ML04-局部加權線性回歸

本主題講述線性回歸的欠擬合問題：

怎么評估擬合效果

一. 回歸中的問題

??回歸一詞來自一種任務背景，測試孩子與父母身高的關系逻恐，如果父母身高比較高像吻，孩子身高也會比較高，但沒有父母的平均身高高复隆，更加趨向于人類平均身高拨匆，這就是身高回歸平均身高的一種現(xiàn)象，稱為回歸挽拂。

1. 擬合性問題

線性回歸中惭每，怎么判定訓練的模型的好壞呢？因為數(shù)據(jù)集本身的影響亏栈，一般會產(chǎn)生如下兩種情況：
??|-（1）欠擬合
??|-（2）過擬合
??
我們使用下面兩個數(shù)據(jù)集來建立直觀判定台腥，哪一種數(shù)據(jù)集會產(chǎn)生更好的擬合？
??|- 擬合好壞的判別標準绒北。

1.1. 數(shù)據(jù)集1

% matplotlib inline
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x_dat=np.loadtxt('ex2x.dat')
y_dat=np.loadtxt('ex2y.dat')

figure=plt.figure('數(shù)據(jù)集可視化',figsize=(6,4))
ax=figure.add_axes([0.1,0.1,0.8,0.8],xlabel='年齡',ylabel='身高')
ax.set_xlim(0,10)
ax.set_ylim(0,1.5)
ax.scatter(x_dat,y_dat,label='年齡身高數(shù)據(jù)集',marker='.',color=(0,0,1,1))
plt.show()

數(shù)據(jù)集1-年齡與身高

1.2. 數(shù)據(jù)集2

% matplotlib inline
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 第一列用來做偏置項1的黎侈，真正的數(shù)據(jù)是第2列與第3列
data=np.loadtxt('ex0.txt')

figure=plt.figure('數(shù)據(jù)集可視化',figsize=(6,4))
ax=figure.add_axes([0.1,0.1,0.8,0.8],xlabel='年齡',ylabel='身高')
ax.set_xlim(-0.2,1.2)
ax.set_ylim(1,5.5)
ax.scatter(data[:,1],data[:,2],label='不知名數(shù)據(jù)集',marker='.',color=(1,0,0,1))
plt.show()

數(shù)據(jù)集2-采用正態(tài)分布手工構造的數(shù)據(jù)集

1.3. 相關系數(shù)

在數(shù)學上提供了一個專門的概念來描述這種數(shù)據(jù)集的擬合性：相關系數(shù)。
??|-相關系數(shù)：用來度量兩個向量相關程度的量闷游。
??
相關系數(shù)的公式定義：
??|- $r(X,Y) = \dfrac {Cov(X, Y)}{ \sqrt {Var(X) Var(Y) }}$
??其中 $Cov(X,Y)$ 表示 $X,Y$ 的樣本協(xié)方差（無偏）： $Cov(X)=\dfrac {1} {N-1} \sum \limits _{i=1}^{N} ( X_i - \bar {X} )( Y_i - \bar { Y} )$
??其中 $Var(X)$ 表示向量 $X$ 的樣本方差（無偏方差）： $Var(X)=\dfrac {1} {N-1} \sum \limits _{i=1}^{N} {( X_i - \bar {X} )}^2$
????|-其中 $\bar{X}$ 表示樣本均值： $\bar{X}=\dfrac {1} {N} \sum \limits _{i=1}^{N} X_i$

1.4. 練習作業(yè)

實現(xiàn)協(xié)方差峻汉，方差與均值贴汪；
調用numpy中協(xié)方差，方差與均值函數(shù)休吠；
對比自己實現(xiàn)的計算結果與numpy的計算結果扳埂；
理解總體方差（有偏）與樣本方差（無偏）的區(qū)別

1.5. 數(shù)據(jù)集相關性評估

下面對上面兩個數(shù)據(jù)集，計算他們的相關系數(shù)瘤礁。
??|- 計算預測輸出值與真實值之間的相關系數(shù)阳懂，從而可以判定數(shù)據(jù)集的擬合性好壞。

數(shù)據(jù)集1的相關系數(shù)計算（sklearn實現(xiàn)）

% matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import *
import numpy as np

X_DATA = np.loadtxt('ex2x.dat')
Y_DATA = np.loadtxt('ex2y.dat')
regression=LinearRegression()
X_DATA=X_DATA.reshape(-1, 1)
Y_DATA=Y_DATA.reshape(-1, 1)
regression.fit(X_DATA, Y_DATA)

