-R定理秧饮，有 $\frac{x'Ax}{x'x}=\sum_{i=1}^{n} \lambda_i \omega_i=\sum_{i=k+1}^{n}\lambda_i \omega_i\leq \lambda_{k+1} \sum\omega_i = \lambda_{k+1}$ 泽篮。(2)(3)(4)均可以此得證。

Reference

王松桂等帽撑，線(xiàn)性模型引論姿现，科學(xué)出版社

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