2019-05-10

2FSK
$\Large 2FSK 二進(jìn)制頻移鍵控$
用正弦載波的不同頻率表示二進(jìn)制比特。產(chǎn)生方法可以鍵控法（信號(hào)不連續(xù)）或調(diào)頻法（信號(hào)連續(xù)）
$s_{2FSK} = A\cos[\omega_ct+2\pi K_f\int_{-\infty}^{t}b(\tau)d\tau]$
瞬時(shí)頻率與基帶信號(hào)成正比
$\frac{1}{2\pi }\frace3fb2h6{dt}\varphi(t) = K_fb(t)$
$\varphi(t) = 2\pi K_f \int_{-\infty}^{t}b(t)dt$
調(diào)頻法得到的FSK也叫做2CPFSK,CP是連續(xù)相位
相位連續(xù)2FSK信號(hào)的功率譜密度旁瓣按 $\frac{1}{f^4}衰減$
相位連續(xù)2FSK信號(hào)的功率譜密度旁瓣按 $\frac{1}{f^2}衰減$
2CPFSK家族中最著名的是MSK,GMSK,GMSK是GSM系統(tǒng)所用的調(diào)制方式封寞。
2CPFSK屬于有記憶調(diào)制，鍵控產(chǎn)生的2FSK是無(wú)記憶調(diào)制颖榜。
2FSK
- 在 $[0,T_b]$ 時(shí)間內(nèi)，2FSK發(fā)送兩種波形 $s_1(t) = A\cdot \cos(2\pi f_1t)$ 和 $s_2(t) = A\cdot \cos(2\pi f_2t)$ 之一，1和0自己規(guī)定掩完。
- $s_{FSK}(t) = \begin{cases}s_1(t) = A\cos(2\pi f_1 t)\\s_2(t) = A\cos(2\pi f_2 t) \end{cases}$ , $0\leq t\leq T_b$
- 定義 $f_c = \frac{f_1+f_2}{2},\Delta f = \frac{f_1-f_2}{2}$
兩個(gè)信號(hào)的相關(guān)系數(shù)定義為能量歸一化后的內(nèi)積
$2FSK$ 的兩個(gè)波形 $s_1(t) = A\cdot \cos(2\pi f_1 t)$ 和 $s_2(t) = A\cdot \cos(2\pi f_2t)$ 的能量相同： $E_1 = E_2 = \frac{A^2T_b}{2} = E_b$
相關(guān)系數(shù)為
- $\rho_{12} = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{s_1(t)}{\sqrt{E_1}}\cdot \frac{s_2(t)}{\sqrt{E_2}}dt = \frac{1}{E_b}\int_{0}^{T_b}\{A\cos2\pi f_1 t\cdot A\cos 2\pi f_2 t\}dt$
- $= \frac{1}{T_b}\int_{0}^{T_b}[\cos4\pi \Delta ft+\cos4\pi f_c t]dt = sinc(4\pi \Delta f T_b)+sinc(4\pi f_c T_b)$
若比特周期 $T_b$ 是載波周期 $T_c = \frac{1}{f_c}$ 的整數(shù)倍噪漾， $sinc(4\pi f_cT_b) = 0$ ，相關(guān)系數(shù)為 $\rho_{12} = sinc(4\pi \Delta fT_b) = sinc [2(f_1-f_2)\pi T_b]$
一般情況下且蓬，載波頻率 $f_c$ 遠(yuǎn)大于比特速率 $R_b$ 欣硼，此時(shí) $f_cT_b>>1$ ,近似有 $sinc(4\pi f_c T_b) \approx 0$ ，相關(guān)系數(shù)近似為 $\rho_{12}\approx sinc(4\pi \Delta f T_b) = sinc[2\pi (f_1-f_2)T_b]$
當(dāng)頻差 $f_1-f_2$ 是 $\frac{R_b}{2} = \frac{1}{2T_b}$ 的整數(shù)倍時(shí)缅疟，兩個(gè)波形正交，滿(mǎn)足正交的最小頻差是 $\frac{1}{T_b}$