#  預測輸出
Y=regression.predict(X_DATA)
#print(Y)
print(Y.shape)
print(Y_DATA.shape)
# 判定Y_DATA與Y的相關程度

# 必須確保是行向量
cor=np.corrcoef(Y.T,Y_DATA.T)
print(cor)

# 可視化
figure=plt.figure('數(shù)據(jù)集可視化',figsize=(6,4))
ax=figure.add_axes([0.1,0.1,0.8,0.8],xlabel='年齡',ylabel='身高')
ax.set_xlim(0,10)
ax.set_ylim(0,1.5)
ax.scatter(X_DATA,Y_DATA,label='年齡身高數(shù)據(jù)集',marker='.',color=(0,0,1,1))

ax.plot(X_DATA,Y,label='線性擬合',color='r',linewidth=3)
ax.legend()

plt.show()

(50, 1)
(50, 1)
[[1.         0.92631702]
 [0.92631702 1.        ]]

數(shù)據(jù)集1-的線性回歸效果蔚携，相關系數(shù)：0.92631702

??上面的相關系數(shù)的說明：
????|-在對角線上是自己與自己的關聯(lián)系數(shù)希太；
??????|-對角線上第一個1是 $Y$ 與自己的相關系數(shù)；
??????|-對角線第二個1是 $Y\_DATA$ 與自己的相關系數(shù)酝蜒；
????|-反對角線上的兩個數(shù)是 $Y$ 與 $Y\_DATA$ 、 $Y\_DATA$ 與 $Y$ 的相關性系數(shù)矾湃。
??
??自己與自己的相關系數(shù)是最好的亡脑，就是1。完全不相關的的就是0邀跃，等于協(xié)方差完全無關霉咨。

數(shù)據(jù)集2的相關系數(shù)計算（sklearn實現(xiàn)）

% matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import *
import numpy as np

data=np.loadtxt('ex0.txt')
X_DATA=data[:,1]
Y_DATA=data[:,2]
regression=LinearRegression()
X_DATA=X_DATA.reshape(-1, 1)
Y_DATA=Y_DATA.reshape(-1, 1)
regression.fit(X_DATA, Y_DATA)

#  預測輸出
Y=regression.predict(X_DATA)
#print(Y)
print(Y.shape)
print(Y_DATA.shape)
# 判定Y_DATA與Y的相關程度

# 必須確保是行向量
cor=np.corrcoef(Y.T,Y_DATA.T)
print(cor)

# 可視化
figure=plt.figure('數(shù)據(jù)集可視化',figsize=(6,4))
ax=figure.add_axes([0.1,0.1,0.8,0.8],xlabel='年齡',ylabel='身高')
ax.set_xlim(-0.2,1.2)
ax.set_ylim(1,5.5)
ax.scatter(data[:,1],data[:,2],label='不知名數(shù)據(jù)集',marker='.',color=(1,0,0,1))
ax.plot(X_DATA,Y,label='線性擬合',color='b',linewidth=3)

ax.legend()
plt.show()

(200, 1)
(200, 1)
[[1.         0.98647356]
 [0.98647356 1.        ]]

數(shù)據(jù)集2的線性回歸效果,相關系數(shù)：0.986473561

??從上面兩個數(shù)據(jù)集的直觀視覺與相關系數(shù)都看得出來，數(shù)據(jù)集2明顯具有較好的擬合效果拍屑。
??更好的擬合性表現(xiàn)在數(shù)據(jù)集樣本點盡可能在回歸（擬合）直線上途戒。

問題
??能否有好的方式提高數(shù)據(jù)的擬合性？這就可以解決樣本欠擬合的問題僵驰。

二喷斋、局部加權回歸算法

??局部加權回歸（Locally Weighted Linear Regression：LWLR）
??局部加權回歸是解決線性回歸欠擬合問題二提出的。
??解決問題的出發(fā)點是：線性回歸的最終核心是使均方差函數(shù)最兴廛睢（最小均方誤差）星爪，局部加權是引入加權的方式，降低均方誤差粉私，使得擬合性的度量結果更好顽腾。
??因為線性擬合中的均方差是無偏的，適當引入一些偏差诺核，可以有效降低均方差抄肖。

