拉普拉斯變換有什么用雹姊？

2019-08-01
作者：Studio TBsoft
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來源：知乎
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說明：本文中的“正弦信號”泛指按照正弦 $sin$ 函數或者余弦 $cos$ 函數規(guī)律變化的信號园蝠，因為二者變化規(guī)律實際相同渺蒿，只存在相位差異。

解釋要讓人聽得懂彪薛，映射茂装、空間、變換這樣的數學術語善延，也許211少态、985的大神能聽得懂，一般學校的本科生易遣，可能在學電路原理和模擬電子之前彼妻，復變函數與積分變換都沒學過，只會越聽越糊涂训挡。數學是一種工具澳骤，在工科中數學更多的是應用，工科中講數學澜薄，應該把數學應用在本領域的物理（實際）意義講清楚为肮，不能單純講數學，更不應該為了數學講數學肤京，否則很難讓只有工科背景颊艳，而缺乏數學專業(yè)背景的讀者理解茅特。傅里葉變換有著明確的物理意義——頻譜分析，其實拉普拉斯變換也有明確的物理意義棋枕。

簡單的說白修，傅里葉變換也罷，拉普拉斯變換也罷重斑，都是把一個信號分解成若干（實際上可以是無數）信號之和兵睛，或者說若干信號疊加的手段。

對于非周期性信號窥浪，只要是在時間軸（ $t$ 軸祖很，對應平面直角坐標系上的橫軸）上可積的信號，簡單說（不嚴謹）就是橫軸上方信號曲線所占的面積算正漾脂，橫軸下方信號曲線所占的面積算負假颇，把所有面積加起來不是無窮大，就算這個信號可積骨稿，例如單個或者有限個脈沖信號就是可積的笨鸡，因為其所占面積加起來是有限的。如果是周期性的信號坦冠，例如一定頻率的交流或者脈沖信號形耗，那么要求在一個周期內是可積的。這兩類信號蓝牲，就可以用傅里葉變換分解為若干（無數）不同頻率（也包括不同相位）正弦信號之和趟脂，或者說相當于不同頻率正弦信號的疊加。

傅里葉變換和傅里葉反變換一般寫成復指數形式例衍，但 $e^{jωt}$ 昔期，本質就是一種正弦信號，因為根據歐拉公式佛玄， $e^{jωt}=cosωt+jsinωt$ 硼一，無論取其實部，還是取其虛部梦抢，都相當于正弦信號般贼，這與能用相量 $e^{jφ}$ 表示正弦交流電的道理是相同的［相量 $e^{jφ}$ 實際上是 $e^{j(ωt+φ)}$ 的一種簡化形式］。

線性電路奥吩，即一般RLC電路哼蛆，處理正弦信號較為容易，因為對于穩(wěn)定的正弦信號霞赫，電阻腮介、感抗和容抗都是固定不變的，那么如果要處理非正弦周期性信號端衰，只消用傅里葉變換把信號分解為正弦信號的疊加叠洗，然后按照正弦信號處理甘改，最后把處理結果再重新疊加起來（傅里葉反變換）就行了。

線性電路對某一頻率正弦信號灭抑，輸出和輸入的關系十艾，叫做這個線性電路的頻率響應。對于非正弦周期性信號腾节，例如矩形波信號忘嫉，甚至非周期性信號，可以使用傅里葉變換把信號分解為不同頻率正弦信號的疊加禀倔，每個正弦信號可以看作非正弦信號的一個成分榄融，對每個成分求對應頻率下的頻率響應，最后用傅里葉反變換疊加起來救湖，就成了非正弦信號的響應。

也就是說涎才，傅里葉變換帶來的好處鞋既，就是把很難處理計算的非正弦信號化為容易處理計算的正弦信號。

那么拉普拉斯變換呢耍铜？如果信號在時間軸上不可積邑闺，傅里葉變換就不能使用了，但拉普拉斯變換證明棕兼，這種信號雖然不能分解成正弦信號之和陡舅，但仍然有可能分解成幅度（峰值）按照時間增長，成指數規(guī)律增加的正弦信號之和伴挚，也就是若干（無數）不同頻率的指數增幅正弦信號之和靶衍。例如單位階躍信號在時間軸上不可積（所占面積無窮大），傅里葉變換不能用茎芋，但拉普拉斯變換卻能用颅眶。