頻差足夠大遍愿，兩個(gè)波形 $s_1(t),s_2(t)$ 將趨于正交存淫。本章默認(rèn)是正交FSK
相位不連續(xù)2FSK信號(hào)的頻譜
假設(shè)兩個(gè)載波 $f_1,f_2$ 是由獨(dú)立振蕩器產(chǎn)生的，此時(shí)它們的初相位 $\theta_1,\theta_2$ 可建模為在 $[0,2\pi]$ 內(nèi)均勻分布的獨(dú)立隨機(jī)變量沼填。
$\begin{cases}c_1(t) = \cos(2\pi f_1t+\theta_1)\\c_2(t) = \cos(2\pi f_2 t+\theta_2)\end{cases}$ , $-\infty<t<\infty$
無(wú)窮時(shí)間 $-\infty<t<\infty$ 內(nèi)桅咆，兩個(gè)OOK信號(hào)是
$\begin{cases}s_{OOK1}(t) = b(t)\cos(2\pi f_1t+\theta_1)\\s_{OOK2}(t) = \overline(t)\cos(2\pi f_2t+\theta_2)\end{cases}$
2FSK信號(hào)是 $s_{2FSK}(t) = s_{OOK1}(t)+s_{OOK2}(t)$
求互相關(guān)函數(shù)可知這兩個(gè)OOK信號(hào)不相關(guān)坞笙，此時(shí)2FSK的功率譜密度是這兩個(gè)OOK功率譜密度之和岩饼。
2FSK的主瓣帶寬是 $|f_1-f_2|+2R_b$
2FSK信號(hào)的解調(diào)
2FSK是兩個(gè)OOK疊加，其解調(diào)可以用兩個(gè)OOK的解調(diào)合并而成薛夜。
- 若OOK采用帶通匹配濾波器接收籍茧，則2FSK的相應(yīng)的解調(diào)器為
  - $h_1(t)$ 對(duì) $s_1(t)$ 匹配， $h_2(t)$ 對(duì) $s_2(t)$ 匹配：
  - $\begin{cases} h_1(t) = s_1(T_b-t)\\h_2(t) = s_2(T_b-t)\end{cases}$
- 每個(gè)支路也可以采用等價(jià)的相關(guān)器梯澜，相應(yīng)的2FSK解調(diào)器為
  - 兩個(gè)采樣值是 $\begin{cases} y_1 = \int_{0}^{T_b}[as_1(t)+n_w(t)]s_1(t)dt \\ y_2 = \int_{0}^{T_b}[(1-a)s_2(t)+n_w(t)]s_2(t) dt \end{cases}$
  - $\begin{cases}y_1 = a E_b +Z_1\\ y_2 = (1-a)E_b+Z_2 \end{cases}$
其中 $a = 1或0$ 對(duì)應(yīng)發(fā)送 $s_1(t)$ 或 $s_2(t)$ 寞冯， $E_b = E_1= E_2 = \frac{A^2T_b}{2}$ 是比特能量， $Z_1,Z_2$ 是高斯白噪聲與 $s_1(t)$ 和 $s_2(t)$ 的內(nèi)積晚伙。
$\begin{cases}Z_1 = \int_{0}^{T_b}s_1(t)n_w(t)dt\\ Z_2 = \int_{0}^{T_b}s_2(t) n_w(t)dt \end{cases}$
對(duì)于正交2FSK吮龄， $Z_1,Z_2$ 是獨(dú)立同分布的零均值高斯隨機(jī)變量，方差是 $\frac{N_0}{2}E_b$
判決器的輸入是 $l = y_1-y_2 = (2a-1)E_b+(Z_1-Z_2) = dE_b+Z$
其中 $d = 1或-1$ 對(duì)應(yīng)發(fā)送 $s_1(t)或s_2(t)$ 咆疗， $Z = Z_1-Z_2$ 是均值為零漓帚，方差為 $\sigma^2 = N_0E_b$ 的高斯隨機(jī)變量。
默認(rèn)假設(shè) $s_1(t),s_2(t)$ 等概出現(xiàn)午磁，則最佳門(mén)限是無(wú)噪聲情況下 $l$ 的兩種取值 $(+E_b和-E_b)$ 的中點(diǎn)尝抖， $V_T = 0$