1. 局部加權模型

?? $W=(X^T\bar{W}X)^{-1}X^T\bar{W}y$
??其中 $\bar{W}$ 就是局部加權系數(shù)。
??
??其中加權系數(shù)的確定是一個麻煩的事情窖杀，該系數(shù)必須確保漓摩，預測樣本點離已知樣本越遠加權系數(shù)越小，預測樣本點離已知樣本越近加權系數(shù)越大陈瘦。如果大家還記得正態(tài)分布（高斯分布）函數(shù)的性質幌甘，如果在0點取值1潮售，在接近無窮遠點，取值0锅风。我們就利用正態(tài)分布這個特性酥诽，可以取 $\bar{W}$ ，其其他位置的元素都為0皱埠，對角線上的值為：
?? $\bar{W}(i,i)=exp(\dfrac{(x^{(i)}-x)^2}{-2{\sigma}^2})$
??矩陣形式是：
?? $\bar{W}(i,i)=exp(\dfrac{(x^{(i)}-x)(x^{(i)}-x)^T}{-2{\sigma}^2})$
??下面使用圖示的方式肮帐，來理解該系數(shù)在回歸訓練中控制訓練樣本參與訓練的作用與價值。

% matplotlib inline
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


# 圖形數(shù)據(jù)
sigma=1
x_0=0
x=np.linspace(-1,1,101,dtype=np.float32)
y_1=np.exp((x_0-x)**2/(-2.0*sigma*sigma))
sigma=0.5
y_05=np.exp((x_0-x)**2/(-2.0*sigma*sigma))
sigma=0.1
y_001=np.exp((x_0-x)**2/(-2.0*sigma*sigma))

# 坐標軸
figure=plt.figure('機器學習-回歸優(yōu)化',figsize=(6,4))
ax=figure.add_axes([0.1,0.1,0.8,0.8],label='高斯分布系數(shù)權重關系')
ax.set_xlim(-1,1)
ax.set_ylim(0,1)
# 圖形繪制
ax.plot(x,y_1,color=(1,0,0,1),label='$\sigma=1$')
ax.plot(x,y_05,color=(0,1,0,1),label='$\sigma=0.5$')
ax.plot(x,y_001,color=(0,0,1,1),label='$\sigma=0.01$')
ax.legend()
plt.show()

正態(tài)分布的值變化可以決定樣本參與線性回歸的權重大小

2. 局部加權實現(xiàn)

??因為是總體擬合性考慮边器，所以每個測試樣本對總體訓練樣本都有一個加權矩陣训枢，該測試樣本根據(jù)加權矩陣計算出對應的預測值。這樣預測值總體的擬合性就會更好點忘巧。

結構設計

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 求一個樣本的局部權重預測值（下面函數(shù)按照多維模式恒界，但只考慮1維情況）
class  LWLinearRegression:
    def __init__(self, sample_x, label_y, sigma=1.0):
        self.X=sample_x
        self.Y=label_y
    
    def train_one_sample(self, data):
        # data 測試樣本
        # 數(shù)據(jù)加權預測值
        # 數(shù)據(jù)格式化
        # 1. 計算局部加權矩陣
        # 2. 計算線性回歸系數(shù)矩陣
        # 3.計算預測值
        return [0.0]
        
    def train(self, datasets):
        Y=np.zeros(shape=(datasets.shape[0],1), dtype=np.float)
        # 循環(huán)計算預測值
        for idx in range(datasets.shape[0]):
            Y[idx]=self.train_one_sample(datasets[idx])
        return Y

# 數(shù)據(jù)初始化
data=np.loadtxt('ex0.txt')
X_DATA=data[:,1]
Y_DATA=data[:,2]
# 數(shù)據(jù)格式化
X=np.zeros(shape=(X_DATA.shape[0], 2), dtype=np.float) # 考慮偏置項，在測試特征加一維
Y=Y_DATA.reshape(Y_DATA.shape[0], 1)
X[:, 0]=X_DATA
X[:, 1]=1

lwlr=LWLinearRegression(X, Y)
predict=lwlr.train(X)
#print(predict)

實現(xiàn)