拉普拉斯（反）變換中的 $e^{st}$ ，本質就是一種指數增幅（也包括負增幅田弥，即衰減）正弦信號涛酗，因為 $s=σ+jω$ ，根據歐拉公式偷厦， $e^{st}=e^{σt+jωt}=(e^{σt})(cosωt+jsinωt)=(e^{σt})cosωt+j(e^{σt})sinωt$ 商叹，無論取其實部，還是取其虛部只泼，都相當于指數增幅［ $e^{σt}$ 隨時間 $t$ 增加而增長］正弦信號剖笙。

對于指數增幅正弦信號，線性電路辜妓，或者自控中的線性系統也是容易處理的枯途，因此拉普拉斯變換也可以把很難處理計算的某些信號（例如單位階躍信號）化為容易處理計算的指數增幅正弦信號忌怎，這就是為什么處理沖激響應、階躍響應等酪夷，多用拉普拉斯變換處理的原因榴啸。

從上面的分析可以看出，拉普拉斯變換是傅里葉變換的一種擴展晚岭，或者說傅里葉變換實際上可以看作拉普拉斯變換的特例鸥印，因為在 $σ=0$ 的情況下，指數增幅正弦信號就變成了普通等幅正弦信號坦报，因此傳遞函數將s換成 $jω$ 库说，也就是相當于 $σ=0$ ，就成了頻率響應函數片择。反過來說潜的，傳遞函數就是“指數增幅（或者衰減）正弦信號”的“頻率響應函數”，或者叫做“復頻率響應函數”字管，“復頻率”啰挪，也就是 $s$ ，相當于“同時考慮頻率和增幅（或者衰減）系數”嘲叔。

說白了亡呵，傅里葉變換、拉普拉斯變換甚至小波變換等硫戈，其本質就是把“不容易處理的信號”變換成“容易處理的信號之疊加”锰什，對于傅里葉變換，這個“容易處理的信號”是正弦信號丁逝；對于拉普拉斯變換汁胆，這個“容易處理的信號”是指數增幅正弦信號；對于小波變換果港，這個“容易處理的信號”就是某種特殊的小波信號沦泌，不同的小波信號種類，叫做不同的“小波基”辛掠。

上述分析是用電路舉例谢谦，但用于自控也是一樣，因為二者都能化為相同的信號流圖萝衩，二者的微分方程模型也是相同的回挽。電路和自控在很多內容上，數學內核是相同的猩谊，例如運放的“虛短”和自控系統中“負反饋使得余差減小直到趨向于零”的本質是完全相同的千劈，想想看為什么？（提示牌捷，數學本質都是負反饋）

附注：為什么拉普拉斯變換能把微分方程化為代數方程墙牌？

可以做一不太嚴謹的通俗解釋：從數學角度說涡驮，這是因為指數函數（僅指 $e^x$ ，即以 $e$ 為底的指數函數）和三角函數（僅指 $sinx$ 和 $cosx$ 兩個基本三角函數）都有一種特性：指數函數的導數還是指數函數喜滨，三角函數的導數還是三角函數捉捅，實際上通過歐拉公式，三角函數本來就可以用指數函數表示出來虽风。

這樣一來棒口，當正弦信號或者指數增幅正弦信號代入微分方程后，無論取幾階導數辜膝，導數仍然只有正弦信號或者指數增幅正弦信號无牵，實際上此時的微分方程就可以化為以正弦信號或者指數增幅正弦信號為未知數的代數方程。

這一現象厂抖，在線性電路中就表現為茎毁，對于正弦信號或者指數增幅正弦信號，電感和電容（都相當于一種微分）的電抗（包括感抗和容抗）忱辅，與 $jω$ 或者 $s$ 僅為簡單的代數關系充岛，也就是“正弦信號感抗容抗固定”。

因此耕蝉，用拉普拉斯變換將信號分解為指數增幅正弦信號，再用微分方程處理夜只，微分方程就變成了代數方程垒在。

拉普拉斯變換有什么用？

拉普拉斯變換有什么用提针？