發(fā)送 $s_2(t)$ 時(shí)，若 $l = -E_b+Z>0$ 則判決出錯(cuò)迅皇，出錯(cuò)的概率是 $P(e|s_2) = P(Z>E_b) = \frac{1}{2}erfc(\frac{E_b}{\sqrt{2\sigma^2}}) =\frac{1}{2}erfc(\sqrt{\frac{E_b}{2N_0}})$
根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知 $P(e|s_1) = P(e|s_2)$ 牵署，平均誤比特率為 $P_b = \frac{1}{2}erfc(\sqrt{\frac{E_b}{2N_0}})$
2FSK非正交的情形
前面假設(shè)2FSK是正交的，現(xiàn)在考慮非正交的情況
$\rho = \int_{0}^{T_b}\frac{s_1(t)}{\sqrt{E_1}}\cdot \frac{s_2(t)}{\sqrt{E_2}}dt = \frac{1}{E_b} \int_{0}^{T_b}s_1(t)\cdot s_2(t)dt$
$\int_{0}^{T_b}s_1(t)\cdot s_2(t)dt = \rho E_b$
$\rho = 0$ 是正交
$l = y_1-y_2 =\int_{0}^{T_b}r(t)\cdot s_1(t)dt-\int_{0}^{T_b}r(t)\cdot s_2(t)dt = \int_{0}^{T_b}r(t)\cdot [s_1(t)-s_2(t)]dt$
令 $g(t) = s_1(t)-s_2(t)$ 喧半，其能量為 $E_g =\int_{0}^{T_b}[s_1(t)-s_2(t)]^2dt = E_1-E_2-2\rho E_b =2E_b(1-\rho)$
輸入l的噪聲是零均值高斯隨機(jī)變量奴迅，其方差是 $\sigma^2 = \frac{N_0}{2}E_g = N_0E_b(1-\rho)$
分析有用信號(hào)，不管噪聲
發(fā)送時(shí)
- $l = \int_{0}^{T_b}s_1(t)\cdot [s_1(t)-s_2(t)]dt = E_b-\rho E_b = E_b(1- \rho)$
發(fā)送時(shí)
- $l = \int_{0}^{T_b}s_2(t)\cdot [s_1(t)-s_2(t)]dt = \rho E_b-E_b = -E_b(1- \rho)$
則最佳門(mén)限是無(wú)噪聲情況下 $l$ 的兩種取值的中點(diǎn)， $V_T = 0$
發(fā)送時(shí)若則判決出錯(cuò)取具，出錯(cuò)概率是的概率：
- $P(e|s_2) = \frac{1}{2}erfc(\sqrt{\frac{E_b(1- \rho)}{2N_0}})$
由對(duì)稱(chēng)性可知 $P(e|s_2) = P(e|s_1)=\frac{1}{2}erfc(\sqrt{\frac{E_b(1- \rho)}{2N_0}})$
平均誤比特率是 $P_b = \frac{1}{2}erfc(\sqrt{\frac{E_b(1- \rho)}{2N_0}})$
正交2FSK就是 $\rho = 0$ 的情況
若 $s_1(t)與s_2(t)$ 的能量不等分別是 $E_1和E_2$
平均誤比特率是 $P_b = \frac{1}{2}erfc(\sqrt{\frac{E_b}{2N_0}(1-\rho \frac{\sqrt{E_1E_2}}{E_b})})$
$\rho$ 可以為負(fù)脖隶，這時(shí)誤比特率更小
2FSK非相干解調(diào)
缺點(diǎn)是頻帶利用率低，優(yōu)點(diǎn)可以恒包絡(luò)調(diào)制暇检，非相干解調(diào)
方法一产阱，兩個(gè)支路的OOK解調(diào)采用恒包絡(luò)檢波，誤比特率性能比相干解調(diào)略差块仆。

最后編輯于：2019.05.15 10:48:11

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