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 求一個樣本的局部權重預測值（下面函數(shù)按照多維模式砚嘴，但只考慮1維情況）
class  LWLinearRegression:
    def __init__(self, sample_x, label_y, sigma=1.0):
        self.X=sample_x
        self.Y=label_y
        self.sigma=sigma
    
    def train_one_sample(self, data):
        # data 測試樣本
        # 數(shù)據(jù)加權預測值
        # 數(shù)據(jù)格式化
        # 1. 計算局部加權矩陣
        local_weight=np.zeros(shape=(self.X.shape[0],self.X.shape[0]),dtype=np.float32)
        for idx in range(local_weight.shape[0]):
            # 求差
            diff=data-self.X[idx,:]
            # 求平方,然后除以sigma
            sqrt=np.matmul(diff,diff.T)/(-2.0*(self.sigma**2))
            # 計算局部加權矩陣的對角線
            local_weight[idx,idx]=np.exp(sqrt)
        # 2. 計算線性回歸系數(shù)矩陣
        # 這里應該先做一個奇異值判定（我們暫時不去判定十酣，等系統(tǒng)處理發(fā)生的異常）
        W=np.matmul(
                np.matmul(
                    np.matmul(
                        np.linalg.inv(
                            np.matmul(
                                np.matmul(
                                    self.X.T,
                                    local_weight
                                ),
                                self.X
                            )
                        ),
                        self.X.T
                    ),
                    local_weight
                ),
                self.Y
            )
        # 3.計算預測值
        out_value=np.matmul(data,W)
        return out_value
        
    def train(self, datasets):
        Y=np.zeros(shape=(datasets.shape[0],1), dtype=np.float)
        # 循環(huán)計算預測值
        for idx in range(datasets.shape[0]):
            Y[idx]=self.train_one_sample(datasets[idx])
        return Y

# 數(shù)據(jù)初始化
data=np.loadtxt('ex0.txt')
X_DATA=data[:,1]
Y_DATA=data[:,2]
# 數(shù)據(jù)格式化
X=np.zeros(shape=(X_DATA.shape[0], 2), dtype=np.float) # 考慮偏置項，在測試特征加一維
Y=Y_DATA.reshape(Y_DATA.shape[0], 1)
X[:, 0]=X_DATA
X[:, 1]=1

lwlr=LWLinearRegression(X, Y)
# 使用訓練集作為測試集
predict=lwlr.train(X)
#print(predict)

擬合可視化
??通過可視化來觀察擬合效果际长；為了保證代碼的完整性耸采，我們把計算于可視化代碼放在一起。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 求一個樣本的局部權重預測值（下面函數(shù)按照多維模式工育，但只考慮1維情況）
class  LWLinearRegression:
    def __init__(self, sample_x, label_y, sigma=1.0):
        self.X=sample_x
        self.Y=label_y
        self.sigma=sigma
    
    def train_one_sample(self, data):
        # data 測試樣本
        # 數(shù)據(jù)加權預測值
        # 數(shù)據(jù)格式化
        # 1. 計算局部加權矩陣
        local_weight=np.zeros(shape=(self.X.shape[0],self.X.shape[0]),dtype=np.float32)
        for idx in range(local_weight.shape[0]):
            # 求差
            diff=data-self.X[idx,:]
            # 求平方,然后除以sigma
            sqrt=np.matmul(diff,diff.T)/(-2.0*(self.sigma**2))
            # 計算局部加權矩陣的對角線
            local_weight[idx,idx]=np.exp(sqrt)
        # 2. 計算線性回歸系數(shù)矩陣
        # 這里應該先做一個奇異值判定（我們暫時不去判定虾宇，等系統(tǒng)處理發(fā)生的異常）
        W=np.matmul(
                np.matmul(
                    np.matmul(
                        np.linalg.inv(
                            np.matmul(
                                np.matmul(
                                    self.X.T,
                                    local_weight
                                ),
                                self.X
                            )
                        ),
                        self.X.T
                    ),
                    local_weight
                ),
                self.Y
            )
        # 3.計算預測值
        out_value=np.matmul(data,W)
        return out_value
        
    def train(self, datasets):
        Y=np.zeros(shape=(datasets.shape[0],1), dtype=np.float)
        # 循環(huán)計算預測值
        for idx in range(datasets.shape[0]):
            Y[idx]=self.train_one_sample(datasets[idx])
        return Y

# 數(shù)據(jù)初始化
data=np.loadtxt('ex0.txt')
X_DATA=data[:,1]
Y_DATA=data[:,2]
# 數(shù)據(jù)格式化
X=np.zeros(shape=(X_DATA.shape[0], 2), dtype=np.float) # 考慮偏置項，在測試特征加一維
Y=Y_DATA.reshape(Y_DATA.shape[0], 1)
X[:, 0]=X_DATA
X[:, 1]=1

sigma=0.003
lwlr=LWLinearRegression(X, Y,sigma)
# 使用訓練集作為測試集
predict=lwlr.train(X)
#print(predict) 


# 可視化
# 可視化
figure=plt.figure('數(shù)據(jù)集可視化',figsize=(6,4))
ax=figure.add_axes([0.1,0.1,0.8,0.8],xlabel='年齡',ylabel='身高')
ax.set_xlim(-0.2,1.2)
ax.set_ylim(1,5.5)
ax.scatter(X_DATA,Y_DATA,label='不知名數(shù)據(jù)集',marker='.',color=(1,0,0,1))

# 排序顯示
# 得到排序索引
sort_idx=X_DATA.argsort(0)
# 得到排序的結果
X_SORT=X_DATA[sort_idx]
Y_SORT=predict[sort_idx]
ax.plot(X_SORT,Y_SORT,label='線性擬合',color='b',linewidth=3)

ax.legend()
plt.show()

局部加權線性回歸的可視化效果如绸，相關系數(shù)：0.99931945

擬合度量計算
??通過相關系數(shù)嘱朽，來判定擬合的效果；

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 求一個樣本的局部權重預測值（下面函數(shù)按照多維模式竭沫，但只考慮1維情況）
class  LWLinearRegression:
    def __init__(self, sample_x, label_y, sigma=1.0):
        self.X=sample_x
        self.Y=label_y
        self.sigma=sigma
    
    def train_one_sample(self, data):
        # data 測試樣本
        # 數(shù)據(jù)加權預測值
        # 數(shù)據(jù)格式化
        # 1. 計算局部加權矩陣
        local_weight=np.zeros(shape=(self.X.shape[0],self.X.shape[0]),dtype=np.float32)
        for idx in range(local_weight.shape[0]):
            # 求差
            diff=data-self.X[idx,:]
            # 求平方,然后除以sigma
            sqrt=np.matmul(diff,diff.T)/(-2.0*(self.sigma**2))
            # 計算局部加權矩陣的對角線
            local_weight[idx,idx]=np.exp(sqrt)
        # 2. 計算線性回歸系數(shù)矩陣
        # 這里應該先做一個奇異值判定（我們暫時不去判定燥翅，等系統(tǒng)處理發(fā)生的異常）
        W=np.matmul(
                np.matmul(
                    np.matmul(
                        np.linalg.inv(
                            np.matmul(
                                np.matmul(
                                    self.X.T,
                                    local_weight
                                ),
                                self.X
                            )
                        ),
                        self.X.T
                    ),
                    local_weight
                ),
                self.Y
            )
        # 3.計算預測值
        out_value=np.matmul(data,W)
        return out_value
        
    def train(self, datasets):
        Y=np.zeros(shape=(datasets.shape[0],1), dtype=np.float)
        # 循環(huán)計算預測值
        for idx in range(datasets.shape[0]):
            Y[idx]=self.train_one_sample(datasets[idx])
        return Y

# 數(shù)據(jù)初始化
data=np.loadtxt('ex0.txt')
X_DATA=data[:,1]
Y_DATA=data[:,2]
# 數(shù)據(jù)格式化
X=np.zeros(shape=(X_DATA.shape[0], 2), dtype=np.float) # 考慮偏置項，在測試特征加一維
Y=Y_DATA.reshape(Y_DATA.shape[0], 1)
X[:, 0]=X_DATA
X[:, 1]=1

sigma=0.003
lwlr=LWLinearRegression(X, Y,sigma)
# 使用訓練集作為測試集
predict=lwlr.train(X)
#print(predict) 

cor=np.corrcoef(predict.T,Y.T)
print(cor)

[[1.         0.99931945]
 [0.99931945 1.        ]]

??從相關系數(shù)來看蜕提，擬合的效果應該是非常的好了森书！
??但是該代碼中，還是可能存在矩陣奇異問題谎势。當取其中sigma參數(shù)為很小的時候凛膏，由于參與訓練的樣本減少，矩陣出現(xiàn)奇異的可能性非常大脏榆。

??奇異值問題的解決留待下一個主題講解猖毫。
??本主題中故意采用了ndarray的向量形式。如果使用標準的矩陣運算须喂，則在格式化上面會簡單很多吁断，因為矩陣（np.matrix）支持*這樣的內積運算符號趁蕊。就不用使用matmul這樣的函數(shù)運算。

最后編輯于：2018.12.14 13:53:58

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